Электротехника Касаткин (Электротехника (Касаткин)), страница 8

Как следует из (2.12), энергия, запасенная в электрическом поле емкостного элемента при напряжении и „иропорциональна соответствуаацей плошади„заключенной между кулон.вспятной характеристикой и осью' ординат (рис, 2.4, где заштрихована площадь, пропор. циоиальная энергии электрического поля нелинейного емкостного элемента при напряжении и,, ) . Из (2.12) с учетом (2.7) следует, что энергия электрического поля линейного емкостного элемента при напряжении и . Ф = Ф соа(оьг+ а) = Ф з1п(оьь+ ФФ), (2.14) где Ф вЂ” максимальное значение (амплитуда) магнитного потока, пронизьюаюшего виток; а — начальный (т.

е. в момент т = О принятый за начало отсчета времени) угол пространственного расположения постоянного магнита относительно оси х; ь/ьФ = я/2 + а — начальная фаза магнитного потока; шь + ь/ьФ вЂ” фаза магнитного потока. Здесь и в дальнейшем начальнан фаза определяет значение синусоидальной функции в момент времени ь =О.

Согласно закону злектромагнитной индукции прн изменении потокосцепления витка в нем индуктируется ЗДС, положительное налравленне которой (рис. 2,5, а) связывают с положительнььм направлением потока Ф„правилом буравчика (положительное направление ЗДС совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика, ввинчивающегося в направлении магнитного потока Ф ): х е = -ь/Ф ьь/т = -Ф, оьсоз(ьоь + чьФ) = Еюь)п(иь! + ь/ь ), (2.15) где Е = иьфм — амплитуда ЗДС; ть = ь/ьФ вЂ” я/2 = а — начальная фаза ЗДС. ч иаь йьв Ь) Рис. 2.5 допущениях. Принципиальная конструкция двухполюсного злектромеханического генератора изображена на рис. 25, а, Она содержит неподвижный, плоский разомкнутый виток с выводами а и Ь и постоянньв ьагнит, который вращается с постоянной частотой 2, т.

е. с постоянной угловой скоростью со =2ят', рад/с, внутри витка. Основная единица частоты в системе СИ вЂ” гцзя (Гц), 1 Гц = 1 с '. Величина, обратная частоте, называется периодом — Т = 1//', с. Пусть магнитный поток постоянного магнита равен Фьп. Из пространственного распределения магнитного потока (рис. 2.5, б) следует, что мгновенное значение составляющей магнитного потока, пронизываивцей виток, т. е, направленной вдоль оси х, равно иаЬ а) Ю) Рис. 2.7 Ряс. 2.6 На ряс. 2.6 изображены зависимости магнитного потока Ф -Ф (щг) к к и ЭДС е = е (озт) от фазы щт, т. с.

от времени г. Заметим, что сннусоидальные величины принято изображать графиками в виде зависимостей от шс Ноэтому начальнал фаза определяет смещение синусоидальной величины относительно начала координат, т. е. ьзг = О. Начальная фаза отсчитывается вдоль оси абсцисс от ближайшего к началу координат нулевого значения сннусотщальной величины при ее переходе от отрицательных значений к положительным до начала координат. Если начальная фаза больше (меньше) нуля, то начало синусоидальной величины сдвинуто влево, как на рис.

2.б, (вправо) от начала координат. Если к вьюоцам а и Ь генератора подключить резистор с сопротивлением нагрузки г (рнс. 2.5„а), то в полученной цепи возникает сия пусоидальный ток На рнс. 2.5, я приведена схема замещения электромеханнческого генератора, в которой резнстивный т и индуктивный Е элементы отображают внутренние параметры генератора: сопротивление проводов и индуктивность витка, Если параметрами резнстивного н индуктивного элементов в схеме заьвщения генератора можно при расчете в цепи пренебречь, то его схемой замещения будет идеальный источник синусоидальлой ЗДС или источник синусоидального лалрязтения (рьс. 2.7, а). Если ток в цепи генератора ие зависит от параметров внешней цепи, то схемой замеше.

ния генератора будет идеальный источник сияусоидального тока з (г) (рис. 2.7, б), где У (г ) = г„- ток генератора при коротком замыкании его вьюодов а и Ь. Источники ЭДС и тока называются активными элементами, а резистивные, индуктивные и емкостные элементы — пассивными элементами схем замещения. г.в. мяксимяльноя, СРяднвв и дяиствующяи знячянил СЫНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС токи также синусоидальны: ( = 1 агп(тсг+ ф.), 47 где ьг — угловая частота; и,.

— начальная фаза; 1 — максимальное значение 1амлли27а)а1 тока. Средним значением синусондальной величины считают ее среднее значение за полоннтельный полупериод, совпадающее со средним эна. чением по модулю. Например, для тока вычислим среднее значение, выбрав начальную фазу равной нулю: Т12 2 Т/2 згт — — 1 дг = — Т ! а1пщгг1г = — .

