Автореферат (Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры)

На правах рукописиМутафян Георгий СеменовичХарактеры представлений квантовой̂︁̂︁1тороидальной алгебры gl01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чиселАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2014Работа выполнена на факультете математики Национальногоисследовательского университета «Высшая школа экономики».Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессорБорис Львович ФейгинОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,старший научный сотрудник Институтатеоретической физики им.

Л.Д.ЛандауЯрослав Петрович Пугайдоктор физико-математических наук,ведущий научный сотрудник Институтатеоретической и экспериментальной фи­зикиЮрий Александрович НеретинВедущая организация:Федеральное государственное бюджетноеучреждение науки Математический ин­ститут им. В.А. Стеклова РАНЗащита состоится 28 октября 2014 г. в 16:00 на заседании диссертационного сове­та Д002.077.03 при Институте проблем передачи информации им.

А.А.ХаркевичаРАН, расположенном по адресу: 127994, г.Москва, ГСП-4, Большой Каретныйпереулок, 19, стр.1.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачиинформации им. А.А.Харкевича РАН.Автореферат разослан «»2014 г.Ученый секретарьдиссертационного совета,кандидат физико-математических наукА. Н.

СоболевскийОбщая характеристика работыАктуальность темы исследования. -алгебры активно изучаютсяв последние десятилетия в связи с их широким применением во многих фи­зических и геометрических вопросах. Возникли они изначально как попыткипостроить достаточно широкий класс примеров конформных теорий поля.

Насовременном языке большая часть структуры конформных теорий поля задаёт­ся т.н. вертекс-операторной алгеброй, т.е. алгеброй, снабжённой операторнымпроизведением, и -алгебры, будучи частным случаем вертекс-операторныхалгебр, позволяют такие теории строить.Первоначально -алгебры возникли как результат редукции аффиной ал­гебры Ли по подалгебре нильпотентных токов. Большинство известных на се­годняшний день -алгебр построены именно так. Самый изученный случай — -алгебры, ассоциированные с gl или sl ([1], [2], [3]).̂︁̂︁1 , характеры которой вычисляются вКвантовая тороидальная алгебра glнастоящей работе, может рассматриваться как деформация таких -алгебр.̂︁̂︁1 является очень сложной задачей.

ВКлассификация представлений алгебры gl2011 г. Б.Л. Фейгину с соавторами в работе [4] удалось выделить класс представ­лений (названных представлениями Мак-Магона), которые можно явно опи­сать в терминах комбинаторных объектов, известных как плоские разбиения.По сути конструкция этих представлений напоминает реализацию представле­ний алгебры gl в терминах базиса Гельфанда-Цетлина. В дальнейшем [5] эта̂︀̂︀ и её представления. Возникла есте­конструкция была обобщена на алгебру glственная задача – вычислить характеры этих представлений как производящиефункции соответствующих плоских разбиений.

Отметим, что вычисление ха­рактеров является первым и важным шагом в изучении представлений в кон­формной теории поля. Знание характеров позволяет сравнивать конформныетеории с теориями, построенными другими способами (скажем, с решётчатымитеориями), поскольку через характер в них выражаются статистические суммы.1Также отметим, что для -алгебр характер их модуля Верма (получаю­щегося редукцией из модулей Верма для алгебры токов) равен 1∞ , где ∞ =∏︀∞=1 (1− ), и поэтому можно предположить, что искомые характеры будут вы­ражаться в виде ()(∞ ) ,т.е.

в виде разложения по базису из характеров модулейВерма (иначе говоря будут иметь вид, аналогичный формуле Вейля). В диссер­тации вычисляются характеры некоторых построенных представлений алгебры̂︁̂︁1 , и тем самым доказывается, что такие формулы действительно имеют место.glСтепень разработанности темы исследования. Интерес к кванто­вым тороидальным алгебрам возрос, когда выяснилось, что они возникают вгеометрических вопросах, а также в топологической теории поля. Ввиду этогоони активно изучаются последние примерно 10 лет.̂︁̂︁1 реализована как эллиптическая алгебра Холла.

ВВ работе [6] алгебра glэтой работе она появляется геометрически как алгебра, построенная по катего­рии когерентных пучков эллиптической кривой.̂︁̂︁1 на пространстве когерентныхВ работе [7] изучается действие алгебры glкогомологий пучков на A2 .В работе [8] доказано, что квантовые тороидальные алгебры gl изоморф­ны двойным shuffle-алгебрам Фейгина-Одесского, что позволило в дальнейшемдоказать гипотезу Кузнецова о К-теории.В работах Накаджимы [9, 10] по колчанным многообразиям было показано,что на когомологиях К-теории таких многообразий действуют обёртывающиеалгебры разнообразных квантовых групп.

В частности многообразия инстанто­нов в топологической теории Янга-Миллса – это частный случай колчанныхмногообразий, и на их эквивариантных К-теориях действуют квантовые торои­дальные алгебры. Поэтому теория представлений тороидальных алгебр нашласвои применения в теории поля и геометрии. С другой стороны геометрия истан­тонных многообразий позволяет понять многое о представлениях.

