Автореферат (Математическое моделирование финансово-экономической деятельности нефтяной компании в условиях неопределенности параметров модели), страница 3

Ярким примером такого отклонения может служитьобвальное падение рубля по отношению к доллару США и евро 16 декабря2014 года при постоянной цене на нефть.Несмотря на глубокий анализ свойств метода аппроксимации ввышеупомянутых работах, не доказаны теоремы о существовании иединственности решения и ряд других свойств для использования данногометода в целях анализа неопределенностей.Теорема 1 (О необходимом условии существования решения методааппроксимации детерминистических моделей с помощью стохастическихпреобразований): Для существования решения метода аппроксимациидетерминистических моделей с помощью стохастических преобразованийнеобходимо чтобы вариация функционала равнялась нулю.Применим условия Теоремы 1 к поиску решения аппроксимации:10({}∑[(∑)|∑‖‖‖‖‖()) ](5)(6)‖откуда следует:(∑∑‖‖‖)‖∑(7)Тогда решение будет иметь вид:( {})∑(8)В Разделе 2.2 и 2.3 доказаны следующие леммы и теоремы:Лемма 1.

Пусть- компакт в метрическом пространстве . Тогдадля каждогосуществует наилучшая аппроксимация.Теорема2:Пустьконечномерноеподпространствонормированного линейного пространства . Тогда для каждого,порожденного аппроксимацией детерминистических моделей с помощьюстохастических преобразований существует наилучшая аппроксимация.Лемма 2. Пусть- строго выпуклое подпространствонормированного линейного пространства . Тогда, для каждого элементасуществует хотя бы один элемент наилучшей аппроксимации.Теорема 3 (о существовании и единственности решения методааппроксимации детерминистических моделей с помощью стохастическихпреобразований). Пусть– конечно размерное подпространствонормированного линейного пространства .

Тогда для любого элементарешение, полученное методом аппроксимации детерминистическихмоделей с помощью стохастических преобразований существует иединственно.В прикладных задачах очень часто требуется построить зависимостьмежду двумя выборками случайных величин {} и впоследствиигенерировать случайные величины как функцию отт.е.,поэтому для генерации новой выборки(курс рубля) по(стоимость нефти) для используемого метода доказаны некоторыесвойства решений:Лемма 3. Стохастический функционалявляется11борелевской функцией.Лемма 4.

Пустьслучайная величина, определенная навероятностном пространствеТогда стохастический функционал[ ]тоже является случайной величиной[ ].Лемма 5. Стохастический функционал, построенный по[ {}] не является линейнымнабору известных точек, т.е.относительно x.Лемма 6. Стохастический функционал, построенный по[ {}] является монотоннымнабору известных точек, т.е.на каждом промежутке[] относительно .Лемма 7. Стохастический функционалпостроенный по[ {}] являетсянабору известных точек, т.е.интегрируемым по Лебегу на каждом промежутке[]относительно x.Согласно Леммы 4, стохастический функционал может бытьиспользован для генерации новой выборки по задаваемым значениям .В разделе 2.4 приведен численный результат построения связимежду стоимостью нефти и курсом рубля к доллару на основепредложенного метода аппроксимации.

График функционала, полученныйс использованием численных методов показан на Рисунке 1.Курс доллара к рублю поданным ЦБ РФр.41,00р.40,00Фактические данныер.39,00Стохастический функционалр.38,00р.37,00р.36,00р.35,00р.34,00р.33,00$90,00$95,00$100,00$105,00Стоимость нефти, долл. за барр.$110,00Рисунок 1 - Аппроксимация курса рубля от стоимости нефтиВ связи с тем, что стохастический функционал обладает свойствомограниченности, необходимо доопределить пространство возможныхзначений, такой что:{ }{ }{ }{ }12{ }{ }(9)(10)Где - прямая сумма подпространств.Доопределение области определения и области значений необходимодля максимально полного анализа неопределенностей возможныхзначений.Третья глава является практической частью работы, гдеописывается детерминистическая и стохастическая модель нефтянойкомпании и проводится анализ неопределенности параметров модели, атакже приводятся численные результаты оптимизации по квантильномукритерию.В работе использован метод денежных потоков с учетомвероятностной составляющей цены нефти и курса доллара.Рассмотрим дискретные моменты времени, пусть цена нефтиза 1 баррель сорта Urals в моментравна, а курс рубля к долларутогдарассматриваемаядетерминистическаясистема,описывающая финансовое положение нефтяной компании будетописываться следующим уравнением:(11)Причем излишки/дефицит покрывается из средств на балансе:(12)∑, где— денежный поток от продажи нефти в i-й период;(13)(14),-объем, реализуемой нефти.— операционные затраты на производство нефти i-й (15)период;— административные затраты на производство нефти i-й (16)период;(17)— экспортная пошлина на нефть i-й период;— налог на добычу полезных ископаемых (далее — НДПИ) (18)i-й период;(19)— прочие налоги (налог на прибыль и пр.) i-й период;(20)— инвестиционный денежный поток i-й период;— денежный поток для обслуживания долга (проценты и (21)основной долг).(22)– наличные средства на счете организации в момент iСистему, которая описывается вышеприведенными уравнениями,будем называть системой S.В разделе 3.1 описана и математически формализована13неопределенность, присущая исходным данным при моделированиидеятельности нефтяной компании.В систему S были включены два случайных процесса cнезависимымиприращениями,стохастическистационарные,определенные на вероятностном пространствеи зависимые отвремени t.Этимипроцессамиявляютсястохастическиепроцессы,описывающие поведение цены на нефтьи курс рубля к доллару.

