14, 15 (Лекции кафедральные (PDF))

Семестр 4. Лекции 14-15.Лекции 14 - 15. Квантовые статистические распределения.Плотность квантовых состояний. Распределение Ферми - Дирака. Функция распределениячастиц по энергиям. Энергия Ферми. Вырожденный электронный газ, температура вырождения.

Распределение Бозе - Эйнштейна. Фотоны и фононы. Вывод формулы Планка из квантовой статистики Бозе - Эйнштейна.Плотность квантовых состояний.Энергия электрона, находящегося в трехмерной потенциальной яме с непроницаемымистенками, описывается выражением222π2 2   n1   n2   n3    +   +   E=2me   a1   a2   a3  где a1 , a2 , a3 – длины сторон прямоугольной ямы. Энергия электрона меняется не непрерывно,а дискретно, т.к.

числа n1, n2, n3 могут принимать только целочисленные значения. Однако, еслиэнергия частицы существенно больше энергии основного состояния, то разница между значениями соседних уровней энергии ∆Е значительно меньше самого значения энергии ∆E << E ,тогда можно считать, что энергия электрона меняется практически непрерывно (квазинепрерывно).Введём трехмерное пространство, вдоль трехвзаимно перпендикулярных осей которого отложеныn3квантовые числа n1, n2, n3 ( пространство квантовыхчисел). Точка этого пространства координата которойзадаётся набором целым чисел (n1, n2, n3 ) называетсяузлом. Каждому узлу в пространстве квантовых чиселсоответствует определенное значение энергии.

Одноrму значению энергии электрона может соответствовать несколько состояний (например, отличающимся0n21проекциями спина электрона ± ). Узлу можно сопос2тавить элементарный кубик с единичной длиной рёбер∆n1 = ∆n2 = ∆n3 = 1 , так что объём этого куба равенn1единице ∆V = ∆n1 ⋅ ∆n2 ⋅ ∆n3 = 1 .Пусть N – количество узлов, в которых энергияэлектрона превышает некоторое фиксированного значения E. Если ввести обозначение222( n a a ) + ( a1n2 a3 ) + ( a1a2 n3 ) , то выражение для энергии примет вид E =π2 2r = 1 2 3r2 ,43232me ( a1a2 a3 )( a1a2 a3 )13( a a a ) 2m E .

Тогда число узлов N равно отношению объёмов этой восьмой часоткуда r = 1 2 32eπти сферы соответствующего радиуса (в которой все три координаты неотрицательные {n1>0,n2>0, n3>0} (т.е. в одной восьмой части сферы)) к объему элементарного кубика4 3πrV1 сф 1 31 aa a32N=== π 1 3 2 3 3 ( 2me E ) .8 ∆V 8 ∆V6 πУчтём, что объём потенциальной ямы (в обычном пространстве) равен V = a1a2 a3 , аp = 2me E - величина (нерелятивистского) импульса. ПоэтомуN=1 Vp 3 23Vp341π 3 3 = π 3 3 3 = πVp3.36 π6 2π3( 2π )1Семестр 4.

Лекции 14-15.Теперь рассмотрим фазовое пространство, каждая точка в котором задаётся 6-ю координатами – это три пространственные координаты и три проекции импульса ( x, y,z, px , p y , p z ) .Частица, находящаяся в потенциальной яме, в состояниях, энергия которых не превышает некоторое значение E, движется в некоторой области 6-ти мерного фазового пространства.Т.к. величина импульса частицы не превосходит величины p = 2me E , то в импульснойчасти фазового пространства ( px , p y , pz ) эта область задается соотношением px2 + p y2 + pz2 ≤ p 2 4 3πp .

Поэтому полная область в 6-ти мер3ном фазовом пространстве является прямым произведением прямоугольной трёхмерной ямы вобычном пространстве и шара в импульсном пространстве. Следовательно, величина объёма4общей области в фазовом пространстве равна Vфаз = V ⋅ πp 3 . Тогда общее количество узлов3Vравно N = фаз 3 .( 2π )т.е. является шаром радиуса p, объём которого V p =Обозначим возможное количество состояний, приходящихся на один узел как qs .

Например, для электрона qs = 2 , т.к. возможны два состояния с одинаковым набором квантовыхчисел, но различающиеся проекциями спина. Тогда общее число состояний со значением энерVгии не больше E, равно произведению G = N ⋅ qs = фаз 3 ⋅ qs ,( 2π )Замечание. Минимальное количество квантовых состояний равно (при qs = 1 ) G0 =Vфаз( 2π )3. То-гда элементарный объем фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояниеможно определить как отношение фазового объёма к количеству состоянийV3∆Vфаз = фаз = ( 2π ) . Учитывая соотношения неопределенностей Гейзенберга для координат иG0проекций импульсов, записанные в виде ∆x ⋅ ∆px = 2π , ∆y ⋅ ∆p y = 2π , ∆z ⋅ ∆pz = 2π получаемвыражение для элементарного объёма фазового пространства, соответствующего одному кван3товому состоянию ( 2π ) = ∆x∆y∆z ∆px ∆p y ∆pz = ∆Vфаз .В общем случае для количества состояний справедливо соотношение G =Vфаз∆Vфазqs .Плотностью квантовых состояний называется такая функция g ( E ) , зависящая от энергии, что количество квантовых состояний, энергия которых не превышает значения E0, опредеE0dG ( E )ляется равенством G ( E0 ) = ∫ g ( E ) dE , т.е.

