Автореферат (Сизигии некоторых вложений Сегре и Веронезе)

На правах рукописиУДК 512.815.2, 512.664.1, 512.723Нетай Игорь ВитальевичСизигии некоторых вложений Сегре и ВеронезеСпециальность:01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселАвторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2013Работа выполнена на в Федеральном государственном автономномобразовательном учреждении высшего профессионального образования«Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики».Научный руководитель:заместитель декана по научной работена факультете математики НИУ ВШЭ,кандидат физико-математических наук,профессор Алексей Львович Городенцев.Официальные оппоненты: профессор кафедры алгебры и геометрииТольяттинского Государственного Университета,доктор физико-математических наукпрофессор Марат Харисович Гизатуллин;начальник сектора ОбъединённогоИнститута Ядерных Исследованийдоктор физико-математических наукпрофессор Николай Андреевич Тюрин.Ведущая организация:Федеральное государственное бюджетноеучреждение науки Математическийинститут им.

В. А. Стеклова РАНЗащита диссертации состоится 28 января 2014 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д002.077.03 при федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем передачиинформации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, расположенном по адресу:127994, г. Москва, ГСП-4, Большой Каретный переулок, 19, стр. 1.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации им.

А. А. Харкевича.Автореферат разосландекабря 2013 г.Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по указанному адресу на имяучёного секретаря диссертационного совета.Учёный секретарьдиссертационного советаД002.077.03 в ИППИкандидат физико-математических наукА.

Н. СоболевскийОбщая характеристика работыАктуальность темыРабота посвящена вычислению сизигий некоторых однородных пространств и некоторых обратимых пучков на них.Для любого проективного многообразия X ⊂ P(W ) рассмотримпроективную координатную алгебру A = S/I(X) как градуированныйS-модуль, где S = k[W ] — алгебра многочленов на пространстве Wи I(X) — однородный идеал многообразия X. Существует резольвента...d/ F2d/ F1d/ F0/A/ 0,являющаяся точной последовательностью свободных градуированныхS-модулей. По теореме Гильберта о сизигиях1 , если выбирать минимальный набор образующих в ядрах, то процесс оборвётся, и мы получимконечную свободную резольвенту.

В каждом таком модуле Fp выберемминимальный набор образующих и породим ими векторное пространство. Обозначим через Rp,q его q-ую однородную компоненту. Обозначим через (p) сдвиг градуировки на p, то есть прибавление p к степеникаждого элемента модуля. ТогдаMFp = S ⊗kRp,q (q).p∈Z>0q∈ZРезольвента минимальна, если все однородные компоненты дифференциала d имеют положительные степени. Пространство Rp,q для минимальной резольвенты называется пространством p-ых сизигий степени q.

Следовательно, тензорное умножение на тривиальный S-модуль kаннулирует все дифференциалы в минимальной свободной резольвенте,и мы получаем(1)Rp,q = TorSp (A, k) q ,откуда следует, что пространства сизигий не зависят от выбора образующих. Пространство TorSp (A, k) q — q-ая однородная компонента градуированного векторного пространства TorSp (A, k).В общем случае вычисление сизигий является очень трудной задачей. Остаются неразрешённые вопросы даже для проективных кривых.В случае нормальной рациональной кривой в проективном пространстве1D.

Hilbert, “Uber die Theorie der algebraischen Formen”, Ges. Abh., II 2, SpringerVerlag (1970), 199–257.1очень хорошо известен ответ2 Для нормальной эллиптической кривойминимальная резольвента может быть найдена в3 . Для кривых рода n вобщем случае вопрос остаётся открытым. В работе4 доказано, что еслидля канонического вложения гладкой кривой C рода g в проективноепространство Pg−1 пространство (Torg−2 (I(C), k))g−4 6= 0, то кривая Cтригональна и лежит на двумерном рациональном нормальном свитке,где I(C) — однородный идеал кривой C.Отдельной широкой областью исследования является изучение такназываемого Np -свойства.

Свойство Np состоит в том, что Ri,j = 0для j 6= i + 1 и 1 6 i 6 p, а также R0,j = 0 при j 6= 0 и R0,0 = k. В частности, N0 означает проективную нормальность, N1 означает, что многообразие X является пересечением квадрик и так далее. Это свойствовведено в5 . В работе6 исследовано свойство Np для вложений Веронезе.В работе7 исследуется N6 -свойство для кубического вложения Веронезе. В работе8 исследовано свойство Np для вложений Сегре. В работе9свойство Np исследовано для флаговых многообразий. В работе10 исследуется связь свойства Np для многообразия в проективном пространствеи для его плоских сечений.Допустим, группа G ⊆ GL(W ) линейно действует на проективномпространстве P(W ) и сохраняет многообразие X ⊂ P(W ).

Значит, группа G сохраняет и идеал I(X). Отсюда можно получить действие G наминимальной резольвенте и на пространствах сизигий. Таким образом,пространства сизигий можно описывать как представления группы G.В работе11 найдены алгебры сизигий плюккеровых вложений грас2J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer-Verlag, 1995.D. Eisenbud, The Geometry of Syzygies, 2002.4B. Saint-Donat, “On Petri’s analysis of the linear system of quadrics trough a canonicalcurve”, 206 (1973), 157–175.5M.

Green, “Koszul cohomology and the geometry of projective varieties, I, II”, J. Diff.Geom., 19, 20 (1984), 125–171, 279–289.6G. Ottaviani,R. Paoletti“SyzygiesofVeroneseembeddings”,http://arxiv.org/abs/math/9811131.7ThavnVu,“N6propertyforthirdVeroneseembedding”,http://arxiv.org/abs/1303.5532v18E. Rubei “On syzygies of Segre embeddings”, Proceedings of the AmericanMathematical Society, 130:12 (2002), 3483–3493.9L. Manivel, “On syzygies of flag manifolds”, Proceedings of the American MathematicalSociety, 124:8 (1996).10D.

