rezume (Isomonodromic deformations and quantum field theory), страница 2

Òàêæå ìû íàøëè ÿâíóþ ðåäóêöèþ îò îáùåãî äåòåðìèíàíòàÔðåäãîëüìà ê áîëåå ïðîñòîìó ñêàëÿðíîìó ñëó÷àþ, êîòîðûé ðàññìàòðèâàëñÿ Áîðîäèíîì è Äåéôòîì.4Ãëàâà 5Ýòà ãëàâà ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ òâèñò-ïîëåé W-àëãåáðû. Ìû ðàáîòàåì â áîçîííîéðåàëèçàöèè W-àëãåáðû â òåðìèíàõ N ñâîáîäíûõ ïîëåé Jα , ïîòîìó å¼ ãåíåðàòîðûïèøóòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ïîëèíîìû îò áîçîííûõ ïîëåé:XWk (z) ≡: Jα1 (z) . .

. Jαk (z) :α1 <...<αkÒâèñò-ïîëÿ çàíóìåðîâàíû ýëåìåíòàìè ãðóïïû ïåðåñòàíîâîê SN . Âðàùåíèå âîêðóãòâèñò-ïîëÿ ïåðåñòàâëÿåò N áîçîííûõ òîêîâ, íî îñòàâëÿåò W-ãåíåðàòîðû íåòðîíóòûìè:Jk (qα + · e2πi )Os (0) = Js(k) (qα + )Os (qα )(1)Òàêàÿ êîíñòðóêöèÿ ïðèâîäèò åñòåñòâåííûì îáðàçîì ê ðàññìîòðåíèþ ðàçâåòâë¼ííîãîíàêðûòèÿ íàä ñôåðîé Ðèìàíà, ñòðóêòóðà âåòâëåíèÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ òâèñòïîëÿìè:CFTøíûå ðàññìîòðåíèÿ â ýòîé ãëàâå ïðèâîäÿò íàñ ê ÿâíîé ôîðìóëå äëÿ êîíôîðìíîãî áëîêà òàêèõ ïîëåé, êîòîðàÿ îáîáùàåò Çàìîëîä÷èêîâñêèé òî÷íûé êîíôîðìíûé áëîê:hOs1 (q1 )Os−1(q2 )...OsL (q2L−1 )Os−1 (q2L )i = τSW (q) · τB (q)1L ýòîé ôîðìóëå τB (q) ýòî òàê íàçûâàåìàÿ òàó-ôóíêöèÿ Áåðãìàíà, è îíà íå çàâèñèòîò W-çàðÿäîâ.

Áîëåå èíòåðåñíàÿ ÷àñòü ýòîlog τSW =12XI,J1 X i jrα rβ log Θ∗ (A(qαi ) − A(qβj ))−2 i jIqα 6=qβi 1/lαXd(z(q) − qα )1(rαi )2 lαi log−22 ih∗ (q) iqαaI TIJ aJ +XaI UI (r) +q=qαÝòî âûðàæåíèå ñîäåðæèò ìàòðèöó ïåðèîäîâ ðàçâåòâë¼ííîãî íàêðûòèÿ TIJ , W-çàðÿäûâ ïðîìåæóòî÷íûõ êàíàëàõ aI , íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå U (1) çàðÿäû rαi , íåêîòîðûåêîìáèíàöèè îòîáðàæåíèé Àáåëÿ UI , íå÷¼òíóþ òýòà-ôóíêöèþ Ðèìàíà Θ∗ è ñîîòâåòñòâóþùóþ ãîëîìîðôíóþ 1-ôîðìó h2∗ . Ýòà ôîðìóëà ïîëó÷àåòñÿ êàê ðåøåíèå ñèñòåìûèíòåãðèðóåìûõ óðàâíåíèé, òàê íàçûâàåìûõ óðàâíåíèé Çàéáåðãà-Âèòòåíà:II∂aI =dS,log τSW =dS∂aIAIBI5Ïîõîæèå óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò íèçêîýíåðãåòè÷åñêîå ïîâåäåíèå N = 2 ñóïåðñèììåòðè÷íûõ êàëèáðîâî÷íûõ òåîðèé, êîòîðûå òàêæå òåñíî ñâÿçàíû ñ CFT â ñèëó ÀÃÒñîîòâåòñòâèÿ.Äðóãîé ðåçóëüòàò ýòîé ãëàâû ñîñòîèò â îòîæäåñòâëåíèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüåîò êîíôîðìíîãî áëîêà ñ òàó-ôóíêöèåé äëÿ êâàçèïåðåñòàíîâî÷íûõ ìîíîäðîìèé, èçâåñòíîé áëàãîäàðÿ Êîðîòêèíó: Xa(n,b)1(U )τIM (q|a, b) =G0 (q|a + n)e= τB (q) exp 2 Q(r) Θbgn∈ZÝòîò ôàêò äà¼ò åù¼ îäíî ïîäòâåðæäåíèå ñîîòâåòñòâèþ ìåæäó W-àëãåáðàìè è èçîìîíîäðîìíûìè äåôîðìàöèÿìè.Ãëàâà 6Ýòà ãëàâà òîæå ïîñâÿùåíà W-òâèñò-ïîëÿì, íî ñ áîëåå àëãåáðàè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.Çäåñü ìû ðàññìàòðèâàåì åù¼ W-àëãåáðû äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ñåðèé.

