Автореферат (Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры), страница 2

Они могут найти применение в теории пред­ставлений, топологической теории поля и в геометрии пространств модулей.Методология и методы исследования. В диссертации используютсяметоды перечислительной комбинаторики (алгоритм ) и теории представ­лений (представления алгебры gl∞ и gl , двойственность Хау и др.)Для получения формулы (5) достаточно методов теории представлений: ис­комая производящая функция выражается как характер некоторого представ­ления алгебры gl∞ , затем с помощью двойственности Хау это представлениевыражается как пространство старших векторов веса k некоторого представле­ния алгебры gl , затем используется формула, выражающая кратность вхож­дения старшего вектора веса k как знакопеременную сумму коэффициентовхарактера.Для доказательства формул (4) и (6) был разработан комбинаторно-алгеб­раический подход (методов только теории представлений оказалось недостаточ­но).Вначале с помощью комбинаторного алгоритма RSK доказывается вспомо­гательная формула (9), сводящая вычисление требуемой производящей функ­()()ции к вычислению другой производящей функции k ().

Затем функция k ()6выражается как характер представления алгебры gl∞ в неглавной градуировкеи вычисляется методами теории представлений.Отдельно следует сказать о попытках решения задачи чисто комбинатор­ными методами. При взгляде на формулу (4) видно, что комбинаторно она пред­ставляет собой формулу включений-исключений. Явное комбинаторное доказа­тельство этой формулы позволило бы яснее понять структуру представлений̂︁̂︁1 . Попытки найти такое доказательство предпринимались и нужнуюалгебры gl,1,0формулу удалось получить для частого случая представления 0,0,0. Посколь­ку результат является слишком частным, он не был опубликован. Однако при­менявшиеся там рассуждения представляют интерес и оставляют надежду навозможность обобщения для > 1, поэтому они приведены в приложении.Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:∙ на семинаре русско-японской школы по математике, Киото, 2011 г.;∙ на семинаре факультета математики НИУ ВШЭ, Москва, 2013 г.;∙ на семинаре «Интегрируемые структуры в статистических и полевых мо­делях» ИППИ РАН (руководители семинара: д.ф.-м.н., чл.-корр.

РАНА.А. Белавин, д.ф.-м.н. А.Б. Замолодчиков), 2014 г.;∙ на международной конференции «Комбинаторика пространств модулей,кластерные алгебры и топологическая рекурсия», Москва, 2014 г.Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 2 печатных рабо­тах в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК: [15, 16].Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ния, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованныеработы. Подготовка результатов к публикации производилась совместно с на­учным руководителем Б.Л.Фейгиным, причем вклад диссертанта был опреде­ляющим.7Содержание работыДиссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка обозна­чений, библиографии и двух приложений. Общий объем диссертации 79 стра­ниц, из них 66 страниц текста, включая 14 рисунков.

Библиография включает27 наименований на 2 страницах.Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформу­лирована задача и аргументирована научная новизна исследований, показанатеоретическая значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту результаты.Глава 1 является продолжением введения. Она содержит краткий истори­̂︁̂︁1 и подробное описание представ­ческий обзор, точное определение алгебры glлений Мак-Магона, построенных в [4].

Показано, каким образом образующиеалгебры действуют в базисе плоских разбиений, каким значениям параметровсоответствуют резонансные случаи.В главе 2 излагается вся комбинаторная часть доказательства.Определение 2. N-матрицей веса (или для краткости просто матри­цей веса ) будем называть набор целых неотрицательных чисел , , , =∞∑︀( + − 1), = . Так же, как для разбиений, вес1, 2, 3 .

. . , такой, что,=1матрицы будем обозначать ||, т.е. || =∞∑︀( + − 1), . Матрицу, все,=1элементы которой равны 0, будем обозначать 0.Множество B() определим как множество всех N-матриц «ширины» ,т.е. удовлетворяющих условию = 0 при > . Производящая функциятаких матриц может быть легко найдена:∑︁1 || =,()∈Bгде =∞∏︀(1 − )min(,) .=18(7)Для k ∈ Z+↓ определим транспонированный набор k̄ как набор чисел 1 ≥· · · ≥ > 0, где = 1 , и число показывает количество чисел в набореk, не меньших .

