Автореферат (Задачи оптимизации в страховых моделях с разрывной функцией распределения выплат)

На правах рукописиБацын Михаил ВладимировичЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В СТРАХОВЫХ МОДЕЛЯХ С РАЗРЫВНОЙФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫПЛАТСпециальность 05.13.18 – «Математическое моделирование,численные методы и комплексы программ»АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНижний Новгород – 2009Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатикиНижегородского Филиала Государственного Университета – Высшей ШколыЭкономикиНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Калягин Валерий АлександровичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор Хохлов Юрий Степановичдоктор физико-математических наук,профессор Бенинг Владимир ЕвгеньевичВедущая организация:Нижегородский ГосударственныйУниверситет им. Н.И. ЛобачевскогоЗащита состоится “____” декабря 2009 г.

в ____ часов на заседаниидиссертационного совета Д 212.048.09 при Государственном университете –Высшей школе экономики по адресу: 105679, Москва, ул. Кирпичная, д. 33.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственногоуниверситета – Высшей школы экономики по адресу: 101990, Москва, ул.Мясницкая, д. 20.Автореферат разослан “____” ноября 2009 г.Ученый секретарь диссертационного советад.т.н., доцент2Фомичев В.А.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы.

Страхование играет важную роль в экономическойдеятельности. Оно способствует развитию бизнеса, увеличивая уверенность втом, что намеченные планы не будут разрушены случайными событиями. Этостимулирует компании создавать и развивать бизнес даже в тех областяхчеловеческой деятельности, где существует риск больших убытков случайногохарактера. В настоящее время страхование является неотъемлемой частьюмировой и национальной финансовой системы. Банкротства страховыхкомпаний приносят серьезный ущерб, как отдельному бизнесу, так и экономикев целом. Поэтому оптимизация деятельности страховых компаний необходимадля повышения их надежности, а также конкурентоспособности.

Длядостижения этих целей используются среди прочих такие инструменты какфраншиза, предел ответственности, перестрахование. С математической точкизрения использование этих инструментов делает функцию распределениястраховых выплат разрывной. Задача оптимизации параметров страховойдеятельностиявляетсяважнойитруднойзадачейматематическогомоделирования.Перестрахование является наиболее эффективным и распространеннымспособомповышениянадежностистраховойкомпании,позволяющимобезопасить ее от потерь, связанных с выплатами большого ущерба поразличным контрактам страхования. При перестраховании риски большихвыплат делятся между страховой и перестраховочной компаниями. Контрактына перестрахование отличаются различными способами разделения рисков.Различные аспекты оптимизации при перестраховании активно исследуются впоследние десятилетия.Первыеработыбылипосвященыпоискуоптимальнойформыперестрахования, или функции разделения ущерба между страховой иперестраховочной компаниями.

В работах [Borch, 1960], [Borch, 1961], [Kahn,31961], [Arrow, 1963]1 показано, что stop-loss перестрахование обеспечиваетминимальную дисперсию выплат и максимальный ожидаемый доход страховойкомпании по сравнению с любыми другими видами перестрахования(функциями разделения ущерба) той же стоимости при условии, что премияперестраховочной компании определяется из принципа ожидаемого значения(принципа эквивалентности). В статье [Heerwarden & Kaas & Goovaerts, 1989]2получено обобщение этих результатов на целый класс критериев оптимизации.В работах [Gajek & Zagrodny, 2000], [Kaluszka, 2001], [Gajek & Zagrodny, 2004],[Kaluszka, 2005], [Guerra & Centeno, 2008]3 рассмотрены более общие принципыразделениястраховыхпремиймеждустраховойиперестраховочнойкомпаниями, а также различные критерии оптимизации для задачи определенияоптимальной формы перестрахования.

В статьях [Cai & Tan & Weng & Zhang,2008], [Balbas & Balbas & Heras, 2009]4 в качестве критериев оптимизациииспользованы современные способы измерения риска, такие как Value-at-Risk1Borch K. “An attempt to determine the optimal amount of stop loss reinsurance”, Transactions of the XVIInternational Congress of Actuaries, Vol. 2.

IAA, Brussels, 1960, p. 597-610.Borch K. “The utility concept applied to the theory of insurance”, ASTIN Bulletin 1, 1961, p. 245-255.Kahn P. “Some remarks on a recent paper by Borch”, ASTIN Bulletin 1, 1961, p. 265-272.Arrow K. “Uncertainty and the welfare of medical care”, American Economic Review 53, 1963, p. 941-973.2Heerwarden A., Kaas R., Goovaerts M. “Optimal reinsurance in relation to ordering of risks”, Insurance: Mathematicsand Economics 8, 1989, p.

