14, 15 (973246), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

ту часть атомных электронов, которая можетсвободно перемещаться по всему проводнику. Именно эти электроны, в отличие от электронов,заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают электропроводностьметаллов. Поэтому их называют электронами проводимости.Замечание. Электроны проводимости в металлах не являются, вообще говоря, абсолютно свободными, т.к. испытывают взаимодействие с ионами, находящимися в узлах кристаллическойрешетки. Поэтому электроны находятся в усреднённом электрическом поле положительныхионов.

Но внутри металла средняя суммарная сила, действующая на свободный электрон практически равна нулю, тогда как вблизи границе эта сила стремится вернуть электроны внутрьметалла. Таким образом, можно рассматривать идеальный газ свободных электронов, находящихся внутри металла как в потенциальной яме.Рассмотрим поведение электронного газа при T=0. В этом случае электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях.

Согласно запрету Паули вкаждом состоянии может находиться не более одного электрона, но т.к. электроны могут раз1личаться проекцией спина ± , то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два2электрона с различной ориентацией спинов. Два электрона заполняют самое низшее энергетическое состояние. Третий и четвертый электроны находятся на первом возбужденном энергети-10Семестр 4. Лекции 14-15.ческом уровне, следующая пара электронов - на втором возбужденном уровне и т.д. Если числоэлектронов в металле равно N, то при T=0 будут заполнены первые N 2 уровней с энергиейE ≤ Emax .

Все остальные уровни с энергией E > Emax будут свободны. Сравнивая полученныйрезультат с распределением Ферми-Дирака при T=0, приходим к выводу, что максимальнаяэнергия электронов Emax совпадает с энергией Ферми EF ( 0 ) .Хотя энергия электронов в металле квантуется и энергетический спектр электронов является дискретным, но уровни энергии расположены настолько плотно, что энергетическийспектр электронов можно считать практически непрерывным (квазинепрерывным).Найдем функцию распределения электронов проводимости по энергии. Плотность кван32m 2товых состояний для электронов в металле g ( E ) = 2 30 V E .πПроизведение g ( E ) на ширину энергетического интервала dE определяет число состояний, приходящихся на интервал энергий от E до E+dE. Умножая это произведение на <n>, т.е.на вероятность заполнения данного энергетического состояния, находим число электронов dN,энергия которых лежит в интервале от E до E+dE.Интегрируя это выражение по энергии, получаем полное число свободных электронов в∞металле N = ∫ g ( E ) n dE .0Запишем аналогичные выражения для концентрации электронов n =32m 2получаем dn = 2 30πN.

С учетом вида g ( E )V31EФункция F ( E ) =∞eE − EFkTdE и n = ∫0+13202 32mdn=dEπE2m02π2 31E − EFkT1EeE − EFkTdE+1называется функцией распределения свободныхe+1электронов по энергиям. При T=0 функция F(E) имеет вид32 2m0 E , E < E ( 0 )F23F (E) =  π 0 , E > E F ( 0 )и распределение электронов по энергиям описывается выражением322m0EdE, E < EF ( 0 ) .23dn =  π 0 , E > E F ( 0 )Замечание. Функции распределения играют в статистической физике очень важную роль.

Так,например, если известна функция распределения частиц по энергиям F(E), то можно найтисреднее значение любой физической величины f, зависящей от E. Оно определяется соотношением∞∫ f (E) F (E)f =0∞∫ F (E)∞=1f (E) F (E) .n ∫0011Семестр 4. Лекции 14-15.Получим выражение для энергии Ферми EF ( 0 ) при T=0.

Поскольку при абсолютном нуле температуры n = 1 при E < EF ( 0 ) и n = 0 при E > EF ( 0 ) , то верхний предел интеграла вEF ( 0 )можно заменить на EF ( 0 ) : n =∫02Тогда EF ( 0 ) =32m02π2 3332 2m022.EdE =E0()()F3 π2 3233π2 n ) . Из этого соотношения можно по известному значению концентра(2m0ции найти энергию Ферми EF ( 0 ) , или, наоборот, по известной энергии Ферми найти концентрацию свободных электронов в металле.Пример. Оценим величину энергии Ферми для свободных электронов в металле при T=0. Пустьn=5⋅1022 см-3 =5⋅1028 м-3 , тогда EF ( 0 ) ≈ 5 эВ. Таким образом, EF ( 0 ) по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.♣Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми TF: TF =Но EF ( 0 ) =EF ( 0 ).k22223π2 n ) 3 , поэтому TF =3π2 n ) 3 .((2m02m0 kПример.

