Свойства логарифмов

5. Ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâÐàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäàax = b,(1)ãäå a è b èçâåñòíûå ÷èñëà, à x èñêîìàÿ âåëè÷èíà. Èçâåñòíî, ÷òîïðè a > 0 è a 6= 1, ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ y = ax ÿâëÿåòñÿ ñòðîãîìîíîòîííîé è ïðèíèìàåò âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ â èíòåðâàëå (0, ∞).Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè óñëîâèÿõa > 0,a 6= 1,b > 0,(2)óðàâíåíèå (1) èìååò ðîâíî îäèí êîðåíü, êîòîðûé íàçûâàþò ëîãàðèôìîì÷èñëà b ïî îñíîâàíèþ a è îáîçíà÷àþò loga b.Òåïåðü äàäèì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ.Îïðåäåëåíèå.Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2). Ëîãàðèôìîìb ïî îñíîâàíèþ a íàçûâàþò òàêîå ÷èñëî c, ÷òî ac = b, è ïèøóòc = loga b.Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî ÷èñëà c åãî îáîçíà÷åíèå, ïîëó÷èì èç îïðåäåëåíèÿëîãàðèôìà ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî÷èñëàaloga b = b,(3)êîòîðîå íàçûâàþò îñíîâíûì ëîãàðèôìè÷åñêèì òîæäåñòâîì.Èç îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî loga 1 = 0, loga a =1 äëÿ ëþáîãî äîïóñòèìîãî √îñíîâàíèÿa.

Ïðèâåäåì ïðîñòûå ïðèìåðû:√112log3 9 = 2, log9 3 = − 2 , log2 2 = 2.Ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì îñíîâíûå ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ.Ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî.Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2) èñóùåñòâóþò ÷èñëàc > 0(òî åñòüloga b è loga c). Òîãäà ñóùåñòâóþò ÷èñëàbloga c è ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàloga bcèloga bc = loga b + loga c,(4)b= loga b − loga c.c(5)loga1Îòìåòèì, ÷òî ÷èñëà loga bc è loga cb ñóùåñòâóþò,ïîñêîëüêó a > 0, a 6= 1 è bc > 0 è cb > 0.Ïðèìåíÿÿ (òðèæäû) îñíîâíîå ëîãàðèôìè÷åñêîå òîæäåñòâî (3) èèñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè, ïîëó÷èìÄîêàçàòåëüñòâî.aloga bc = bc = aloga b aloga c = aloga b+loga c ,òàê êàê èç ðàâåíñòâà ax = ay ñëåäóåò x = y , òî ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî(4) (ìû èñïîëüçîâàëè ñâîéñòâî ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè ïîêàçàòåëüíîéôóíêöèè).Àíàëîãè÷íî,baloga c =b aloga b= log c = aloga b−loga c ,c a aîòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî (5).

Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå. Ëåâûå ÷àñòè ðàâåíñòâ (4) è (5) îïðåäåëåíû è â ñëó÷àå,êîãäà îáà ÷èñëà b è c îòðèöàòåëüíû (òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå bc > 0 èbc > 0). Ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ â ýòîì ñëó÷àå íå îïðåäåëåíû. Äëÿòîãî ÷òîáû óñòàíîâèòü àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâà è â ýòîì ñëó÷àå, çàìåòèì,÷òî bc = |bc| = |b|·|c| è ðàâåíñòâà (4), (5) ñëåäóåò ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèìîáðàçîì:b= loga |b| − loga |c|.c ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâàõ b è c ìîãóò áûòü ëþáûìè äåéñòâèòåëüíûìè÷èñëàìè îäíîãî çíàêà.loga bc = loga |b| + loga |c|,logaËîãàðèôì ñòåïåíè.Òåîðåìà 2.Ïóñòüñóùåñòâóåò ÷èñëîñóùåñòâóåò ÷èñëîâûïîëíÿþòñÿóñëîâèÿ(2)(òîloga b). Òîãäà äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãîloga (bc ) è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîloga (bc ) = c loga b.åñòü÷èñëàc(6)Òàê êàê ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî b â ëþáîé ñòåïåíèïîëîæèòåëüíî, òî loga (bc ) ñóùåñòâóåò.

Ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (6)ñëåäóåò èç öåïî÷êè ðàâåíñòâÄîêàçàòåëüñòâî.caloga (b ) = bc = (aloga b )c = ac loga b .Òåîðåìà äîêàçàíà.2 ñëó÷àå, åñëè c ÷åòíîå ÷èñëî, òî ëåâàÿ ÷àñòüðàâåíñòâà (6) îïðåäåëåíà è ïðè b < 0 (òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå bc >0). Ïðàâàÿ ÷àñòü (6) â ýòîì ñëó÷àå íå îïðåäåëåíà. Äëÿ òîãî ÷òîáûóñòàíîâèòü àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî è â ýòîì ñëó÷àå, çàìåòèì, ÷òî bc = |b|cè ðàâåíñòâî (6) ñëåäóåò ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:Çàìå÷àíèå.loga (bc ) = loga |b|c = c loga |b|. ïîëó÷åííîì ðàâåíñòâå b ìîæåò áûòü ëþáûì äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì,îòëè÷íûì îò íóëÿ.Ðàññìîòðèì òàêæå ñëó÷àé, êîãäà îñíîâàíèå ëîãàðèôìà ÿâëÿåòñÿñòåïåíüþ íåêîòîðîãî ÷èñëà.Òåîðåìà 3.Ïóñòüñóùåñòâóåò ÷èñëîc,âûïîëíÿþòñÿloga b).óñëîâèÿ(2)(òîåñòüÒîãäà äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëàîòëè÷íîãî îò íóëÿ, ñóùåñòâóåò ÷èñëîlog(ac ) bè ñïðàâåäëèâîðàâåíñòâî1loga b.(7)cÄîêàçàòåëüñòâî.

