Автореферат (Задачи оптимизации в страховых моделях с разрывной функцией распределения выплат), страница 2

Предложены и реализованы численныеметоды вычисления распределения суммарной выплаты,необходимого дляопределения оптимальных параметров.Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является разработкаразличных подходов к оптимальному выбору параметров страховых моделей сразрывной функцией распределения выплат и их сравнение между собой.Основными задачами работы являются:61. Определение оптимальных параметров страхования, обеспечивающихмаксимальную надежность страхового портфеля для случая разрывнойфункции распределения выплат.2.

Разработка алгоритмов вычисления распределения суммарных выплат приразрывной функции распределения индивидуальной выплаты. Исследованиефункции надежности на основе разработанных алгоритмов.3. Разработка имитационного подхода к вычислению надежности страховогопортфеля с разрывной функцией распределения выплат. Анализ точностиимитационного подхода.Методы исследования. Для решения поставленных задач использовалисьметоды теории вероятности, методы математического и функциональногоанализа, численные методы, методы оптимизации, методы имитационногомоделирования.Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и состоят вследующем:1)В рамках рассматриваемых моделей решены задачи оптимизациипараметров страхования, обеспечивающих максимальную надежностьстрахового портфеля. На основе метода нормальной аппроксимации дляобщегослучаяраспределенияущербаполученыуравнениянаоптимальные значения параметров страхования. Для вычисленияоптимальных значений параметров реализован комплекс программ всистеме Matlab.2)Разработан подход к вычислению распределения суммарных выплатприразрывнойфункциираспределениявыплаты.Полученырекуррентные формулы для вычисления функции распределения.

Дляравномерногораспределенияущербанайденоявноевыражениефункции распределения суммарных выплат. Разработан комплекспрограмм численного вычисления функции надежности. Предложеныалгоритмы параллельных вычислений. Обнаружено новое явления7скачка функции надежности при непрерывном изменении параметровстрахования.3)Разработан комплекс программ для вычисления надежности страховогопортфеля с разрывной функцией распределения выплат на основеимитационногомоделирования.Проведенанализточностиимитационного подхода.

С помощью численных экспериментовисследована точность результатов, полученных на основе методанормальной аппроксимации.Теоретическаятеоретическийипрактическаяхарактериимеетзначимость.прикладноеДиссертацияноситзначение. Теоретическиерезультаты могут быть полезны в различных исследованиях в областиактуарной математики. Практические результаты могут быть использованы приоптимизации деятельности страховых компаний.Апробациядиссертации.обсуждалисьнаРезультатыследующихдиссертациидокладывалисьнаучно-исследовательскихсеминарахииконференциях:1. Семинар по теории риска при кафедре математической статистикифакультета ВМК МГУ под руководством профессора Королева В.Ю. ипрофессора Бенинга В.Е., Москва 2009.2.

Семинар «Прикладные задачи теории вероятностей» при кафедре теориивероятностейиматематическихматематическойиестественныхстатистикинаукРУДНфакультетаподфизико-руководствомпрофессора Хохлова Ю.С., Москва 2009.3. Семинар«Математическиемоделипринятиярешений»кафедрыприкладной математики и информатики НФ ГУ-ВШЭ под руководствомпрофессора Калягина В.А., Нижний Новгород 2008.4.

14-я Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки),Нижний Новгород 2009.5. V-я Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, СПбГУИТМО, Санкт-Петербург 2008.86. 13-я Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки),Нижний Новгород 2008.7. V-я научно-практическая конференция студентов и преподавателей НФГУ-ВШЭ «Современные проблемы в области экономики, менеджмента,социологии, бизнес-информатики и юриспруденции», Нижний Новгород2007.8. IV-я Международная молодежная научно-техническая конференция«Будущее технической науки», Нижний Новгород 2005.9.

15-я Международная научно-практическая конференция по графическиминформационным системам КОГРАФ-2005, Нижний Новгород 2005.Публикации. Основные результаты опубликованы в 9 работах, которыеприведены в конце автореферата.Структура работы. Диссертация изложена на 115 страницах, состоит извведения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 45наименований.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении приведен обзор существующих результатов, связанных с темойдиссертации,сформулированыосновныезадачиисследования,краткоизложены использованные подходы и полученные результаты.Впервойглавевводятсяосновныепонятиястраховыхмоделейидоказываются вспомогательные утверждения.