Подход к моделированию взаимосвязи между процессамииизложен в Главе 2.Определим области значения стохастических процессов:[] ,(23)[] ,(24)Приращения случайного процесса распределены нормально, как длянефтии для курса рубля к доллару:(25)(26)Где- стандартное обозначения распределения Гаусса.Графически пространство возможных реализаций случайногопроцессаможет выглядеть так, как показано на Рисунке 2.Фактическое значение цены нефти Brent и прогноз цены нефть в 2015-2017 г.г.200Средняя цена нефтиСтоимость нефти Brent. долл.

забаррель180Верхняя граница цены нефти P90160Нижняя граница цены нефти P10140Фактические данные12010080604020041334Рисунок 2 - Пространство возможных значений стоимости нефтиСтоит также упомянуть, что основной сценарий исследования таков– цена на нефть в среднем постепенно падает с текущих уровней, соскоростью 1 доллар за баррель в месяц с сохранением постоянной14дисперсии значений, и на конец периода моделирования медианноезначение равно 40 долларов за баррель.При этом, начиная с середины периода моделирования, некоторыереализации случайного процессастановятся отрицательными, и вцелях корректного учета введен барьер:(27){Описание системы S с учетом вероятностной составляющей будетвыглядеть следующим образом:()(28)В разделе 3.3.

описываются условия и критерии разорения компаниии проводится результаты численного моделирования по оценкевероятности разорения в виде функции распределения вероятностей, какэто показано на Рисунке 3.Определено, что дефолт (разорение) компании наступает в тотмомент, когда свободного денежного потока не хватает дляфинансирования текущих операций, а накопленных средств запредыдущие месяцы не хватает, чтобы покрыть имеющийся дефицит.[]с о о нн нпотооп р о(29)∑{Функции распределения вероятностей свободного денежного потока1,00ВероятностьФункция распределения в момент t=85Функция распределения в момент t=0Функция распределения в момент t=50(400,00)(300,00)0,750,500,250,00(200,00)(100,00)0,00Свободный денежный поток компании, руб.100,00МиллионыРисунок 3-Распределение свободного денежного потока15200,00В расчетах Раздела 3.3.

предполагается, что долг компании состоитиз 100% долларов, однако вероятность разорения компании изменяетсяпри иной структуре долга.Возникает вопрос, возможно ли подобрать такую валютнуюструктуру кредита, чтобы минимизировать вероятность дефолта? Этазадача решена в Разделе 3.4.Для решения задачи оптимизации необходимо вывести формулунепрерывности денежного потока (28), и получить условия существованиярешений в точках смены структуры долга.Рассмотрим стохастическую систему, зависящую на входе отслучайных процессов (t), (t),оторослуч нмом нт происходит внешнее возмущение случайной амплитудой A.Пусть выполнены следующие условия:1) Случайные процессыстохастически непрерывны, (30)дифференцируемы, стационарны и имеют независимыеприращения,2) Случайная величина A определена на вероятностном (31)пространствес функцией распределенияограничена сверху константой С,,C=const.3) Количество возмущений ограничено константой M=сonst. (32)Тогда верно следующее утверждение:Теорема 4 (уравнение потока в точке рефинансирования) Есливыполнены условия (31)–(33) для системы, то в любой моментвремени поведение стохастической системыописываетсяследующим уравнением:(33)∫{В разделе 3.5 описывается подход и результаты численного решениядля минимизации вероятности дефолта путем выбора структуры долга вмомент времени t0.

В расчетах применяется принцип оптимизации поквантильному критерию, схематично показанный Рисунке 4.16Показатель ( Денежный поток, средства на балансе и пр)Всевозможныекомбинации структурывалютного долга(EUR,USD,RUR)Траектории случайногопроцессаMean->maxP10->maxВремяРисунок 4- Оптимизация по квантильному критериюПостановка задачи состоит в следующем: Пусть существует нефтянаякомпания, финансовая деятельность которой описывается уравнением (28),и компания имеет возможность зафиксировать любую структуру долгамомент начала моделированияпри неизменном абсолютном значении.Необходимо получить решение (валютную структуру кредитов), котораягарантирует максимальный денежный поток (28) с заданной вероятностьюна разных горизонтах планирования.При этом, структура долга далее не меняется, а обслуживание долгаидет по заранее определенному графику с соответствующими выплатамипроцентов ежемесячно, в зависимости от валюты, при этом ставка покредитам зависит от валюты.Пусть долг компании - Ydebt состоит из рублей (RuR), долларов (USD) иевро (EUR).

Поскольку компания действует в условиях российскогоналогообложения, денежные потоки выражены в рублях и долг компанииможет быть записан в виде следующей системы:(34)Где -доли валютного долга,- курс обмена на момент t0.В качестве целевой функции рассматривается свободный денежныйпоток (28), который описывает остаток денежных средств после всехопераций в рассматриваемый период времени t:(35)⃗где ⃗ – оптимизационная стратегия: вектор ⃗подлежащийвыбору и описывающий валютную структуру долга (34),–17реализации стохастических процессов в момент t.Дополнительные ограничения на оптимизационную стратегиюзаписываются в виде функции:[](36)Q ‖⃗ ‖Рассмотрим вероятность события, такого, что целевая функция (35)превышает заранее определенный пороги при этом выполнено⃗⃗дополнительное ограничение, т.е.{Q=1}.Для получения численных решений вводится критерии оптимизации накратко-, средне и долгосрочный горизонт планирования t сиспользованием функции квантили , описывающий некоторый заранееопределенный порог в момент t:(37)⃗⃗{},где - заранее выбранный уровень доверительной вероятности.Исходя из постановки задачи, множество допустимых стратегийявляется тетраэдром с вершинами (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), см.