Òàê êàê ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî a â ëþáîé ñòåïåíèïîëîæèòåëüíî, à èç óñëîâèé a 6= 1 è c 6= 0 ñëåäóåò, ÷òî ac 6= 1, òî log(ac ) bñóùåñòâóåò. Ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (7) ñëåäóåò èç öåïî÷êè ðàâåíñòâlog(ac ) b =(ac )log(ac ) b = ac log(ac ) b = b = aloga b .Òåîðåìà äîêàçàíà.Èç ñîîòíîøåíèé (6), (7) âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãîðàâåíñòâà:loga b = log(ac ) (bc ),ãäå c ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò íóëÿ, òî åñòü ÷èñëî èîñíîâàíèå ëîãàðèôìà ìîæíî âîçâåñòè â îäíó è òó æå ñòåïåíü.Ôîðìóëà ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ.Òåîðåìà 4.Ïóñòüâûïîëíÿþòñÿóñëîâèÿ(2)(òîåñòüñóùåñòâóåò ÷èñëîcòàêîãî, ÷òîloga b). Òîãäà äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëàc > 0, c 6= 1, ñóùåñòâóþò ÷èñëà logc b è logc a èñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîloga b =3logc b.logc a(8)Ñóùåñòâîâàíèå ÷èñåë logc b è logc a ñëåäóåò èçòîãî, ÷òî ÷èñëà a, b, c ïîëîæèòåëüíû è c 6= 1.

Îòìåòèì, ÷òî logc a 6= 0,òàê êàê ÷èñëî a 6= 1. Ïîýòîìó äðîáü â ïðàâîé ÷àñòè (8) ñóùåñòâóåò èäîñòàòî÷íî äîêàçàòü ðàâåíñòâîÄîêàçàòåëüñòâî.(logc a)(loga b) = logc b.Ñïðàâåäëèâîñòü ïîñëåäíåãî ñëåäóåò èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ:clogc b = b = aloga b = (clogc a )loga b = clogc a·loga b .Òåîðåìà äîêàçàíà.Îïðåäåëåíèå çíàêà ëîãàðèôìà.Òåîðåìà 5. Åñëè ÷èñëî è îñíîâàíèå ëîãàðèôìà ëåæàò ïî îäíóñòîðîíó îò åäèíèöû, òî ëîãàðèôì ïîëîæèòåëåí. Åñëè ïî ðàçíûåñòîðîíû, òî ëîãàðèôì îòðèöàòåëåí.Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2) ñóùåñòâóåòëîãàðèôì loga b, è ïóñòü a > 1, b > 1. Çàïèøåì îñíîâíîåëîãàðèôìè÷åñêîå òîæäåñòâîÄîêàçàòåëüñòâî.aloga b = b.(3)Åñëè loga b < 0, òî ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (3) ìåíüøå åäèíèöû,à ïðàâàÿ ÷àñòü áîëüøå åäèíèöû è ðàâåíñòâî íåâåðíî.

Åñëèloga b = 0, òî ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (3) ðàâíà 1, à ïðàâàÿ ÷àñòü áîëüøå åäèíèöû, ðàâåíñòâî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, loga b > 0.Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ îñòàëüíûå ñëó÷àè. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñðàâíåíèå ëîãàðèôìîâ. Ëîãàðèôìèðîâàíèå íåðàâåíñòâà.Òåîðåìà 6.Åñëèîñíîâàíèåëîãàðèôìàáîëüøååäèíèöû,áîëüøåìó ÷èñëó îòâå÷àåò áîëüøèé ëîãàðèôì, ò.å. åñëèb > c > 0,òîloga b > loga c.òîa > 1èÅñëè îñíîâàíèå ëîãàðèôìà ìåíüøååäèíèöû, òî áîëüøåìó ÷èñëó îòâå÷àåò ìåíüøèé ëîãàðèôì, ò.å.

èç0<a<1èb>c>0ñëåäóåòloga b < loga c.Âîñïîëüçóåìñÿñâîéñòâîììîíîòîííîñòèxïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè: ïðè a > 1 ôóíêöèÿ a âîçðàñòàåò, ïðè0 < a < 1 ôóíêöèÿ ax óáûâàåò. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé a > 1. Èñïîëüçóÿîñíîâíîå ëîãàðèôìè÷åñêîå íåðàâåíñòâî è ñîîòíîøåíèå ìåæäó b è c,ïîëó÷èìÄîêàçàòåëüñòâî.aloga b = b > c = aloga c ,4îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî loga b > loga c.

Ñëó÷àé 0 < a < 1 ðàññìàòðèâàåòñÿàíàëîãè÷íî. Òåîðåìà äîêàçàíà.5.