Автореферат (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 2

анализ и егоприл. 20:1 (1986), 1–1310P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, ”Multiple flag varieties of finite type”, Adv.Math. 141:1 (1999), 97–11811P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, ”Symplectic multiple flag varieties of finitetype”, J. Algebra 230:1 (2000), 245–26512B. Hasset, Yu. Tschinkel, ”Geometry of equivariant compactifications of Gna ”,International Mathematics Research Notices, 1999:22 (1999), 1211–12303лучена классификация таких действий на проективных пространствахи на поверхностях Хирцебруха. Там же была поставлена общая задачао классификации всех полных (компактных в классической топологии)m-мерных многообразий, допускающих локально транзитивное действиегруппы (Ga )m вместе с действием этой группы на них, по аналогии с тем,как это было ранее сделано с торическими многообразиями. В работе13найдены все компактные однородные пространства связных редуктивных групп, допускающие хотя бы одно локально транзитивное действиегруппы (Ga )m , и поставлена задача о классификации таких действий награссманианах.

В работе14 доказано, что на неособой m-мерной проективной квадратичной гиперповерхности (которая является однороднымпространством группы SOm+2 ) имеется ровно одно такое действие. Вдиссертации получена классификация всех действий группы (Ga )m навсех компактных однородных пространствах.Цель работыПусть G — связная полупростая алгебраическая группа над полем C,а P ⊂ G — некоторая параболическая подгруппа. Тогда однородноепространство G/P является проективным многообразием, в частности,оно компактно в классической топологии. Выберем в группе G связные простые подгруппы G(1) , . . .

, G(s) , так чтобы группа G была локально изоморфна их произведению (как иногда говорят, разложим группу G в почти прямое произведение связных простых подгрупп). ПустьP (i) = P ∩ G(i) . Тогда подгруппы P (i) однозначно определяют подгруппуP.В каждой простой группе G(i) выберем борелевскую подгруппу B (i) ⊆P (i) и максимальный тор T (i) ⊂ B (i) . Эти данные определяют систе(i)(i)му корней Ψ(i) и множество простых корней ∆(i) = {α1 , .

. . , αrk G(i) }.Группа P (i) является пересечением нескольких максимальных (по включению) параболических подгрупп, а все максимальные параболическиеподгруппы, содержащие группу B (i) , находятся во взаимно-однозначномсоответствии с простыми корнями αj . Пусть группа P (i) равна пересечению максимальных подгрупп, соответствующих корням αpi,1 , . .

. , αpi,kp .Таким образом, подгруппа P определяется конечным набором индексовp1,1 , . . . , p1,k1 , . . . , ps,1 , . . . , ps,ks . Заметим, что поскольку все борелевские13I. V. Arzhantsev, ”Flag varieties as equivariant compactifications of Gna ”, Proc. Amer.Math. Soc. 139:3 (2011), 783–78614Е. В.

Шаройко, ”Соответствие Хассета-Чинкеля и автоморфизмы квадрики”, Матем. сб. 200:11 (2009), 145–1604подгруппы сопряжены, то это описание не зависит от выбора подгруппB (i) .Цель работы — исходя из этого описания подгруппы P , ответить наследующие вопросы:1. Предположим, что среди групп G(i) нет групп типа A. Для каких nгруппа G действует на многообразии (G/P )n с открытой орбитой,т. е.

локально транзитивно?2. Для каких n группа G действует на многообразии (G/P )n с конечным числом орбит? (Группа G — любая связная полупростая.)3. Как параметризуются локально транзитивные действия коммутативной унипотентной группы размерности dim(G/P ) на многообразии G/P ?Научная новизнаОсновные результаты диссертации являются новыми и заключаются вследующем:1. Для случаев, когда G — связная полупростая группа, не содержащая связных простых компонент типа A, получена полная классификация таких параболических подгрупп P и таких чисел n ∈ N,что группа G действует на многообразии (G/P )n с открытой орбитой.2.

Получена полная классификация троек (G, P, n), где G — связнаяполупростая алгебраическая группа, P — её параболическая подгруппа и n ∈ N, таких что группа G действует на многообразииG/P с конечным числом орбит.3. Получена полная классификация локально транзитивных действийm-мерной коммутативной унипотентной группы на многообразииG/P , где G — связная полупростая алгебраическая группа, P — еёпараболическая подгруппа и m = dim(G/P ).4. Пусть L — связная редуктивная алгебраическая группа, а V —её конечномерное представление. Получена полная классификациякоммутативных ассоциативных умножений на пространстве V , таких что все операторы умножения нильпотентны и каждый оператор умножения совпадает с оператором действия некоторого элемента алгебры Lie L.5Методы исследованияВ диссертации используются методы алгебраической геометрии, теорииалгебр Ли и теории алгебраических групп.Теоретическая и практическая ценностьРезультаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего изучения компактных однородных пространств и эквивариантных компактификаций коммутативной унипотентной группы.Апробация результатовОсновные результаты диссертации докладывались:• На второй школе-конференции ”Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов”, механико-математический факультетМГУ, г.

