Диссертация (Напряженно-деформированное состояние строительных конструкций из технических тканей с покрытием с учетом модуля сдвига материала), страница 7

Разумеется,неиспользование уравнений совместности деформаций (1.2) вносит искажение в отыскиваемоерешение по сравнению с действительным решением проблемы безмоментной теории оболочек,так как совместность деформаций в срединной поверхности оказывается нарушенной; однако стаким несовершенством примиряются [55].После определения функций N1, N2 и S, и используя геометрические соотношения (1.3),определяющие деформации оболочки через перемещения, а также физические уравнения (1.4)(уравнения закона Гука), выражающие параметры деформации через усилия, получаемразрешающую систему уравнений для отыскания перемещений (1.5):1 u 11 A 1w u2; A 1  1 A 1 A 2  2R1 1 u 21 A 2w 2u1;A 2  2 A 1 A 2  1R2 A   u 2  A1   u 1   2.

A 1  1  A 2  A 2  2  A 1  11 N 1   N 2 ;Eh12N 2   N 1 ;Eh2 (1   )S;Eh1(1.3)(1.4)1 u 21 A 2w12u1 N 2   N 1  ; A 2  2 A 1 A 2  1R 2 EhA   u 2  A 1   u 1  2 (1   ) 2S.A 1  1  A 2  A 2  2  A 1 Eh1где  1 , 21 u 11 A 1w1u2N 1   NA 1  1 A 1 A 2  2R1 Eh2 ;- линейные деформации волокон, совпадающих с нормальнымисечениями/проведенными в направлениях координатных линий срединной поверхности,(1.5)38 - сдвиг в срединной поверхности оболочки между направлениями указанных вышеволокон;u 1 , u 2 , w - составляющие перемещения точки срединной поверхности,h - толщина оболочки,E - модуль Юнга.Для составления разрешающей системы уравнений при отыскании в первую очередьперемещений необходимо записать физические уравнения безмоментной теории оболочек,связывающие усилия с параметрами деформации оболочки, для однородного изотропного телазаписываются в следующем виде:Eh( 1    2 );1  2EhN2( 2    1 )1  2EhS2(1   )N1Eh1 u 11 A 11 u 21 A 2 (uu);211   2 A 1  1 A 1 A 2  2R1A 2  2A 1 A 2  1R2 Eh1 u 21 A 21 u 11 A 1 N2(u1u 2 ); 1   2 A 2  2 A 1 A 2  1R2A 1  1A 1 A 2  2R1 E h  A 2   u 2  A 1   u 1 S .2(1   )  A 1  1  A 2  A 2  2  A 1  (1.6)N1(1.7)Тогда, подставляя (1.7) в (1.1), вместо двух систем второго порядка получим одну системучетвертого порядка относительно перемещений.

После решения этой системы усилия находятсяпо выражениям (1.7) путем дифференцирования функций u 1 , u 2 ,  .Выше были представлены системы уравнений безмоментной линейной теории оболочек,предполагающей поведения материала под нагрузкой по закону Гука и линейные соотношениямежду деформациями и перемещениями.

Однако, проведенный обзор в диссертационнойработе по строительным конструкциям из технических тканей с покрытием показал, чтоподобным конструкциям свойственна геометрическая нелинейность, а технические ткани спокрытием являются физически нелинейным материалом, т.е. поведение материала поднагрузкой не подчиняется закону Гука.39До недавнего времени расчет конструкций из мягких оболочек основывался на линейнойбезмоментной теории. В рамках этой схемы в большинстве случаев не удавалось определитьдеформированную форму оболочки и учесть влияние изменения геометрии на напряженноесостояние [18].Наиболее полно описывает поведение конструкций из мягких оболочек теория большихдеформаций, учитывающая нелинейность характеристик материала и справедливая принеограниченных значениях деформаций и перемещений [50].1.3.2.

Теория больших деформаций мягких оболочекВопросы теории больших деформаций мягких оболочек в различных вариантахразрабатывались в работах [4, 12, 15]. Общая система уравнений мягкой оболочкипроизвольной геометрий при больших деформациях и перемещениях получена в работе [48].Ниже приведены основные уравнения теории больших деформаций мягких оболочек и рисунок1.18 с обозначениями, используемыми в соотношениях.б)а)Рисунок 1.18.