11-17.3Gajek L., Zagrodny D. “Insurer’s optimal reinsurance strategies”, Insurance: Mathematics and Economics 27, 2000, p.105–112.Kaluszka M. “Optimal reinsurance under mean-variance premium principles”, Insurance: Mathematics and Economics28, 2001, p. 61–67.Gajek L., Zagrodny D. “Optimal reinsurance under general risk measures”, Insurance: Mathematics and Economics 34,2004, p. 227–240.Kaluszka M.

“Optimal reinsurance under convex principles of premium calculation”, Insurance: Mathematics andEconomics 36, 2005, p. 375–398.Guerra M., Centeno M. “Optimal reinsurance policy: The adjustment coefficient and the expected utility criteria”,Insurance: Mathematics and Economics 42, 2008, p. 529–539.4Cai J., Tan K., Weng C., Zhang Y.

“Optimal reinsurance under VaR and CTE risk measures”, Insurance: Mathematicsand Economics 43, 2008, p. 185–196.Balbas A., Balbas B., Heras A. “Optimal reinsurance with general risk measures”, Insurance: Mathematics andEconomics 44, 2009, p. 374-384.4(VaR), Tail Value-at-Risk (TVaR) и их обобщения. Несмотря на большое числоподобных исследований и результатов, страховые компании по-прежнемушироко используют стандартные виды перестрахования, такие как stop-lossперестрахование, excess-of-loss (эксцедентное) перестрахование, quota-share(пропорциональное) перестрахование, surplus (условное пропорциональное)перестрахование.Ряд работ посвящен оптимизации параметров стандартных видовперестрахования (с известной функцией разделения ущерба). К таким работамотносится статья [Tapiero & Zukerman, 1981]5, в которой исследуется задачаоптимизации ожидаемых доходов страховой и перестраховочной компаний.

Вработе используется аппроксимация процессом диффузии для вычисленияраспределения суммы страховых выплат при эксцедентном перестраховании. Вработах [Centeno, 2002], [Centeno, 2005]6 рассмотрена задача минимизацииверхней границы вероятности разорения при эксцедентном перестраховании.Использована улучшенная оценка Лундберга ([Grandell, 1991]7). В работе[Verlaak & Beirlant, 2003]8 рассмотрены различные комбинации из двух видовперестрахования и получены оптимальные значения их параметров с точкизрениямаксимизациимеры“среднее-отклонение”(mean-variance)длявеличины дохода страховой компании.

В работе [Kaishev & Dimitrova, 2006]9предложеночисленноерешениезадачиоптимизацииэксцедентногоперестрахования с помощью полиномов Аппеля. При этом критерием5Tapiero C., Zuckerman D. “Optimum execss-loss reinsurance: a dynamic framework”, Stochastic Processes and theirApplications 12, 1982, p. 85-96.6Centeno M. Excess of loss reinsurance and Gerber’s inequality in the Sparre Anderson model, Insurance: Mathematicsand Economics 31, 2002, p.

415–427.Centeno M. “Dependent risks and excess of loss reinsurance”, Insurance: Mathematics and Economics 37, 2005, p.229–238.7Grandell J., “Aspects of Risk Theory”, Springer, New York, 1991.8Verlaak R., Beirlant J. “Optimal reinsurance programs. An optimal combination of several reinsurance protections ona heterogeneous insurance portfolio”, Insurance: Mathematics and Economics 33, 2003, p. 381–403.9Kaishev V., Dimitrova D. “Excess of loss reinsurance under joint survival optimality”, Insurance: Mathematics andEconomics 39, 2006, p. 376–389.5оптимизации являлась совместная вероятность выживания страховой иперестраховочной компаний.Вомногихработахисследуетсятакназываемоеглобальноеперестрахование, при котором суммарный ущерб по всем страховым случаямделится между страховой и перестраховочной компаниями в соответствии снекоторой функцией разделения ущербов.

В части работ рассматриваетсялокальное перестрахование, более сложное с математической точки зрения посравнению с глобальным. При локальном перестраховании выплаты в каждомстраховом случае, превышающие некоторый уровень, называемый уровнемсобственного удержания (retention limit), передаются перестраховочнойкомпании.

Сложность заключается в том, что распределение выплатыстраховой компании в страховом случае имеет дискретную составляющуювследствие локального перестрахования (функция распределения становитсяразрывной).Этаособенностьсерьезноусложняетзадачуполученияраспределения суммы выплат по всем произошедшим страховым случаям.Большинство работ обходят эту проблему с помощью критериев оптимизации,не требующих знания распределения суммарных выплат страховой компании.Другие работы применяют различные аппроксимации и численные методы.В диссертации рассмотрены модели страховых портфелей, основнойособенностью которых является разрывная функция распределения выплат.Объектомисследованияявляетсяфункциянадежности(вероятностинеразорения) страхового портфеля.