К примеру если k = (5, 3, 2, 2, 0, 0), то k̄ = (4, 4, 2, 1, 1). Еслиk = (0, 0, . . . , 0), то k̄ = ∅.()Множество Ckопределим как множество обобщённых плоских разбиений сграничным условием k̄ и дополнительными условиями, = ,+ , = 1 . . . ,1,1 ≤ .()Обозначим k () производящую функцию таких разбиений:()k () =∑︁ ||(8)()∈CkОсновным результатом данной главы является доказательство теоремы:Теорема 1. Существует биекция:()Ak()→ B() × Ck ,()()такая, что если () = (, ), ∈ Ak , ∈ B() , ∈ Ck , то || = || + ||.Следствием этой теоремы является соотношение()k () =1 () ().

k(9)Доказательство теоремы 1 проводится прямым биективным методом с по­мощью алгоритма . Традиционно [17] алгоритм RSK формулируется дляпары обратных полустандартных таблиц Юнга, но такое описание неудобно дляприменения к плоским разбиениям. Для наших целей удобно переформулиро­вать алгоритм непосредственно в терминах плоских разбиений (минуя проме­жуточный шаг — таблицы Юнга).

В п. 2.1 мы осуществляем такую переформу­лировку алгоритма и перечисляем его основные свойства.9Затем в п. 2.2 с помощью описанного алгоритма мы строим явные отоб­()ражения : Ak()→ B() × Ck()и : B() × Ck()→ Ak , которые взаимнообратны (и, следовательно, являются биекциями), и сохраняют вес, что дока­зывает теорему 1.Глава 3 описывает основные необходимые факты из теории представле­ний алгебры gl∞ .

В п. 3.1 для наглядности рассматривается конечномерныйпример — представления алгебры gl . Показывается, что при определённыхзначениях старшего веса соотвествующий базис индексируется плоскими раз­биениями ограниченного размера.В п. 3.2 рассматривается предел этой конструкции при → ∞. Функция()k () выражается как характер в неглавной градуировке некоторого представ­ления алгебры gl∞ .Пусть k = (1 , . . . , ) ∈ Z+↓ . Рассмотрим представление алгебры gl∞ состаршим вектором , на котором задано действие образующих(k) = , = 0 при < ,(10)где(k)= при +1 ≤ < , = 0, .

. . , .(Здесь мы считаем 0 = +∞, +1 = −∞.)Обозначим это представление Ω+k . Аналогично конечномерному случаю втаком представлении можно выделить базис, индексируемый плоскими разбие­(0)ниями из множества Ck .Определим операторыℰ=∑︁≥0 +∑︁( − ), = ℰ ,ℰ = ℰ + <0∑︁ , = ℰ .≥0(11)(0)Для произвольного плоского разбиения ∈ Ck прямое вычисление пока­зывает(︃ℰ |⟩ =)︃|| + ∑︁>010, + ,где =12∑︀ ( − 1). Осталось заметить, что кратная диагональ, присутству­=1()()и функции k , эквивалентна одинарной∑︀диагонали, взятой раз, с поправочным слагаемым |k| = .

Таким об­ющая в определении множества Ckразом, получаем следующее равенство, выражающее функцию k как характер(в неглавной градуировке) на представлении:k ()=−−|k|⃒⃒tr( )⃒ + .(12)ΩkВ п. 3.3 описывается конструкция двойственности Хау для пары (gl∞ , gl ).()()Определим алгебру Φ как алгебру с образующими , * , ∈ Z, = 1 .

. . и соотношениями:()()()()()()[ , ]+ = [ * , * ]+ = 0, [ , * ]+ = −, , .(13)Здесь [·, ·]+ обозначает антикоммутатор, т.е. [, ]+ = + .Построим представление алгебры Φ. Выберем порождающий вектор иположим{︃() = 0 > 0,() * = 0 ≥ 0,(14)а остальные элементы действуют свободно с учётом соотношений алгебры.

Обо­значим = Φ.Алгебра Φ содержит две коммутирующие подалгебры Ли gl∞ и gl , базисыкоторых явно указаны в тексте диссертации. Таким образом может рассмат­риваться как представление каждой из этих двух подалгебр.Теорема 2. Относительно действия gl∞ + gl имеет место разложение⨁︁=Ω+(15)k ⊗ k .k∈Z↓Отсюда в частности следует, что подпространство gl()-инвариантов в образует представление Ω+0 относительно действия gl∞ . И вообще, множе­ство всех старших векторов относительно gl с весом k образует неприводи­мое представление Ω+k , a множество всех старших векторов относительноgl∞ с весом k+ образует неприводимое представление k .11В главе 4 доказывается формула (4).