14, 15 (Лекции кафедральные (PDF)), страница 3

Спектральная плотность объёмной плотности энергии uω ,T представляет собой энергиюизлучения в единичном частотном интервале, отнесенную к единице объема. Т.к. энергия фотонов в частотном интервале dω равна uω ,T ⋅ V ⋅ d ω , (V - объем полости), тоuω ,T ⋅ V ⋅ d ω = n ⋅ g ( E ) ⋅ EdE или uω ,T ⋅ V ⋅3откуда uω ,T =ωπ2 c31eωkTdEE2= 2 3 3 V ⋅ EdE πc1eωkT,−1.−1Распределение Ферми-ДиракаНайдем распределение ферми-частиц, т.е. частиц, обладающих полуцелым спином.

Ферми-частицы подчиняются принципу (запрету) Паули, согласно которому в одном и том же состоянии одновременно не может находится более одного фермиона. Т.е. можно сказать, чтофермионы являются частицами-индивидуалистами. Рассмотрим идеальный ферми-газ, т.е систему, состоящую из невзаимодействующих фермионов.Сначала найдем число возможных распределений N частиц по Z ячейкам пенала при условии, что в каждой ячейке не может находится более одной частицы. Число ячеек Z и числочастиц N должны удовлетворять условию Z≥N.Число всевозможных перестановок пустых ячеек пенала и ячеек с частицами равно Z!.При этом перестановки только ячеек с частицами в силу тождественности частиц не приводят кновым распределениям.

Число таких перестановок равно N!. Перестановки местами пустыхячеек тоже не дают новых распределений, их число равно (Z−N)!. Таким образом, число различных распределений N частиц по Z ячейкам в данном случае равно7Семестр 4. Лекции 14-15.Z!.N!( Z − N ) !Это выражение определяет число возможных распределений N фермионов по Z ячейкам,т.е. статистический вес макросостояния системы фермионов.Вывод статистического распределения, которому подчиняются ферми-частицы, проводится также как и для бозе-частиц.В шестимерном фазовом пространстве с координатами ( x, y,z, px , p y , p z ) две изоэнергеΩ=тические поверхности f ( x, y, z, px , p y , pz ) = Ei = const и f ( x, y, z, px , p y , pz ) = Ei +1 = const выделяют тонкие энергетические слои.

Опять предполагаем, что Ei +1 − Ei << Ei . Пусть в i-ом слоеимеется Zi ячеек и N i частиц. Тогда статистический вес подсистемы из N i частиц естьZ i!Ωi =. Статистический вес всей системы равен произведению статистических весовN i!( Z i − N i ) !ее отдельных подсистемZ i!Ω = ∏ Ωi = ∏.ii N i!( Z i − N i ) !Для того чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно найти максимум статистического веса при условии, что полное число частиц системы N и полнаяэнергия системы E остаются постоянными, т.е. N = ∑ N i = const и E = ∑ N i Ei = const .iiКак и для бозе-частиц, вместо максимума статистического веса Ω будем искать максимум энтропии S = k ⋅ ln Ω :Z i!S = k ⋅ ln ∏= k ⋅ ∑ ln {Z i!} − ln { N i!} − ln {( Z i − N i ) !} .ii N i!( Z i − N i ) !Используем формулу Стирлинга ln {n!} ≈ n ln ( n ) − n , которая справедлива при n >> 1 .

Поэтомупри Z i >> 1 и N i >> 1 , выполняетсяS = k ⋅ ∑  Z i ln Z i − Z i − N i ln N i + N i − ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i ) + ( Z i − N i )  илиiS = k ⋅ ∑  Z i ln Z i − N i ln N i − Z i ln ( Z i − N i ) + N i ln ( Z i − N i )  .iS = С − k ⋅ ∑  N i ln N i + ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i )  , где С = k ⋅ ∑ Z i ln Z iiiСлагаемое С можно в дальнейшем не учитывать, поскольку при решении задачи на экстремумэнтропии S варьироваться будут только числа частиц в слое N i , а C от них не зависит.Для отыскания максимума энтропии используем метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию F = S + λ1 N + λ 2 EF = С − k ⋅ ∑  N i ln N i + ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i )  + λ1 ∑ N i + λ 2 ∑ N i Eiiiiгде λ1 и λ2 - множители Лагранжа. Равенство нулю частных производных этой функции по N i :N1− iλ +λ E− 1 2 iZi∂F= − k ⋅ ln N i + 1 − ln ( Z i − N i ) − 1 + λ1 + λ 2 Ei = 0 , откуда=e k .Ni∂N iZi8Семестр 4.