Eisenbud, M. Green, K. Hulek, S. Popescu, “Restricting linear syzygies: algebraand geometry” (2004), http://arxiv.org/abs/math/0404516v1.11A. L. Gorodentsev, A. S. Khoroshkin, A. N. Rudakov, “On syzygies of highest weightorbits”, Amer. Math. Soc. Transl. (2), 221 (2007), 79–120.32сманнианов Gr(2, n), и описаны представления группы GL(n) в пространствах сизигий. (На прямой сумме пространств сизигий любого проективного многообразия существует естественная структура алгебры.) Вработе12 показано, что сизигии вложения Сегре произведения нескольких проективных пространств могут быть порождены конечным набором «семейств соотношений» (то есть соотношений, из которых все сизигии получаются заменами переменных), не зависящим от количествапроективных пространств.В данной диссертации мы исследуем вложение Сегре произведениядвух проективных пространств и квадратичное вложение Веронезе.

Пространства сизигий этих вложений описываются теоремами 5 и 8.Широко исследуются сизигии детерминантальных многообразий иидеалов. Допустим, W — некоторое пространство матриц, и в алгебре k[W ] задан идеал I, порождённый минорами матриц. Например, если W — пространство симметрических матриц, а идеал I порождён всеми 2×2-минорами, то идеал I является однородным идеалом квадратичного вложения Веронезе P(V ) ⊂ P(W ), где W = Sym2 V . Сизигии идеалов определяются аналогичным образом.Если I — однородный идеалk[W ]в алгебре k[W ], то положим Rp,q = Torp (I, k) . Аналогичным обqразом можно определять сизигии градуированных модулей над k[W ].В работе13 исследуются свойства детерминантальных идеалов методамитеории колец.

В данной работе мы исследуем сизигии некоторых естественно геометрически возникающих модулей над алгебрами k[Sym2 V ]и k[U ⊗ V ] (см. теоремы 7, 11), обобщая результаты работ1415Рассмотрим на проективном пространстве P(W ) когерентный пучок F . Обозначим через coh(X) категорию когерентных пучков на многообразии X, через grmod(S) — категорию конечно порождённых градуированных S-модулей. Пусть X ⊂ PN — проективное многообразие.Определим функтор F : coh(X) → grmod(S) формулой!MMF (F ) =Γ PN , F (n) (−n) = HomPNO(−n), F .n>0n>012A. Snowden,“SyzygiesofSegreembeddingsand∆-modules”,http://arxiv.org/abs/1006.5248.13橋 本 光 靖 (Mitsuyasu Hashimoto) “Determinantal Ideals and Their BettiNumbers — A Survey”, 数理解析研究所講究録 第 857 巻 1994 年, 40–50.14A. Lascoux, “Syzygies de variétés déterminantales”, Adv.

Math., 30 (1978), 202–237.15V. Reiner, J. Roberts, “Minimal resolutions and the homology of matching andchessboard complexes” (1997).3Определение 1. Назовём минимальной резольвентой пучка F последовательностьMM... →M1,q (F (F )) ⊗ O(−q) →M0,q (F (F )) ⊗ O(−q) → F → 0,q∈Zq∈Zгде Mp,q (−) = (Torp (−, k))q . Факт, что эта последовательность является резольвентой, следует из теорем A и B работы16 . Пространства Mp,q (F (F )) будем называть сизигиями пучка F и будем обозначать Rp,q (F ).Таким образом, минимальные резольвенты пучков на проективномпространстве P(V ) оказываются связаны с сизигиями градуированныхмодулей над k[V ]. Результаты о построении минимальных резольвентпучков на некоторых детерминантальных многообразиях могут бытьнайдены в17 . В данной работе мы построим минимальные резольвенты пучков OP(V ) (a) в P(Sym2 V ) для a > − dim(V ) и OP(U )×P(V ) (a, b)в P(U ⊗ V ) для a > − dim(U ) и b > − dim(V ) (см.

теоремы 7, 11).Таким образом, тема диссертации относится к актуальным направлениям эквивариантной алгебраической геометрии.Цель работыЦель работы — вычисление сизигий некоторых однородных пространств,вычисление сизигий некоторых обратимых пучков на этих многообразиях, построение минимальных свободных резольвент этих пучков.Научная новизнаОсновные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.1. Классифицированы все пары (G, π), состоящие из полупростой алгебраической группы G и доминантного веса π, при которых• в представлении группы G в каждой внешней степени неприводимого представления со старшим весом π нет кратных подпредставлений;16M.

Green, “Koszul cohomology and the geometry of projective varieties, I, II”, J.Diff. Geom., 19, 20 (1984), 125–171, 279–289.17J. Weyman, “Cohomology of vector bundles and syzygies”, CUP (2003).4• в тензорном произведении любого неприводимого представления группы G и любого неприводимого представления состаршим весом, кратным π, нет кратных подпредставлений.2. Для бесконечных серий этой классификации вычислены сизигииобратимых пучков на однородном пространстве X, являющихсяпроизведением обильного пучка и канонического пучка KX многообразия X, где X является проективизацией орбиты вектора старшего веса в представлении группы G со старшим весом π.Основные методы исследованияВ диссертации используются методы гомологической алгебры, кошулевых когомологий, теории представлений полной линейной группы.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация имеет теоретический характер.