Диссертация (Резервные цены в асимметричных аукционах), страница 3

Что зачастую подконкуренцией авторы понимают лишь число конкурентов в аукционе. Для данного исследования подобного рода определения недостаточно. Поэтому я предложил собственное определение конкуренции в аукционе, через понятие «давлениеконкуренции».Каждый покупатель обладает некоторым типом ( = ) — его ценностьот обладания единицей товара. Назовем средней стоимостью единицы товарадля покупателя с типом отношение ожидаемого платежа к ожидаемому количеству товара:() =().()(4)Тогда за полезность покупателя с типом от обладания единицей товара можноположить разницу его ценности этой единицы товара и среднюю стоимость заединицу товара:() = − ().(5)Таким образом, факт увеличения конкуренции можно связать с уменьшениемполезности покупателя или с увеличением средней стоимости единицы товара.Определение (давление конкуренции).

Давлением конкуренции () назовемпроизводную функции среднего платежа за единицу товара, то есть∫︁ () = () или () =() .0Далее, в работе приводится определение бинарного отношения доминирования аукционов в смысле конкуренции в них. Наиболее интуитивно понятными естественным способом является определение через функцию давления конкуренции. Но оказывается, это определение можно ослабить так, что основнойрезультат касательно эффективности резервной цены будет сохранен. Несмотряна то, что второе определение менее интуитивно понятно, оно используется вдальнейшем как основной способ описания факта «увеличения конкуренции» ваукционе.Определение.

Будем говорить, что аукцион ⟨1 , 1 ⟩ доминирует аукцион⟨2 , 2 ⟩ в смысле давления конкуренции и обозначать ⟨1 , 1 ⟩ ≻ ⟨2 , 2 ⟩,12если∀,1 () ≥ 2 ().Определение. Будем говорить, что аукцион ⟨1 , 1 ⟩ доминирует аукцион⟨2 , 2 ⟩ в смысле уровня конкуренции и обозначать ⟨1 , 1 ⟩ ≻ ⟨2 , 2 ⟩, еслиотношение их функций ожидаемого количества товара 1 ()/2 () не убываетпо .Далее, в данной главе описаны с пояснениями часть основных теоретических результатов работы, которые здесь приводятся без доказательств.Лемма 1.1. ⟨1 , 1 ⟩ ≻ ⟨2 , 2 ⟩ ⇒ ⟨1 , 1 ⟩ ≻ ⟨2 , 2 ⟩.2. ⟨1 , 1 ⟩ ≻ ⟨2 , 2 ⟩ ⇒ ∀, 1 () ≥ 2 ().Теорема 1.⟨1 , 1 ⟩ ≻ ⟨2 , 2 ⟩ ⇒ [1 , 1 ] < [2 , , 2 ].Важной характеристикой контекста аукциона является вектор качестватоваров .

Для того, чтобы продемонстрировать пример, какие свойства в аукционе влияют на уровень конкуренции, рассмотрим случай, когда вектор качестватоваров можно описать тройкой параметров, ⟨, , ⟩,: = (1 , . . . , ),∀ > , = 0,∀ ≤ ,+1 = (0 < ≤ 1).Таким образом, вектор , определенный через тройку ⟨, , ⟩, описывает случай аукциона по продаже товаров с покупателями, где качество товаровдисконтируется на постоянный знаменатель .Определение.Пусть даны два контекста аукциона, 1=⟨1 , 1 , ()⟩ и2 = ⟨2 , 2 , ()⟩, где 1 = ⟨1 , 1 , 1 ⟩ и 2 = ⟨2 , 2 , 2 ⟩.Тогда будем говорить, что 1 доминирует 2 по вектору качества товаров (1 ≻ 2 ), если выполнено одно из следующих условий:(i) 1 > 2 , 1 = 2 , 1 = 2 ;(ii) 1 = 2 , 1 < 2 , 1 = 2 ;(iii) 1 = 2 , 1 = 2 , 1 < 2 ;13Лемма 2.1 ≻ 2 ⇒ ⟨, 1 ⟩ ≻ ⟨, 2 ⟩.Важной частью данной главы является параграф 1.3.3, где обсуждаетсяданная проблема в контексте иррегулярности задачи и дается определение важному понятию отношения над участниками быть сильнее6 (обозначается как<hr ).Во второй главе представлены основные теоретические результаты пооптимизации аукциона второй цены и его обобщения с помощью резервнойцены при различных случаях доступной аукционисту информации про силуучастников.