В частностиоказывается, что в некоторых представлениях имеются естественные базисы, вкоторых действия образующих тороидальных алгебр даются явными матрица­2ми. Базисные вектора с геометрической точки зрения - это неподвижные точкидействия тора на инстантонных многообразиях. (См. [11], [12], [13], [14]).Цели и задачи диссертационной работы: Цель работы – вычислить̂︁̂︁1 как производящие функциихарактеры некоторых представлений алгебры glплоских разбиений.

Описание самих представлений можно найти в главе 1.Здесь мы приведём сразу комбинаторную формулировку задачи в том виде,как она решается в диссертации.Будем обозначать Z↓ множество наборов из нестрого убывающих целыхчисел. Т.е если k ∈ Z↓ , то k = (1 , . . . , ),1 ≥ 2 ≥ · · · ≥ , ∈ Z.Подмножество множества Z↓ , состоящее из наборов неотрицательных чисел,будем обозначать Z+↓ .Определение 1. Обобщённым плоским разбиением с граничным условием k =(1 , . .

. , ) ∈ Z+↓ называется набор целых неотрицательных чисел , , , ∈N, удовлетворяющих условиям:1. ∀, > 0 : , ≥ ,+1 , , ≥ +1, ,2. , ≥ при > 0, 1 ≤ ≤ ,3. || < ∞,где величина ||, называемая весом разбиения, определяется следующим обра­зом:|| =(︃∑︁ ∑︁>0, +>∑︁)︃(, − ) .(1)=1()При заданных целых , > 0 и заданном k ∈ Z+↓ обозначим Akмножествовсех плоских разбиений с граничным условием k и дополнительным условием+1,+1 = 0.()Множество Ak(2)̂︁̂︁1индексирует базис некоторых представлений алгебры gl(соответствющих резонансному случаю, см. п.

1.3 диссертации), и характер та­3ких представлений может быть записан как производящая функция()∑︁k () = || .(3)()∈AkВычисление этой производящей функции и является целью диссертации.Положения, выносимые на защиту.Перечислим основные научные положения и результаты диссертации.1. Получена формула характера для случая k = (0, 0, . . . , 0) (без потери⏟⏞общности подразумевается ≥ ):1(),,00 () = (0,0,0)=×(∞ )+(︃∑︀1∑︁∏︁(2 +(2−1) )|t| 2 =1 ×(−1) (1 − − +− )k∈Z+↓1≤<≤)︃∏︁(1 − − +− )1≤<≤(4)где мы считаем = 0, если > , ∞ =∞∏︀(1 − ).=12. Получена формула характера для случая произвольного k и = :(),,0k () = (k,0,0)=−∑︀(−1)=1∑︁(∞)2sgn()(︃ (︃ +∞∏︁ ∑︁=1∈S)︃)︃(−1) ( −+())+ (+1)2=0(5)Здесь S – симметрическая группа.3.

Получена формула характера для произвольных k, , :,,0(k,0,0) −|k|−k ∑︁=sgn()^(k) ()(∞ ) ∈Sгде ˆ – оператор Z → Z , определённый следующим образом:∀ = (1 , . . . , ) ∈ Z :4(ˆ()) = () − () + ,(6)и ∀ = (1 , . . . , ) ∈ Z :(︃[︂]︂ )︃∏︁∑︁(− )2 +(− )+−12 () =(−1) .−1≥0=14.

Алгоритм сформулирован в виде, отличном от традиционно при­меняемого в комбинаторике. В новой формулировке алгоритм напрямуюприменяется к плоским разбиениям и позволяет явно отслеживать изме­нение плоского разбиения при пошаговом преобразовании в N-матрицу.5. Предложен подход к вычислению производящих функций, основанный начастичном преобразовании плоского разбиения: в отличие от традицион­ного алгоритма , последнее приводится не к нулю, а к паре (плоскоеразбиение, -матрица), что позволяет разложить искомую производящуюфункцию в произведение двух других производящих функций (формула(9)), одна из которых является хорошо известной, а другая может бытьнайдена методами теории представлений.Отдельно следует прокомментировать три формулы для производящихфункций (4), (5), (6). При подстановке k = (0, .

. . , 0) в формулу (6) получаетсявыражение, отличное от (4), хотя обе формулы задают производящие функцииодного и того же множества. Точно так же при подстановке = в формулу(6) получается выражение, отличное от (5). По-видимому, совпадение этих фор­мул, которое можно проверить прямым раскрытием скобок, является нетриви­альным комбинаторным фактом даже при малых значениях индексов. Авторунеизвестно прямое арифметическое доказательство этого факта.Научная новизна.∙ Формула (4) была высказана в [4] в качестве гипотезы, однако её доказа­тельство не было известно. Оно было получено в работе [15] сочетаниемкомбинаторно-алгебраических методов.5∙ Формула (5) впервые в явном виде получена в работе [16], хотя идеи еёполучения и доказательства излагались в той же работе [4].

В этом слу­чае (при = ) искомая производящая функция может быть вычисленатолько методами теории представлений, без вмешательства комбинатори­ки.∙ Формула (6) впервые получена и доказана в работе [16]. В доказатель­стве используется обобщение комбинаторного подхода, применявшегосяпри доказательстве (4), и методов теории представлений, применявшихсяпри доказательстве (5).Теоретическая значимость. Полученные в диссертации результатыимеют теоретическое значение.