Автореферат (Чиленное и математическое моделирование нелинейных течений и волн в средах со сложной геометрией)

На правах рукописиАСЕЕВА Наталья ВладимировнаЧИСЛЕНОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕНЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ И ВОЛН В СРЕДАХ СО СЛОЖНОЙГЕОМЕТРИЕЙ01.02.05 – МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫАвторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНижний Новгород, 20071Работа выполнена на кафедре «Информационные системы и технологии»Нижегородского филиала Государственного университета – Высшая школаэкономики, г. Нижний Новгороди на кафедре «Прикладная математика» Нижегородского государственноготехнического университета, г.

Нижний НовгородНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Е.М. Громов,кандидат физико-математических наук,профессор О.Р. КозыревОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор А.А. Абрашкин,кандидат физико-математических наук,доцент И.Ю.

ДёминВедущая организация:Научно-исследовательскийрадиофизический институтЗащита состоится «14» ноября 2007г. в __ часов на заседании специализированногосовета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университетепо адресу: Н.Новгород, 603600, ул. Минина, 24, корп. 1, ауд. 1258.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НижегородскогоГосударственного Технического Университета.Автореферат разослан «10» октября 2007г.Ученый секретарьспециализированного совета Д 212.156.10Д. ф.-м.н., профессорА.А.

Куркин2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность проблемыПроблема распространения нелинейных течений и волн в средах со сложнойгеометриейявляетсяактуальнойипрактическизначимойвследствиеееразнообразных технических приложений. Описанная проблема очень многогранна изатрагивает различные предметные области. Для рассмотрения в работе выбранызадачи являющиеся актуальными в своих предметных областях таких какаэроакустика, газодинамика, распространение импульсов в опто-волоконных линияхсвязи.Настоящая диссертация посвящена дополнению существующего описанияраспространениянелинейных течений и волн в средах со сложной геометриейпутем рассмотрения новых моделей.Цель работы1.

Исследовать трехмерную акустическую систему в среде, характеризующейсясложной геометрией в рамках системы уравнений Эйлера; Разработатьэффективную математическую и численную модели, позволяющую с высокойточностью и за приемлемое время решать большой спектр задач, связанных спроблемой истечения газа из сопла сложной геометрии.2. Исследовать газодинамическую систему в среде, характеризующейся сложнойгеометриейврамкахбазовойсистемыуравнений газовойдинамики;Разработать математическую модель и эффективный численный алгоритм длярешения нелинейной газодинамической системы3. Исследоватьраспространениеинформационныхимпульсоввпространственно неоднородных опто-волоконных линиях связи в рамкахнелинейногоуравненияШредингератретьегопорядка.Разработатьматематическую модель.

Проверить наличие стационарных состояний, прикоторых параметры солитона не зависят от неоднородности среды.Научная новизна результатов работыНаучная новизна результатов работы заключается в следующем:1. Построена численная модель распространения акустических возмущений всредах, характеризующихся сложной геометрией и наличием фонового3течения.2. Дляверификациичисленноймоделираспространенияакустическихвозмущений в средах, характеризующихся сложной геометрией и наличиемфоновоготеченияпостроеннаборточныхрешенийдляразличныхпредельных случаев.3. Разработан процесс перехода от нелинейной задачи газовой динамики клинейной задаче в плоскость годографа скорости без потери точности.4.

Построена эффективная численная газодинамическая модель в средах,характеризующихся сложной геометрией.5. Разработана математическая модель распространения информационныхимпульсоввнеоднородныхопто-волоконныхлинияхсвязиврамкахнелинейного уравнения Шредингера третьего порядка.6. Показано наличие стационарных состояний, при которых параметры солитонане зависят от неоднородности среды.Апробация диссертации.Основные результаты диссертации отражены в 11 публикациях (из них 7 статей и4 тезисов докладов) и были представлены на следующих конференциях:●"Сессия молодых ученых" (информационные 2001г, 2002г.

и естественнонаучные дисциплины 2006г.) г. Саров,●международная конференция GAMM2003 г. Падуя (Италия),●семинары Технического университета г. Берлин (Германия) 2002г. - 2004г.,●IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике г. НижнийНовгород 2006г.Статьи по теме диссертации были опубликованы в следующих журналах:●"Physics Letters A",●"ERCOFTAC bulletin",●"Proceedings in Applied Mathemathics and Mechanics",●"Известия академии наук РФ".Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объемдиссертации 122 страницы, включая29 рисунков и список литературы из 77наименований.4КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВведениеВо введении обосновывается актуальность проблемы, формулируются целидиссертационной работы и кратко излагается ее содержание.Первая главаВ первой главе трехмерная акустическая система (акустические колебания приналичии фонового потока) в средах, характеризующихся сложной геометрией.В §1.2 представлен вывод основных уравнений, описывающих трехмернуюлинейную модель распространения акустических волн в сопле.В §1.3 для осесимметричного сопла описан процесс замены трехмерной моделинабором двухмерных моделей путем подстановки решения в виде разложения в рядФурье в азимутальном направлении.