Для простоты изложения и выкладок предполагается существование лишь двух различных классов участников, = ⊔ ,, причем∀ ∈ , ∼ (), где ∈ { , }, <hr .В параграфе 2.1 приводятся возможные различные случаи доступной аукционисту информации и устанавливается эквивалентность между некоторыми изних.(D) Детальная информация (эталон). Продавец обладает информацией про вседетали: знает точные распределения ценностей каждого участника, то естьдля любого аукционист достоверно знает вид функции .(An) Анонимизированная информация. Аукционист лишь знает вид распределений сильного и слабого участников, то есть вид функций и .

Крометого, аукционист знает общее число слабых участников и сильных , = + .(Pr) Вероятностная информация. Аукционист знает, что с заданной вероятностью конкретный участник может быть из сильного класса, то есть∀ ∈ , = P{ ∈ }.(Av) Усредненная информация (симметризованная). Данный случай соответствует модели, где продавец считает, что все участники симметричны с одними тем же распределением ценностей ().Теорема 2.

Оптимальные значения резервных цен и значения ожидаемой прибыли при них совпадают в случаях (D) и (An), = ,E[ℛ ] = E[ℛ ],6Данное понятие определяется в различных вариантах с помощью соответствующих понятий стохастическогодоминирования для случайных величин — типов участников. В работе используется вариант определения,построенный на основе понятия доминирования в смысле функции отказов или hr-с.д.14и также совпадают для пары случаев (Pr) и (Av), = ,E[ℛ ] = E[ℛ ].Теорема 2 утверждает, что принципиальная разница происходит лишь при переходе от вероятностного знания про наличие сильного участника к точномузнанию факта его присутствия. Дальнейшая детализация представления аукциониста об участниках оказывается не релевантной.В параграфе 2.2 показан результат сравнивающий между собой неэквивалентные случаи для однотоварного аукциона второй цены.Теорема 3.

Пусть и есть оптимальные значения резервных цен дляанонимного и усредненного случаев соответственно. Кроме того, пусть и есть оптимальные резервные цены для моделей, в которых все участникислабые или сильные соответственно.Если предположить, что <ℎ и что регулярна, то можнопоказать, что ≤ ≤ ≤ .Количественные оценки возможной разницы в величине прироста ожидаемой прибыли для неэквивалентных друг другу случаев показаны на результатахмодельных вычислений, см. Рис. 1.

Видно, что разница может быть существенной, поэтому учет асимметрии в анонимном случае может заметно влиять наоптимальное значение резервных цен.В параграфе 2.3 выводятся обобщения данного результата сравненияна случаи многотоварных аукционов с единичным спросом. Наиболее простоеобобщение аукциона второй цены на случай объектов для продажи представляет собой аукцион равномерной цены.есть оптимальные значения резервных цен дляТеорема 4. Пусть ианонимизированного и симметризованного случаев соответственно в аукционеравномерной цены с идентичными объектами на продажу.Тогда, для любого 1 ≤ ≤ имеем,= ,и, более того, для любого 1 ≤ ≤ − 1,≥ +1≥ = .С использованием ранее определенного понятия вектора качества товаров результат удается обобщить и на случай неодинаковых объектов продажи.15Например, для обобщенного аукциона второй цены с рекламными позициями в предположении, что участники следуют равновесию, описанному в работе[Edelman et al.’07], с платежами эквивалентными аукциону Викри можно получить следующий результат.Теорема 5.

Пусть ,и ,есть оптимальные значения резервных цен вобобщенном аукционе второй цены с объектами на продажу и векторомкачества в случаях () и () соответственно.Тогда для любого числа объектов 1 ≤ ≤ имеем,= ,более того, для любого 1 ≤ ≤ − 1,,≥ ,+1≥ ,≥ .аукциоПри этом, если сравнить с оптимальной резервной ценой на равномерной цены, который соответствует вектору = 111..1⏟ ⏞ 00..0, тоимеем,> .Таким образом, для всех рассмотренных аукционов устанавливается значимость информации про точное число сильных покупателей для задачи оптимизации ожидаемой прибыли.

Суммарно все результаты полученных теоремпредставлены на Рис. 2, где явно виден дополнительный эффект убывания возможной разницы в оптимальных резервных ценах с ростом числа объектов напродажу.Глава 3 посвещена практическим вопросам возможной оптимизации позиционных аукционов с помощью резервных цен.В параграфе 3.1 описываются правила аукциона для продажи рекламыв компании «Яндекс». Дается интерпретация рекламе на поисковом интернетсервисе как модели с тремя типами участников: компания-поисковик, рекламодатели и интернет-пользователи — чьи интересы должны быть учтены привозможном изменении правил аукциона.В параграфе 3.2 описаны существующие подходы к восстановлениюнеизвестных функций распределений. Один из подходов описан на примеререализации авторской модификации, реализованный в комплексе программ врамках проекта оптимизации рекламных аукционов компании «Яндекс».