В диссертации используютсяследующие обозначения:• N – количество страховых контрактов в модели индивидуальных рисков•p – вероятность страхового случая в модели индивидуальных рисков• λ – среднее число страховых случаев в модели коллективных рисков•X – случайная величина ущерба в одном страховом случае• F (x ) – функция распределения ущерба в одном страховом случае• μ – математическое ожидание ущерба в одном страховом случае• θ – рисковая надбавка страховой компании9• L – предел ответственности страховой, а также перестраховочной компаний• φ – безусловная франшиза• r – уровень собственного удержания при эксцедентном перестраховании• α – рисковая надбавка перестраховочной компании• β – нагрузка перестраховочной компании• Rl – функция, отражающая надежность страховой компании при нормальнойаппроксимации распределения суммарных страховых выплатДля безусловного математического ожидания и дисперсии суммарныхстраховых выплат, общей выручки страховой компании и стоимостиперестрахования справедливы следующие формулы в модели индивидуальныхрисков:M [Yo ] = NpI ( L)t(D[Yo ] = Np I 2 ( L) − pI 2 ( L))S o = Np (1 + θ ) I ( L)~S o = Np (1 + α + β )(I ( L) − I (r ) )I (t ) = ∫ (1 − F ( x) )dx,где0tI 2 (t ) = ∫ 2 x(1 − F ( x) )dx0и в модели коллективных рисков:M [Yo ] = λI ( L)D[Yo ] = λI 2 ( L)S o = λ (1 + θ ) I ( L)~S o = λ (1 + α + β )(I ( L) − I (r ) )Приведенные формулы применяются во второй, третьей и четвертой главахдиссертации при решении задач оптимизации.Во второй главе исследуются задачи оптимизации уровня безусловнойфраншизы, предела ответственности и уровня собственного удержания приэксцедентномперестрахованиисточкизрениянадежностистраховойкомпании.

Также во второй главе рассматриваются задачи минимизациивероятности превышения заданного уровня затрат для страхователя с помощьюфраншизы и предела ответственности.Под надежностью страховой компании понимается вероятность еенеразорения, или вероятность обеспечить выплаты по всем предъявленным10искам (суммарная страховая выплата) за счет средств, собранных сострахователей(суммарнаянадежностьстраховойстраховаякомпаниипремия).приФункциянормальнойRlотражаетаппроксимациираспределения суммарных страховых выплат.Первая часть главы посвящена оптимизации предела ответственности длястраховой компании и для страхователя.

Обозначим ожидаемый доходстраховой компании за E .Теорема 1. Функция Rl ( L) является убывающей, а функция E ( L) = S o − M [Yo ] –возрастающей.Увеличениепределаответственностиснижаетнадежность,ноувеличивает ожидаемый доход страховой компании. Таким образом, дляобеспечениявысокойнадежностистрахованияпределответственностинеобходимо устанавливать на низком уровне.Обозначим пороговый уровень затрат, приемлемый для страхователя за~γ , а вероятность превышения порога γ – за R u .~~~Теорема 2. Функция Ru ( L) является убывающей и min Ru ( L) = Ru (∞) = 0 , если~γ ≥ p(1 + θ ) μ .

Если γ < p (1 + θ ) μ , функция R u ( L) является кусочно-монотонной и~~min R u ( L) = R u ( Lγ ) = p (1 − F ( Lγ ) ) , где Lγ~– это точка разрыва функции R u ( L) ,являющаяся решением уравненияLp (1 + θ ) ∫ (1 − F ( x) )dx = γ .0Заметим, чтоp(1 + θ ) μ– это стоимость полного страхования безограничения ответственности, а приведенное уравнение требует, чтобыстоимость страхования с пределом ответственности L равнялась пороговомузначению затрат γ . Таким образом, страхователю выгоднее тратить настрахование максимально возможную для него сумму денег γ , ничего неоставляя на возможный ущерб, превышающий предел ответственности.Во второй части главы рассмотрены задачи оптимизации уровнябезусловной франшизы φ для страховой компании и для страхователя.11Теорема 3.

Функции Rl (φ ) и E (φ ) являются убывающими.Увеличение уровня франшизы φ снижает и надежность, и ожидаемыйдоходстраховойкомпании.Поэтомустраховойкомпанииследуетустанавливать безусловную франшизу на максимально низком уровне иливообще отказаться от ее использования.Теорема4. Функция~R u (φ )является убывающейи~~min R u (φ ) = R u ( L) =~= p(1 − F (γ )) , если γ ≤ p(1 + θ ) I ( L) .