(2.16) Т е т е я Среднее значение тока измеряется приборами магнитоэлектрнческой системы, измерительная цепь которых содержит выпрямитель тока. Синусоидальный ток в резистиввом элементе с сонротивленнем г вызывает нагрев этого элемента нз.за выделения тепловой энерпв. Такую же тепловую энергию в этом же резистивном элементе можно по2ггчнть пРн некотоРом постовнном токе.

ОпРеДеленное посРеДством такого сравнения значение постоянного тока называется действующим значением соответствующего сннусоицального тока. При сннусйидальном токе за один период Т в резнстнвном элементе с сопротивлением г выделяется тепловая энергия Т 1ь' ~ 1 г1эйг, О где,1 — мгйовенное значение синусондального тока.

По определению действующего значения синусоидального тока такое же количество тепловой энергии в том же резистивном элементе должно выделяться при постоянном токе за тот же интервал времени Т: и' = г1зТ. т Следовательно, Т г12Т = г гтзд2 е откуда находим действующее значение синусоидального тока; т 1 = — 2" 1~йг Т о (2.17) Таким образом, действующее значение синусоидального тока определяется как среднее квадратичное за период. На рис. 2.8 показань2 синусоидальный ток 1, изменение во времени квадрата тока 1~ и графи- ае ческое определение значения Х' (из равенства плошадей гзТ= 1" гааг), а тем самым и действующего значения 1.

Для синусоидального тока нетрудно определить действующее значение через амплитудное: гг 1 Рас. 2.а т т . и так как 1 дг = 7; а / соа2ьэ1йг = О, то е о (2.18) Действующее значение выбрано в качестве основной характеристики синусоидального тока потому, что в большом числе случаев его действие пропорционально квадрату этого значения, например тепловое действие, взаимодействие прямого и обратного проводов двухпроводной линни и т. д.

Аналогично для любой другой синусоидальной величины а = = А а1п(ьэг + Р) (ЭДС, напряжение, магнитный поток и т. д.) среднее т значение (2.19а) А = 2А /я 0,637А ср ю т' действующее значение А =А /~/Т= 0„707А (2.196) 2.7. РАзличные спОсОбы пРедстАВления СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН Известно несколько способов представления снлусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изьюнений во времени, в виде вращающихся векторов и, наконец, в виде комплексных чисел. В й 2.5 н 2.б уже применялись представления синусоидально изменяющихся величин в виде тригонометрических функций, например (2.14), (2.15), и в виде графика изменений во времени (рис. 2.б) . Теперь рассмотрим представление синусоидально изменяющихся величин а виде вращающихся векторов и комплексных чисел, е9 А. Представление синусондальных величин вращающимися векторами.

Для представления синусондально изменяющейся величины а = А а>п(щг ь >Р) с легальной фазой т> вращающимся аект<>ром построим (рнс. 2.9, а) радиус-вектор А этой величины длиной (в масштабе построения), >л равной амплитуде А, и под углом»> к горизонталью>й оси. Это будет т' его исходное положение в момент начала отсчетов времени > =О.

Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростью щ против направления движения часовой стрелки, то его проекдня на вертикальную ось будет равна Аюа>п(ь» + Ч>). По значениям этих ве- личии можно построить график зависимости сннусондальной величины от фазы ь>г или от времени >, Такое построение приведено для некото- рых значений г ыа рнс.

2.9, б, Применение вращающихся векторов ш>зволяст компактно предста- вить на одном рисунке совокупность различных синусоида>ьно иэме- няаяцихся величин одинаковой частоты. Б. Представление синусоидальных величии комплекснымн числами. От представления синусонцальных величии враша>сшимнся радиуп>ми- векторамн нетрудно перейти к прсдставлсни>с синусоицальных величии комплексными числами. Для того чтобы представить синусондальную величину (2.20) а = Аа,а>п(ь>г + >(>) с начальной фазой >)> комплексным числом, проведем на комплексной плоскости (рис. 2ЛО) нз начала координат лод углом ф к осн действи- Рис. 2.>о 50 тельных величин н чисел вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде Ат синусоидальной величины.

Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует определенное комплексное число — комплексная амплитуда синусондальной величины: Ат =А еуд =А ~ Ф. Так же обозначается и соответствующий ком~шексной амплитуде вектор на комплексной плоскости. При увеличении во времеви фазы огг + ф синусоадзльной величины угол вежду вектором и осью денствительных величин растет, т, е, получается вранвюпщйся вектор А е1(шт+т1 = А соа(гог + Ф) + гА аш(ыг+ Ф). Нетрудно видеть, что мнимая часть вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине (2,20) . По существу представление сннусоидальной величины комв~ексной амплитудой А и соответствующим ей вектором на комплексной плот скости геометрически подобно представленшо той же синусоидальной величины вращающимся радиусом-вектором А в момент времени г = 0 (рис.

2.9, а). Поэтому может создаться впечатление, что оба представления синусоидальных величин практически совпадают. В действительности это не так. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить весьма эффективный комплексный метод анализа электрических цепей синусондального тока, который в настоящее время завоевал всеойцее признание. Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению сннусоидальной величины. и соответствующее комплексное число называются комплексным действуюигим значением синусоидальной величины: А = А / ч/2 = А еуф = А Е Ф.