При значении EF ( 0 ) = 5 эВ температура Ферми имеет величину TF = 60000 K, что более чем в 200 раз превышает комнатную температуру. ♣Рассмотрим случай T>0, когда ступенька в распределении Ферми-Дирака, характернаядля T=0, размывается и переход от заполненных электронами состояний к незаполненным происходит более плавным образом.Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину ~kT, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину ~ kT, оказываются свободными. И только в области энергий шириной ~ kT вблизи энергии Ферми имеются состояния, частично заполненные электронами. Однако, хотя ширина этой области, какправило, невелика по сравнению с энергией Ферми, эта область играет очень важную роль.Только электроны, заполняющие состояния в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах, происходящих в металлах.

Только их энергия может изменятьсяв ходе этих процессов.Получим выражение для энергии Ферми EF при отличной от нуля температуре металла.В этом случаеn=32 ∞02 302mπ∫EdE E − EFexp  kT +1 .Это выражение позволяет в принципе найти энергию Ферми EF как функцию температуры T иконцентрации электронов n. Однако, в общем случае интеграл точно не берется. Приближенноезначение интеграла удается получить при kT << EF .

В этом случае для энергии Ферми получаем π2  kT  2 EF ≈ EF ( 0 ) 1 −  . 12  EF ( 0 )  Так как условие kT << EF ( 0 ) выполняется для всего диапазона температур, при которомметаллы существуют в твердом виде, то это соотношение справедливо для всех реализуемых напрактике случаев. Более того, во многих ситуациях эта поправка оказывается ничтожно малой,так что ей можно пренебречь и считать, что EF ≈ EF ( 0 ) . Действительно, если взять EF ( 0 ) = 512Семестр 4.

Лекции 14-15.эВ, то при комнатной температуре, т.е. при kT = 0,025 эВ, относительная величина поправки кE − EF ( 0 )EF ( 0 ) составляет F= 2 ⋅10−5 .EF ( 0 )Однако, для понимания ряда физических явлений, таких, например, как поведение теплоемкости металлов при низких температурах или объяснение термоэдс, зависимость EF от Tимеет принципиальное значение.Замечание. Из распределения свободных электронов в металле по энергиям можно такжеполучить распределения электронов по импульсам p и по скоростям v. Эти распределения по2Eлучаются с использованием соотношений p = 2me E и v =.meВырожденный электронный газ.Вырожденный электронный газ - это газ, свойства которого существенно отличаются отсвойств классического идеального газа из-за неразличимости одинаковых частиц в квантовоймеханике.

Газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда, когда среднеерасстояние между частицами a становится меньше или сравнимым с дебройлевской длинойволны частицы λ B , т.е. a λ B . Когда это условие нарушается в случае разреженных газовквантовые распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Больцмана.Температурой вырождения называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц.

Для газа, состоящего из бозечастиц, температура вырождения определяется как температура, ниже которой происходитбозе-конденсация, т.е. переход заметной доли частиц в состояние с нулевой энергией. (Именнос бозе-конденсацией связаны такие интересные физические явления, как сверхтекучесть жидкого гелия, т.е.

его способность протекать через тонкие щели и капилляры без какой-либо вязкости, и сверхпроводимость некоторых металлов и сплавов.)Для газа, состоящего из ферми-частиц, температурой вырождения является температура223π2 n ) 3 , температура вырождения тем больше,Ферми TF.

Как следует из выражения TF =(2m0 kчем меньше масса частиц и чем больше их концентрация, поэтому TF особенно велика у электронного газа в металлах: TF ~104 К .При температуре T< TF, т.е. при kT < EF ( 0 ) , электронный газ в металлах является вырожденным. При температуре T> TF, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций