Автореферат (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений)

На правах рукописиДевятов Ростислав АндреевичДействия групп на компактных однородныхпространствах с открытой орбитойСпециальность:01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселАвтореферат диссертации на соискание учёной степени кандидатафизико-математических наукМосква — 2014Работа выполнена на факультете математики национального исследовательского университета ”Высшая Школа Экономики”.Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцентСергей Александрович Локтев.Официальные оппоненты:Александр Николаевич Панов, доктор физико-математических наук,профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Самарского государственного университета;Ирина Михайловна Парамонова, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент Московского института открытого образования.Ведущая организация: Математический институт им.

В. А. СтекловаРоссийской академии наук.Защита состоится 2 июня 2015 г. в 16:00на заседании диссертационного совета Д 002.077.03 на базе ИППИ РАНБольшой Каретный пер., д. 19, стр. 1, Москва, ГСП-4, 127994.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИППИ РАН.Автореферат разослан ”” апреля 2015 г.Учёный секретарьдиссертационного советадоктор физико-математических наукСоболевский А. Н.Общая характеристика работыАктуальность темыДиссертация посвящена изучению действий различных групп с открытой орбитой на некоторых компактных однородных пространствах.

Всеалгебраические многообразия рассматриваются над полем комплексныхчисел.Однородное пространство алгебраической группы G — это алгебраическое многообразие X, снабжённое транзитивным действием группы G.Основные результаты об однородных пространствах аффинных алгебраических групп содержатся в книгах1 и2 Любое однородное пространствоизоморфно (точнее, G-эквивариантно изоморфно) фактору группы G понекоторой подгруппе P (обычно обозначаемому G/P ).

В случае, когдагруппа G связна и редуктивна, можно показать, что многообразие G/Pполно (или, что то же, компактно в классической топологии) тогда итолько тогда, когда подгруппа P параболическая, т. е. содержит некоторую борелевскую подгруппу. В частности, в этом случае группа P содержит центр группы G, поэтому он тривиально действует на многообразииG/P , и многообразие G/P также является однородным пространствомсвязной полупростой части группы G. Поэтому далее мы будем говоритьо многообразиях вида G/P , где G — некоторая связная полупростая алгебраическая группа, а P ⊆ G — некоторая параболическая подгруппа.Компактными однородными пространствами являются многие классические и хорошо известные многообразия, такие как, например, проективные пространства и их произведения (многообразия Сегре) и гладкие проективные квадрики.

Более сложный пример однородных пространств — полные и частичные многообразия флагов, т. е. многообразия, параметризующие цепочки вложенных подпространств фиксированных размерностей в заданном векторном пространстве. Для всех перечисленных классов многообразий посчитаны их пространства когомологий и найдены клеточные разбиения3 . Наличие действия связной редуктивной группы позволяет применять для изучения этих многообразийструктурную теорию простых алгебр Ли.Наличие действия определённой группы с открытой орбитой (или,1Э. Б.

Винберг, А. Л. Онищик, ”Семинар по группам Ли и алгебраическим группам”, Наука, М., 19882А. Л. Онищик, ”Топология транзитивных групп преобразований”, Физматлит, М.,19953И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. И. Гельфанд, ”Клетки Шуберта и когомологии пространств G/P ”, УМН, 28:3(171) (1973), 3–261как говорят, локально транзитивного действия) также является удобныминструментом для изучения свойств многообразий. К многообразиям слокально транзитивным действием некоторой группы относятся многиехорошо известные классы многообразий, например, торические многообразия.

Основные сведения о торических многообразиях содержатся вкниге4 . Известна полная классификация торических многообразий, онипараметризуются некоторыми комбинаторными (целочисленными) данными, а именно так называемыми рациональными полиэдральными веерами. Более сложным примером многообразий, допускающих локальнотранзитивное действие некоторой группы, служат сферические многообразия, т. е. многообразия с действием связной редуктивной группы G,на которых (некоторая, или, что равносильно, любая) борелевская подгруппа действует с открытой орбитой.