Недеформированный (а) и деформированный (б) элемент поверхностиоболочки (рисунок взят из книги [50])Для любых значений деформаций и перемещений справедливы полные геометрическиесоотношения:1  e 1 2 (1   1 ) 2   12   12 ;1  e 2 2 (1   2 ) 2   22   22 ;(1.8)1  e 1 1  e 2     1   2   1 2   2 1   1 2 ;где e 1 , e 2 - относительное удлинение дуги вдоль линий  и  соответственно, - косинус угла между осями x 2 и y 2 , касательными к линиям  и  на деформированной40поверхности, 1 ,  2 - относительное удлинение элементов вдоль линий  и  соответственно, 1, 2- составляющие угла сдвига, 1 , 2 - углы поворота нормали к поверхности в плоскостях z 1 x 1 и z 1 y 1 .Вводим компоненты деформаций:1212 1*  e 1  e 12 ;  2*  e 2  e 22 ;  *  1  e 1 1  e 2   .Тогда,геометрическиесоотношения,связывающие(1.9)деформациииперемещенияповерхности оболочки, для решения различных нелинейных задач являются строгими изаписываются в следующем виде:12 1*   1  ( 12   12   12 );12(1.10) 2*   2  ( 22   22   22 ); *   1   2   1 2   2 1   1 2 ,где  1 ,  2 ,  1 ,  2 , 1 , 2 - составляющие векторов1 2  1    1  ;  2    2  .    2 1(1.11)Они связаны с перемещениями следующим образом: 1 B1 u ;  2  B 2 u.(1.12)где B1 , B 2 - кососимметричные матрицы, имеют размер 3 х 3: A 1 AB1   AB 1 R11 AAB A0где  ,  - линии главных кривизн,A, B - коэффициенты Ламе, 1 R1  B 1 B0  ; B2   AB   0A 1 BAB B1R20 1 .R2 B (1.13)41R1, R2 – главные радиусы кривизн.Опуская дальнейшие преобразования, приведенные в книге [50], получаем три уравненияравновесия в скалярной форме:  T 1* B  ( S A)  1   1    T 2* A   S B   2    AB B  A T 1*  1   1  B 1   T 2*  1   2   A 2      R1 BAS   1 1   2(1.14) AB 2  B 2  A 1   f 1* A B ;R1     T 2* A  ( S B)  1   2   T 1* B   S A  1    AB A  B T 2* 2 2  A 2   T 1*  1   1   B 1     R2(1.15) A BABS   2 1   1    1  A 1  B 2   f 2* A B ;R2    **  T 1 B    ( S A)   1    T 2 A     S B    2  AB AB   T 1* 1   1   B 1   T 2*  1   2   A 2     R1R2(1.16) AB ABS  2 1  B 2  A 1   f 3* A B .R2  R1где f 1* , f 2* , f 3* - составляющие поверхностной нагрузки f   1  e 1  e  1    f  ,f  f , f , f  ; f  f , f , f *21**1*22*3T123T(1.17),где f 1 , f 2 , f 3 - соответствующие значения нагрузки,T 1* , T 2* соответствуют значениям обобщенных усилий:T 1*  T 1 1  e 2  1  e 1  ; T 2*  T 2 1  e 1  1  e 2  .T 1 , T 2 , S - нормальные и касательные усилия в соответствии с рисунком 1.19.(1.18)42Рисунок 1.19.

Элемент деформированной поверхности оболочки (рисунок взят из книги [50])Полученные зависимости должны быть дополнены физическими соотношениями,отражающими свойства материала, из которого изготовлена оболочка. Они находятся изэкспериментов и из теоретических соображений [50].Техническая ткань с покрытием является ортотропным материалом.

Физическиесоотношения можно записать в следующем виде:  C 11 C 12 yy  C 12 C 22 CC 23zz   130yz  0  00zx   00xy xxC 1300C 2300C 33000C 44000C 550000   xx  0   yy 0   zz  0   yz 0   zx  C 66   xy  (1.19)При аналитических и численных расчетах строительных конструкций из техническихтканей с покрытием всегда игнорируются механические свойства, направленные вдольтолщины материала, т.е. предполагается работа материала под нагрузкой только в плоскомнапряженно-деформированном состоянии.Поэтому, с учетом симметричности технической ткани с покрытием и согласноамериканскому нормативному стандарту ASCE 55-16 Tensile membrane structures [268]физические соотношения имеет следующий вид: 1   C 11 C 12    C 2   21 C 22 12   000   1 0   2 C 66   12 (1.20)где  - нормальные напряжения, - касательные напряжения, - линейные деформации, - сдвиговые деформации,C - коэффициенты в физических соотношениях, определяющие зависимость между43напряжениями и деформациями:C 11 E11   1 2, C 22 E21   1 2, C 12  2E1 1E 2, C 21 , C 66  G 12 .1   1 21   1 2(1.21)E - модуль Юнга,G - модуль сдвига, - коэффициент Пуассона,индекс 1 принят для величин в направлении нитей основы,индекс 2 принят для величин в направлении нитей утка.Так как, считается, что материал работает только на растяжение, то физическиезависимости выражаются следующим образом:T 1*  C 11 1*  C 12 2* ,T 2*  C 21 1*  C 22 2* ,(1.22)S  C 66 .*Как видно из соотношения (1.22), касательные усилия материала прямо пропорциональнызначению модуля сдвига.

Неточное определение значения модуля сдвига в материале приведетк некорректной оценке напряженно-деформированного состояния технической ткани спокрытием, работающей в составе различных строительных конструкций.Разрешающая система уравнений теории больших деформаций мягких оболочек будетсостоять из геометрических соотношений (1.8), уравнений равновесия (1.14-1.16) и физическихзависимостей(1.22).Совместноерешениевышеуказанныхуравнений,входящихвразрешающую систему, является вызывает большие математические трудности.Общая система уравнений, приведенная выше, справедлива для мягких оболочек,находящихся в двухосном напряженном состоянии. При определенных условиях на всейповерхности оболочки или в отдельных ее зонах могут появиться складки.