Автореферат (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 3

Пусть u− — алгебра Ли унипотентного радикала группы P − . Тогда присоединённое действие группы G на своейалгебре Ли, ограниченное на подгруппу P ∩ P − , сохраняет подалгебруu− . В параграфе 2 доказывается, что локально транзитивные действия(Ga )m : (G/P ) параметризуются умножениями на алгебре u− , согласованными с действием алгебры Lie(P ∩ P − ).Затем, в третьем и четвёртом параграфах для произвольной связнойредуктивной группы L и произвольного конечномерного представленияV изучаются умножения, согласованные с действием алгебры l = Lie L.В третьем параграфе задача о классификации таких умножений сводится к случаю, когда группа L простая, а представление V неприводимое,и доказываются различные общие факты об умножениях, позволяющие,в частности, существенно ограничить множество представлений, на которых возможны ненулевые умножения, согласованные с действием алгебры l.

В четвёртом параграфе классифицируются умножения на конкретных представлениях, согласованные с действием конкретных алгебр.Результаты этой классификации можно сформулировать в виде следующих определений и теорем.Определение. Пусть ω — невырожденная билинейная форма на конечномерном векторном пространстве V (ω : V × V → C). Тогда, если напространстве V задано умножение, назовём трилинейную форму c, определённую как c(u, v, w) = ω(uv, w), где u, v ∈ V , трилинейной формой,двойственной к умножению.9Теорема.

Пусть l — простая алгебра Ли, а V — некоторое её неприводимое представление, на котором можно ввести ненулевое умножение, согласованное с действием алгебры l. Тогда имеет место одна изследующих двух возможностей:1. l — алгебра типа Al , V — тавтологическое представление илидвойственное к нему. Тогда любое коммутативное ассоциативное умножение, для которого все операторы умножения нильпотентны, согласовано с действием алгебры l.2. l — алгебра типа Cl (l ≥ 2), V — тавтологическое представление.Тогда группа L сохраняет некоторую кососимметрическую билинейную форму ω на пространстве V , и трилинейные формы.

двойственные к умножениям, согласованным с действием алгебры l —это в точности такие полностью симметрические трилинейныеформы c на пространстве V , что ядро ker c содержит некотороелагранжево подпространство пространства V (т. е. существуеттакое лагранжево подпространство V1 ⊂ V , что c(V1 , V, V ) = 0).Определение. Пусть V — коммутативная унипотентная алгебра размерности l+1 (l ∈ N), такая что все операторы умножения нильпотентны.Обозначим тензор структурных констант умножения на пространстве Vза c ∈ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V . Группа SLl+1 = SL(V ) действует на пространствеV , поэтому она действует и на пространстве V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V . Для тензора cимеется ровно две возможности.1.

С помощью действия группы SLl+1 на пространстве V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ Vтензор c можно умножить на произвольный ненулевой скаляр. Вэтом случае будем называть алгебру V масштабируемой.2. С помощью действия группы SLl+1 тензор c можно умножить лишьна конечное число различных скаляров. В этом случае будем называть алгебру V немасштабируемой.Теорема. Пусть l — простая алгебра Ли, а V — некоторое её неприводимое представление. Пусть на пространстве V можно ввести ненулевое умножение, согласованное с действием алгебры l.

Тогда имеютсяровно две возможности:1. l — алгебра типа Al , и V = V ($1 ) (тавтологическое представление) или V = V ($l ) (представление, двойственное к тавтологическому). Тогда классы эквивалентности умножений на V , согласованных с действием алгебры l, относительно действия группыL, параметризуются дизъюнктным объединением следующих двухмножеств.10(a) Классы изоморфизма масштабируемых коммутативных ассоциативных (l + 1)-мерных алгебр с нильпотентными операторами умножения.(b) Классы изоморфизма пар, состоящих из немасштабируемойкоммутативной ассоциативной алгебры A с нильпотентными операторами умножения и ненулевой кососимметрической формы старшей степени на алгебре A.

(Здесь имеется ввиду, что изоморфизм между двумя такими парами долженсохранять как мультипликативную структуру на алгебре,так и кососимметрическую форму.)2. l — алгебра типа Cl (l ≥ 2), и V = V ($1 ) (тавтологическое представление). Тогда классы эквивалентности умножений на V относительно действия группы L параметризуются симметрическими трилинейными формами на пространстве V /V1 , где V1 —некоторое фиксированное лагранжево подпространство, рассматриваемыми с точностью до действия группы GL(V /V1 ) на пространстве V /V1 .Наконец, в пятом параграфе классифицируются все локально транзитивные (Ga )m -действия на многообразии G/P .

Полученные результатыможно записать в виде следующей теоремы.Теорема. Пусть G — связная простая алгебраическая группа, и пустьP ⊂ G — такая параболическая подгруппа, что (G, P ) — неисключительная пара. Обозначим m = dim(G/P ).Если G — группа типа Al и подгруппа P с точностью до сопряжения равна P1 или Pl , то локально транзитивные действия (Ga )m :(G/P ) с точностью до G-сопряжения и с точностью до автоморфизмов группы (Ga )m параметризуются коммутативными ассоциативными m-мерными алгебрами с нильпотентными операторами умножения.

Иначе, либо локально транзитивное действие (Ga )m : (G/P ) ровноодно с точностью до G-сопряжения и с точностью до автоморфизмовгруппы (Ga )m (это верно тогда и только тогда, когда унипотентныйрадикал группы P коммутативен), либо локально транзитивных действий (Ga )m : (G/P ) нет вообще.БлагодарностиАвтор благодарен научному руководителю Сергею Локтеву, ЭрнестуВинбергу и Ивану Аржанцеву за привлечение внимания к задаче, внимание к работе и полезные обсуждения. Автор также благодарен Мишелю11Бриону, Валентине Кириченко и Льву Суханову за полезное обсуждениео группах автоморфизмов алгебраических многообразий.Публикации по теме диссертации[1] R.

Devyatov, Generically transitive actions on multiple flag varieties,International Mathematics Research Notices, 2014:11 (2014), 2972–2989.[2] Р. А. Девятов, Действия коммутативной унипотентной группы на многообразиях флагов и нильпотентные умножения, УМН,69:5(419) (2014), 165–166.[3] Р. А. Девятов, Локальная транзитивность для кратных многообразий флагов, Вторая школа-конференция ”Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов”. Москва, Россия, 31 января – 5 февраля 2011 г.

Тезисы докладов. Издательство механикоматематического факультета МГУ, Москва, 2011, 23–26.[4] R. Devyatov, Unipotent commutative group actions on flag varieties andnilpotent multiplications, Transformation Groups, 20:1 (2015), 21–64.12.