g ( E ) =.dE0dG ( E ) dp, то в рассматриваемом случае получаем равенствоdp dEqs dG dp d  4V 4πp 2 dpg (E) ===q. πVp3s33dE dE dp  3( 2π ) ( 2π ) dEV 4πp 2 dpОказывается, что полученное выражение g ( E ) = qsсправедливо для любых частиц.3( 2π ) dEТ.к.

можно записать g ( E ) =Пример.2Семестр 4. Лекции 14-15.1) Для электронов qs = 2 и p = 2me E , тогда dp =dEg (E) = 2V 4π2me E( 2π )3me, поэтому2E322 ( me )me=2Eπ2 3EV.2) Для фотонов можно считать, что qs = 2 , что соответствует двум независимым направлениям2EV 4π  2E c  1 = E V .♣поляризации э/м волны. Т.к.

p = , то dp = 1 . Поэтому g ( E ) = 232 3 3cdE c( 2π ) c π cРаспределение Бозе-ЭйнштейнаВ классической физике распределение частиц по энергиям в фазовом пространстве опи−EK +U21сывается распределением Максвелла-Больцмана dN = A ⋅ e kT dpx dp y dpz dxdydz ,где ЕК и U - кинетическая и потенциальная энергии частицы, Т - температура, k - постояннаяБольцмана, A - нормировочный коэффициент.Для вывода статистических распределений необходимо найти наиболее вероятное распределение частиц, т.е. распределение, которое может быть реализовано наибольшим числомспособов. По основному постулату статистической физики именно это распределение и является равновесным.Предположим, что частицы не взаимодействуют друг с другом (модель идеального газа),а также, что все распределения, которые приводят к одной и той же суммарной энергии частиц,реализуются с одинаковой вероятностью.Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц.

Пусть число возможных состояний, вкоторых может находиться каждая из частиц, равно трём.По классическим представлениям две частицы всегда различимы. Присвоим частицамномера 1 и 2. Если в каком-то состоянии частицы переставить просто местами, то получитсяновое состояние. Поэтому общее число состояний системы равно 9.В квантовой механике тождественные частицы принципиально неразличимы. При перестановке местами тождественных частиц состояние системы не меняется. Поэтому занумеровать частицы нельзя. Если в одном состоянии может находиться только один фермион, то длябозонов никаких ограничений нет.

Поэтому число состояний системы из бозонов равно 6, а изфермионов равно – 3.1Распределение классических частиц11•Распределениебозонов•••222221211••••1212•Распределениефермионов•••••••••Распределение Бозе-Эйнштейна.Рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Пусть имеется длинный пенал, который может быть разделен на Z ячеек с помощью (Z-1) перегородок. Найдем число способовразмещения N неразличимых частиц по ячейкам. В каждой ячейке может находиться произвольное число частиц бозе-частиц. Будем считать, что система состоит из N частиц и (Z-1) пере-3Семестр 4. Лекции 14-15.городок, т.е. всего из N+Z-1 элементов.

Общее число перестановок в системе из N+Z-1 элементов, равно (N+Z-1)!. Однако перестановки частиц (из-за их неразличимости) ничего не меняют.Число таких перестановок равно N!. Перестановки только перегородок тоже не приводят к новым распределениям, их число равно (Z-1)!. Таким образом, число способов Ω, с помощью которых N тождественных частиц могут быть распределены по Z ячейкам, равно( N + Z − 1)! .Ω=N!( Z − 1) !Это выражение определяет число способов, с помощью которых N бозонов могут бытьраспределены по Z состояниям. Каждый способ размещения частиц представляет собой определенное микросостояние системы. Следовательно, Ω - это число микросостояний, с помощьюкоторых реализуется конкретное макросостояние системы. Т.е.

Ω - это термодинамическаявероятность или статистический вес макросостояния системы.В шестимерном фазовом пространстве уравнение f ( x, y, z, px , p y , pz ) = E = const , где E энергия частицы, определяет изоэнергетическую поверхность, т.е. поверхность, все точки которой отвечают одному и тому же значению энергии частицы.Слой с номером i между двумя поверхностямиf ( x, y, z, px , p y , pz ) = Ei и f ( x, y, z, px , p y , pz ) = Ei +1будет тонким, если Ei +1 − Ei << Ei .