Так как источник звуковых колебаний слабозависит от азимутальной компоненты, то модами с высоким азимутальным индексомможно будет пренебречь. Поэтому набор двухмерных моделей будет конечным.В §1.4 описан процесс построения эффективного численного алгоритма решениязадачи,учитывающий малость потерь распространения акустических возмущений всоплеипозволяющийрассматриваетсявопросполучитьовыборерезультатвысокойэффективнойточности.схемыВ§1.4.1дискретизациипопространству и времени. Для данной постановки задачи впервые разработанасохраняющая дисперсионное соотношение семиточечная конечно-разностная схема.Эта схема, кроме устойчивости гарантирует, что дисперсионное соотношениеразностной схемы будет таким же или почти таким же как у линеаризованногоуравнения Эйлера. А для дискретизации по времени, также впервые для даннойпостановки разработана низкодиссипативная, низкодисперсионная 5-6 схема РунгеКутта.

В §1.4.2 определены граничные условия задачи: граничное условие нажесткой стенке, учитывающее особенности выбранной схемы дискретизации;граничное условие симметрии, безотражательное граничное условие в устье сопла;граничное условие источника звука. В качестве граничного условия источника звукарассматриваетсяточноерешениезадачиораспространениивозмущений,возникающих вследствие вращения твердого тела в цилиндрическом сопле вприсутствии дозвукового потока.В §1.5 описаны особенности численной реализации решения трехмерной задачи5о распространении акустических волн в осесимметричном сопле сложной геометрии.В §1.6 описаны, полученные для предельных случаев тестовые решения.●Одномерная модель: точное решение для безотражательного сопла●Одномерная модель: точное решение для сопла со ступенчатой геометрией●Трехмерный случай: точное решение задачи о распространении возмущений,возникающих вследствие вращения твердого тела в цилиндрическом сопле вприсутствие дозвукового фонового потока.Данные решения использованы для апробации и тестирования предлагаемогопрограммного комплекса.

На рис. 1 изображено сравнение численного решения саналитическим тестовым решением. Можно заметить хорошее соответствие междучисленным и аналитическим решениями.Рисунок 1.Вторая главаВо второй главе рассматривается другая модель внутреннего течения –газодинамическая система в средах, характеризующихся сложной геометрией.Исследуется трансзвуковое истечение идеального газа из плоского сужающегосясимметричного сосуда с прямолинейными стенками.Рассмотрение проведено встационарном, адиабатическом, потенциальном приближении течения газа.В §2.2 описана построенная математическая модель истечения идеального газаиз сосуда с бесконечными прямолинейными стенками в рамках базовой системыгазовой динамики.В §2.3 описана эффективная методика переноса задачи в плоскость годографа6скорости. Данная методика предоставляет возможность преобразовать общиеуравнениякнезависимымпеременнымвплоскостигодографаскорости.Результатом этой деятельности является приведение нелинейной задачи к линейнойкраевой задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина в видоизмененной плоскостигодографа скорости без потери точности.

На рис. 2, 3 показаны, плоскость течения вплоскости (x,y) и в плоскости годографа скорости.В §2.4 рассказывается о процессе построения эффективного численногоалгоритма решения задачи. В §2.4.1 описана эффективная разностная схема,построенная путем расщепления разностного оператора в соответствии с типомдифференциального оператора. Для разностной схемы в §2.4.2 были полученыкритерии устойчивости; доказана теорема сходимости; схема была исследована наприсутствие искусственных членов.В §2.5 Приведены результаты тестовых расчетов.

На рис. 4 изображены линииравных чисел Маха.Рисунок 2Рисунок 3Рисунок 47Третья главаВ третьей главе исследована динамика коротких солитонов огибающей в средахс пространственно неоднородной структурой. Исследование проведено рамкахнелинейного уравнения Шредингера третьего порядка (НУШ-3) с неоднороднымикоэффициентами:●неоднородной линейной дисперсией второго порядка;●неоднородной линейной дисперсией второго и третьего порядка.В §3.2 в построена новая математическая модель, описывающая динамикукоротких солитонов огибающей в средах с переменной дисперсией второго порядкапри учете эффектов дисперсии третьего порядка.В §3.2.1 проанализирована динамика солитона в адиабатическом приближении.Впервые получено уравнение, описывающее изменение амплитуды солитона припрохождении неоднородности.

Эти изменения определяются параметрами каквторого, так и третьего порядка. Найдены изменения амплитуды солитона припрохожденииимнеоднородности.Установлено,чтодляпериодическойнеоднородности изменение амплитуды солитона так же является периодическим безсдвигафазыотносительноизмененияпараметрасреды.Припрохождениинеоднородности в виде плавного перепада амплитуда солитона возрастаетнезависимо от направления градиента неоднородного профиля.

При движениисолитона на колоколообразной неоднородности изменение амплитуды солитонапропорционально профилю неоднородности.В §3.2.2 определены границы применимости адиабатического приближения изусловия малости полей излучения по сравнению с ядром солитона. Исследованиепроводилось при помощи численных методов.

Показано, что энергия поля излучениязависит от величины перепада профиля неоднородности, но не зависит от величиныградиента неоднородного профиля. На рис. 5 изображено распределение модуляогибающей волнового пакета в различные моменты времени. При прохождениинеоднородности, характерный размер которой сопоставим с характерным размеромволнового пакета, возникает излучение (рис. 1.в и 1.г).На рис.