Ìû íà÷èíàåìñî ñâîáîäíîôåðìèîííîãî îïðåäåëåíèÿ W-àëãåáð. Èõ ãåíåðàòîðû â B- è D-ñåðèÿõ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â òåðìèíàõ êîìïëåêñèôèöèðîâàííûõ äåéñòâèòåëüíûõ ôåðìèîíîâñëåäóþùèì îáðàçîì:Uk (z) =1 k−1D2 zNX(ψα∗ (z) · ψα (z) + ψα (z) · ψα∗ (z)) + 21 Dzk−1 Ψ(z) · Ψ(z)α=1V (z) =NY: ψα∗ (z)ψα (z) : Ψ(z)α=1ãäå Dz ýòî ïðîèçâîäíàÿ Õèðîòû. Êîíñòðóêöèþ òâèñò-ïîëåé ìû òîæå ïåðåôîðìóëèðóåì â òåðìèíàõ ôåðìèîíîâ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñåé÷àñ ïðàâèëüíûì îáúåêòîì, êîòîðûé ïàðàìåòðèçóåò òâèñò-ïîëÿ, áóäåò íîðìàëèçàòîð àëãåáðû Êàðòàíà NG (h). Ðàçíûåêëàññû ñîïðÿæ¼ííîñòè â NG (h) äàþò ðàçíûå òâèñò-ïîëÿ.Ãëàâíîé òåìîé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå õàðàêòåðîâ ìîäóëåé, ïîñòðîåííûõ èçòâèñò-ïîëåé.

Òèïè÷íûé ïðèìåð òàêîãî õàðàêòåðà ýòî ôîðìóëà äëÿ òâèñò-ïîëÿ, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòó g , ñîñòîÿùåìó èç K öèêëîâ äëèí li ñ äîïîëíèòåëüíûìèäèàãîíàëüíûìè ìíîæèòåëÿìè ri :KPK l2 −1Pjχg (q) = qj=124ljPqi=11(r l +ni )22li i in1 +...+nK =0K Q∞Q(1 − q k/lj )j=1 k=1 ÷èñëèòåëå ìû âèäèì ðåø¼òî÷íóþ AK−1 òýòà-ôóíêöèþ.Îäíà èç ÷àñòåé ýòîé ãëàâû ïîñâÿùåíà ñèòóàöèè êîãäà g1 ∼ g2 ñîïðÿæåíû â Gïðè íåýêâèâàëåíòíûõ g1 , g2 ∈ NG (h).

Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå äâà ðàçíûõ õàðàêòåðà ñîâïàäàþò χg1 (q) = χg2 (q). Ýòî äà¼ò ðÿä íåòðèâèàëüíûõ òîæäåñòâíà õàðàêòåðû, êîòîðûå ìû òàêæå äîêàçûâàåì ÿâíî. Íåêîòîðûå èç íèõ ñîâïàäàþò ñòîæäåñòâîì Ìàêäîíàëüäà, à íåêîòîðûå êàæóòñÿ íîâûìè. Îäíèì èç ìåòîäîâ ñ÷¼òà6õàðàêòåðîâ ÿâëÿþòñÿ ýêçîòè÷åñêèå áîçîíèçàöèîííûå ôîðìóëû, êîòîðûå ñâÿçûâàþòôåðìèîíû è áîçîíû ñ ðàçíûìè ãðàíóñëîâèÿìè: íàïðèìåð áîçîíèçàöèÿ ïåðèîäè÷åñêîãî è àíòèïåðèîäè÷åñêîãî ôåðìèîíîâ â îäèí àíòèïåðèîäè÷åñêèé áîçîí. ýòîé ãëàâå ìû òàêæå ñ÷èòàåì êîíôîðìíûå áëîêè òâèñò-ïîëåé äëÿ D-ñåðèè.Ãëàâíàÿ îñîáåííîñòü ýòîãî ñëó÷àÿ ñîñòîèò â ñòðóêòóðå 2N -ëèñòíîãî íàêðûòèÿ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ïîêàçàíà íà ñëåäóþùåé êîììóòàòèâíîé äèàãðàììå:π2NσΣπ2Σ̃πNCP1Ýòî íàêðûòèå èìååò èíâîëþöèþ σ , è åãî ôàêòîð ïî ýòîé èíâîëþöèè ñòàíîâèòñÿìåíüøèì N -ëèñòíûì íàêðûòèåì.

Áîëüøàÿ ÷àñòü îáúåêòîâ, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿâ êîíñòðóêöèè, ÿâëÿþòñÿ σ -àíòèñèììåòðè÷íûìè: íàïðèìåð, åäèíñòâåííàÿ âàæíàÿ÷àñòü ìàòðèöû ïåðèîäîâ ýòî ìàòðèöà ïåðèîäîâ Ïðèìà. Æåëàåìàÿ ôîðìóëà äëÿ êîíôîðìíîãî áëîêà â ýòîì ñëó÷àå èìååò ñòðóêòóðó, ïîõîæóþ íà À-ñëó÷àé:G0 (a, r, q) = τB (Σ|q)τB−1 (Σ̃|q)τSW (a, r, q) íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îíà òàêæå ìîæåò âûðîæäàòüñÿ ê ôîðìóëå äëÿ À-ñåðèè.Çàêëþ÷åíèåÝòà äèññåðòàöèÿ ñîäåðæèò íåêîòîðîå ÷èñëî êîíñòðóêöèé, êîòîðûå äàþò ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ èçîìîíîäðîìíûõ òàó-ôóíêöèé, äëÿ êîíôîðìíûõ áëîêîâ W-àëãåáð, è ñâÿçûâàþò íåêîòîðûå èç íèõ ìåæäó ñîáîé. Îñíîâíûìè òåõíè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè ÿâëÿþòñÿ ñâîáîäíîïîëåâûå êîíñòðóêöèè âåðòåêñíûõ îïåðàòîðîâ, èñïîëüçîâàíèå èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû Çàéáåðãà-Âèòòåíà è ìàíèïóëÿöèè ñ ïðîåêòîðî-ïîäîáíûìè îïåðàòîðàìè íà ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ.ÑñûëêèÑîäåðæàíèå Ãëàâ 2-6 îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùèõ ñòàòüÿõ, ïî ïîðÿäêó:2.

P. Gavrylenko, Isomonodromic τ -functions and WN conformal blocks, JHEP09(2015)167,[hep-th/1505.00259]3. P. Gavrylenko, A. Marshakov, Free fermions, W-algebras and isomonodromic deformations,Theor. Math. Phys. 2016, 187:2, 649677, [hep-th/1605.04554]4. P. Gavrylenko, O. Lisovyy, Fredholm determinant and Nekrasov sum representationsof isomonodromic tau functions, [math-ph/1608.00958], íà ðåöåíçèè â Communicationsin Mathematical Physics5. P.

Gavrylenko, A. Marshakov, Exact conformal blocks for the W-algebras, twistelds and isomonodromic deformations, JHEP02(2016)181,[hep-th/1507.08794]6. M. Bershtein, P. Gavrylenko, A. Marshakov, Twist-eld representations of W-algebras,exact conformal blocks and character identities , [hep-th/1705.00957], íà ðåöåíçèèâ Communications in Mathematical Physics7.