9 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))
Описание файла
PDF-файл из архива "Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "кузнецов (высшая математика)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-9Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:К первой строке прибавим вторую умноженную наСкач:К первой строке прибавим третью умноженную на:tigtu.ruanаносИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-9Условие задачии, построенные по векторами?ачКоллинеарны ли векторыРешениеСкВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Нетрудно заметить, чтоТ.е., а значит векторыидля любых- коллинеарны..
Т.е. векторыи.Условие задачииНайти косинус угла между векторамиРешениеи:между векторамии:аносНаходим косинус угла.anНайдемtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-9Т.е. косинус угла:ачи следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-9Условие задачиСкВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.tigtu.ruРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:и, численно равна модулю их векторного, используя его свойства векторного произведения:ВычисляемanВычисляем площадь:Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-9аносУсловие задачиКомпланарны ли векторыРешение,и?Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхСкачплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.Так как, то векторы,икомпланарны.было равноУсловие задачиtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-9Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.Решениепроведем векторы:anИз вершиныи его высоту, опущенную изаносВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:ачВычислим смешанное произведение:СкПолучаем:Так какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anПолучаем:tigtu.ruВычислим векторное произведение:Объем тетраэдра:Высота:аносТогда:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-9Условие задачидо плоскости, проходящей через три точкиачНайти расстояние от точки.РешениеСкНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точкиПроведем преобразования::tigtu.ruот точкидо плоскости:anРасстояниеаносНаходим:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-9Условие задачиНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуачРешениеНайдем векторперпендикулярно вектору.:СкТак как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.
Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-9Условие задачиНайти угол между плоскостями:Решениемежду плоскостями определяется формулой:аносУголanДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-9Условие задачи, равноудаленной от точекачНайти координаты точкиРешениеиСкНайдем расстояниеТак как по условию задачи:, тои.tigtu.ruТаким образом.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-9Условие задачиanПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?РешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскостьанос.
Находим образ плоскостиПодставим координаты точкиТак как, то точкав уравнение:принадлежит образу плоскостиЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-9ачУсловие задачиСкНаписать канонические уравнения прямой.РешениеКанонические уравнения прямой:,.::. ПустьСкачаносНайдем какую-либо точку прямойanНайдем направляющий векторtigtu.ruгде- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:Следовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:, тогдаУсловие задачиНайти точку пересечения прямой и плоскости.РешениеаносПодставляем в уравнение плоскости:anЗапишем параметрические уравнения прямой.tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-9Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:ачПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-9СкУсловие задачиНайти точкусимметричную точкеотносительно прямой.tigtu.ruРешениеНаходим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точкуТак плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взятьнаправляющий вектор прямой:Тогда уравнение искомой плоскости:аносanпересечения прямой и плоскости.Найдем точкуЗапишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:ачНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:СкПолучаем:Так какявляется серединой отрезка, то.аносачСкtigtu.ruanПолучаем:.