Москва (2011).• На семинаре по алгебраической геометрии в Freie Universität Berlin,г. Берлин, Германия (2011).• На совместном семинаре лаборатории Понселе и сектора алгебрыи теории чисел ИППИ ”арифметика, геометрия и теория кодирования”, г. Москва (2014).ПубликацииВсе результаты диссертации содержатся в трёх единоличных работах,опубликованных в журналах из списка ВАК. Часть результатов такжесодержится в опубликованных тезисах доклада на конференции. Списокпубликаций приведён в конце автореферата.Структура и объём диссертацииДиссертация состоит из четырёх глав, включая введение.

Общий объёмдиссертации составляет 120 страниц. Список литературы включает 27наименований.6Краткое содержание работыГлава 1 — введение, в ней формулируются задачи, которые будут решаться в диссертации и кратко описываются методы, которые будут использоваться для их решения. Также во введении перечислены некоторые ранее известные задачи, связанные с задачами, решаемыми в диссертации.В главе 2 вводятся необходимые обозначения и устанавливаются соглашения, используемые в дальнейшем.

Также в главе 2 доказываютсявспомогательные факты о структуре алгебраической группы на группе автоморфизмов алгебраического многообразия, в частности, компактного однородного пространства. Например, проверяется существование”категорной группы автоморфизмов” в смысле следующего определения:Алгебраическая группа H вместе с действием на алгебраическом многообразии X называется категорной группой автоморфизмов многообразия X, если для любой группы H1 , алгебраически действующей на многообразии X, существует единственный морфизм алгебраических группf : H1 → H, такой что для любой точки x ∈ X и для любого элементаh ∈ H1 выполнено h · x = f (h) · x.Глава 3 посвящена действиям группы G на многообразии (G/P )n . Впервом параграфе задачи о наличии открытой орбиты и о конечностимножества орбит сводятся к случаю, когда группа G простая.Во втором параграфе рассматривается задача о наличии открытойорбиты. Как уже было сказано выше, для максимальных параболических подгрупп эта задача была решена раньше, поэтому мы рассматриваем только случай, когда подгруппа P немаксимальная, а группа Gне типа A.

Обозначим максимальную параболическую подгруппу, соответствующую i-му простому корню группы G, за Pi . Обозначим такжеPi1 ,...,ik = Pi1 ∩ . . . ∩ Pik . В этих условиях и обозначениях доказываетсяследующая теорема:Теорема. Пусть G — связная простая алгебраическая группа, не являющаяся локально изоморфной группе SLl+1 , P ⊂ G — некотораянемаксимальная параболическая подгруппа, и n ∈ N. Тогда диагональноедействие группы G на кратном многообразии флагов (G/P )n локальнотранзитивно тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух условий1.

n ≤ 2.72. n = 3 и пара (G, P ) перечислена в следующей таблице:Тип группы GP (с точностью до сопряжения)Dl , l ≥ 5 нечётноP1,l−1 , P1,lDl , l ≥ 4 чётноP1,l−1 , P1,l , Pl−1,lВ третьем параграфе с использованием ранее известных фактов решается задача о конечности множества G-орбит на многообразии G/P .Её решение можно сформулировать в виде следующих теоремы и следствия.Теорема. Пусть G — связная простая алгебраическая группа и P ⊂G — параболическая подгруппа, n ∈ N. Если n ≤ 2, то множествоG-орбит на многообразии (G/P )n всегда конечно. Если n ≥ 3, то следующие условия эквивалентны.1. Множество G-орбит на многообразии G/P конечно.2.

n = 3, P — максимальная параболическая подгруппа, и группа Gдействует на многообразии G/P × G/P × G/P с открытой орбитой.3. n = 3, и многообразие G/P × G/P сферическое.Следствие. Пусть G — связная простая алгебраическая группа и P ⊂G — параболическая подгруппа. Пусть n ≥ 3. Тогда диагональное действие группы G на многообразии (G/P )n имеет конечное число орбиттогда и только тогда, когда n = 3 и пара (G, P ) с точностью до сопряжения перечислена в следующей таблице:PТип группы GAlлюбая максимальнаяBl , l ≥ 3P1 , PlCl , l ≥ 2P1 , PlDl , l ≥ 4P1 , Pl−1 , PlE6P1 , P6E7P7В главе 4 изучаются действия на многообразии G/P группы (Ga )m ,где m = dim(G/P ), с открытой орбитой.

В первом параграфе эта задача сводится к случаю, когда группа G простая, присоединённая и пара(G, P ) удовлетворяет некоторому техническому условию, так называемой неисключительности. Известно, что если группа G связная, простая,8присоединённая и пара (G, P ) неисключительная, то связная компонента единицы категорной группы автоморфизмов многообразия G/P (существование которой было проверено в главе 2) равна самой группе G.Затем цитируются уже известные результаты о том, когда при этих условиях существует хотя бы одно локально транзитивное действие группы(Ga )m .Во втором параграфе задача о классификации локально транзитивных (Ga )m -действий сводится к задаче о классификации умножений нанекотором векторном пространстве, обладающих некоторыми дополнительными свойствами.

Именно, пусть дана связная редуктивная группа L и её конечномерное представление V . Умножение на пространствеV называется согласованным с действием алгебры l = Lie L, если онокоммутативно, ассоциативно, все операторы умножения нильпотентны,и для любого v ∈ V существует такой x ∈ l, что оператор умножения навектор v равен оператору действия элемента x. Теперь выберем в группеG такую параболическую подгруппу P − , что группа P ∩ P − являетсяподгруппой Леви в группе P .