Сведения о сферических многообразиях собраны, например, в5 и6 . Для обоих этих классов многообразиймножество орбит на самом деле конечно.Ясно, что сама группа G действует на многообразии G/P с открытойорбитой (и даже ровно с одной орбитой), но можно рассмотреть действие группы G на многообразии (G/P )n = G/P × . .

. × G/P и попытаться выяснить, имеет ли оно открытую орбиту и конечно ли множествоорбит. Отметим, что многообразие (G/P )n также является однороднымпространством связной полупростой алгебраической группы, а именногруппы G × . . . × G (n прямых сомножителей).

Неформально говоря, существование открытой орбиты означает, что ”почти любой” набор из nточек многообразия G/P можно перевести в ”почти любой другой” набор, а конечность множества орбит означает, что любой набор из n точекможно ”привести к одному из конечного числа фиксированных видов”.Для небольших значений n легко указать группу, действие которой намногообразии G/P с открытой орбитой равносильно действию группыG на многообразии (G/P )n с открытой орбитой.Вопрос о существовании открытой орбиты для максимальной параболической подгруппы P был решён в работе7 , и в этой же работе былпоставлен вопрос о существовании открытой орбиты для произвольных4W. Fulton, ”Introduction to toric varieties”, Ann.

of Math. Stud. 131, PrincetonUniversity Press, Princeton, NJ, 19935M. Brion, ”Spherical Varieties”, Highlights in Lie Algebraic Methods, 3–24, Progress inMathematics 295, Birkhauser, 20126N. Perrin, ”On the geometry of spherical varieties”, Transformation Groups 19:1(2014), 171–2237V.L. Popov, ”Generically multiple transitive algebraic group actions”, Algebraic groupsand homogeneous spaces, 481–523, Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., Tata Inst. Fund.Res., Mumbai, 20072параболических подгрупп.

Следуя этой работе, назовём максимальноечисло n, такое что группа G действует на многообразии (G/P )n с открытой орбитой, максимальной степенью локальной транзитивностидействия G : G/P . Для связных простых групп G типа A максимальная степень локальной транзитивности может, в зависимости от группыG и подгруппы P , быть сколь угодно большой.

Для связных простыхгрупп G остальных типов она никогда не бывает больше 4. В связи сэтим вопрос о нахождении максимальной степени локальной транзитивности для немаксимальных параболических подгрупп P в случаях, когдасвязная полупростая группа G содержит связные простые компонентытипа A, более сложен, чем тот же вопрос в случае, когда группа G несодержит связных простых компонент типа A, и остаётся, по-видимому,открытым. Для случая, когда группа G не содержит связных простыхкомпонент типа A, максимальная степень локальной транзитивности вычисляется в диссертации.Вопрос о конечности числа орбит действия группы G на многообразии (G/P )n оказывается связан с теорией сферических многообразий.Именно, известно, что если многообразие X с действием группы G сферическое, то (любая) борелевская подгруппа группы G действует на нёмс конечным числом орбит, см.8 и9 .

Таким образом, если многообразие(G/P )n−1 сферическое, то группа G действует на многообразии (G/P )nс конечным числом орбит. Из результатов диссертации следует, что вернои обратное, а именно, если группа G действует на многообразии (G/P )nс конечным числом орбит, то n = 3, и многообразие G/P × G/P сферическое. В случае конкретных типов связных простых групп G, а именноA и C, в работах10 и11 рассматривалась более общая задача о том, длякаких наборов P (1) , . . .

, P (n) параболических подгрупп группы G множество G-орбит на многообразии G/P (1) × . . . × G/P (n) конечно.Обозначим m-мерную коммутативную унипотентную группу за(Ga )m . Действия группы (Ga )m (или, что то же, m-мерного векторного пространства, рассматриваемого как группа с операцией сложения)на различных многообразиях изучались в работе12 . В частности, там по8M. Brion, ”Quelques propriétés des espaces homogènes sphériques”, Manuscripta Math.55:2 (1986), 191–1989Э. Б. Винберг, ”Сложность действий редуктивных групп”, Функц.