Лекции 14-15.Niпредставляет собой среднее число ферми-частиц, приходящихся наZi1одну ячейку, т.е. на одно квантовое состояние: ni = λ1 +λ2 Ei.−ke+1Множители Лагранжа λ1 и λ2 находятся точно также как и в случае бозе-частиц.1µ1λ 2 = − , λ1 = , где µ - химический потенциал.

Тогда ni = Ei −µ.TTe kT + 11Освобождаясь от индекса i, приходим к окончательному выражению n = E −µ.kTe +1Это соотношение называется распределением Ферми-Дирака. Оно определяет среднее числоферми-частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией E.Следствия из распределения Ферми-Дирака.1.

n не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом состояниине может находиться более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули. Поскольку n ≤ 1 , то говорят, что распределение Ферми-Дирака определяет вероятность заполнения энергетического уровня с энергией E при температуре T.2. Химический потенциал µ для ферми-частиц может быть только положительным, т.е.µ>0.

Иначе при T→0 экспонента в знаменателе обратилась бы в бесконечность, а числа заполнения - в нуль, чего быть не может.1Рассмотрим случай малых чисел заполнения, т.е. n = E −µ<< 1 . Это условие выполkTe +1Отношение ni =E −µkT−E −µkT−EkTµkTняется при e>> 1 , тогда n ≈ e= A ⋅ e , где A = e . Т.е. распределение Ферми-Диракапри малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного ферми-газа, переходитв классическое распределение Больцмана.

Т.к. в распределение Больцмана в случае малых чисел заполнения переходит также и распределение Бозе-Эйнштейна, то можно сделать вывод,что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.Принципиальное различие между распределения Ферми-Дирака и Больцмана наблюдаетE −µся при< 1 .

Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии вkTбольшом количестве. Для них n тем больше, чем меньше энергия состояния E. Что же касается ферми-частиц, то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышатьединицу, что согласуется с запретом Паули.Химический потенциал µ, который имеет размерность энергии, в случае ферми-частицназывают энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают EF. При этом распределение Ферми-Дирака принимает вид1n = E − EF.e kT + 1Т.к.

для фермионов µ>0, то энергия Ферми EF >0 также больше нуля. (Энергия Ферми EFмедленно меняется с изменением температуры T).Рассмотрим зависимость распределения Ферми-Дирака от температуры. Будем считать,что рассматриваемая температура T может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е.T→0. Обозначим через EF(0) значение энергии Ферми при T→0. Этот случай будем условно на-9Семестр 4. Лекции 14-15.зывать случаем «нулевой температуры T=0». Из распределения Ферми-Дирака следует, что вслучае T=01, E < EF ( 0 )n =0, E > EF ( 0 )Это означает, что все квантовые состояния с энергиями E < EF ( 0 ) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями E > EF ( 0 ) - свободными.

Таким образом, при T=0 энергия Ферми EF(0) является максимальной энергией, которой могут обладать ферми-частицы.Распределение Ферми-Дирака в этом случае представляет собой ступенчатую функцию<n><n>T=01T >0∼kT11/2E0EF(0)E0EF(0)единичной высоты, обрывающуюся при E = EF ( 0 ) . При температурах, отличных от нуля резкий скачок <n> от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, шириной порядка нескольких kT. Чем выше температура, тем шире область, в которой <n>меняется от единицы до нуля, и тем более плавно происходит переход от заполненных состоя1ний к незаполненным. Однако, при любой температуре при E=EF n = . Т.е. в состоянии с2энергией, равной энергии Ферми всегда находится один электрон.Наряду с энергией Ферми EF при анализе поведения ферми-частиц вводятся также им2 EFпульс Ферми pF и скорость Ферми vF, определяемые соотношениями pF = 2me EF , vF =meПри T=0 это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица.Электронный газ в металлахПрименим статистику Ферми-Дирака к описанию электронов проводимости в металлах.Будем рассматривать свободные электроны, т.е.