Программа курса

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2017 г.I. Программа курса1. Алгебры и сигма-алгебры событий:— событие как подмножество множества элементарных исходов, операции объединения, пересечения и дополнения, их свойства;— определение и свойства алгебр и сигма-алгебр подмножеств множества Ω, примеры.2. Понятие предела последовательности событий:— определение верхнего и нижнего пределов последовательностей множеств, связь с пределамипоследовательностей индикаторных функций;— существование предела монотонных (по включению) последовательностей множеств.3.

Аксиомы вероятности и следствия из них:— простейшие следствия из аксиом, вероятность дополнения к событию, вероятность объединениясобытий;— теоремы о непрерывности вероятности для монотонных и произвольных последовательностейсобытий.4. Условная вероятность:— вероятностное пространство условной вероятности (аксиоматическое определение);— свойства условной вероятности, формула полной вероятности и формула Байеса.5. Независимость событий:— определение попарной и совокупной независимости;— свойства независимых событий.6. Биномиальная схема независимых испытаний:— вероятностное пространство биномиальной схемы независимых испытаний (аксиоматическоеопределение);— биномиальное распределение и отрицательное биномиальное распределение;— теорема Пуассона, интегральная теорема Муавра–Лапласа и локальная теорема Муавра–Лапласа.7.

Случайные блуждания по прямой:— математическая модель случайных блужданий как последовательности независимых испытаний;— распределение координаты точки на n-м шаге;— принцип отражения и вероятность достижения заданной точки без захода в начальную точкудвижения.8. Цепи Маркова:— цепь Маркова как последовательность случайных величин, совместное распределение первыхn шагов;— определение и свойства матриц перехода за один и n шагов;— финальные вероятности перехода и финальные распределения, теорема Маркова (без доказательства);— теорема о сходимости среднего времени пребывания в данном состоянии к финальной вероятности состояния, эргодичность.9.

Понятие случайной величины:— определение случайной величины, функция распределения, плотность распределения;— типы распределений (дискретное, абсолютно непрерывное);— свойства функции распределения.110. Понятие многомерной случайной величины, независимость случайных величин:— совместная функция распределения, совместная плотность распределения;— независимость случайных величин попарная и в совокупности, теорема о независимости функций от независимых случайных величин.11. Математическое ожидание:— определение случайной величины;— свойства математического ожидания сумм и произведений случайных величин;— неравенства Чебышёва и Коши–Буняковского.12. Дисперсия и коэффициент ковариации:— определение дисперсии случайной величины и матрицы ковариаций случайного вектора;— свойства дисперсии и матрицы ковариаций.13.

Характеристические функции и их свойства.— определение и простейшие свойства (характеристическая функция суммы независимых случайных величин, связь производных характеристической функции с начальными моментамислучайной величины, преобразование характеристической функции при линейном преобразовании случайной величины);— формулы, связывающие характеристическую функцию с функцией распределения и плотностью распределения (без доказательства), теорема о связи сходимости последовательности характеристических функций со сходимостью по распределению (без доказательства).14.

Условные распределения и условные плотности распределения:— определение условного распределения для дискретного и абсолютно непрерывного совместныхраспределений двух случайных величин;— формулы полной вероятности и формулы Байеса для условных плотностей.15. Сходимости последовательностей случайных величин:— сходимости с вероятностью единица (почти наверное), по вероятности, по распределению;— лемма Бореля–Кантелли.16.

Законы больших чисел:— закон больших чисел в форме Чебышева, теорема Бернулли;— усиленный закон больших чисел, сходимость (почти наверное) частоты к вероятности.17. Центральная предельная теорема и интегральная теорема Муавра–Лапласа.18. Основы теории возможностей:— возможность как мера множества, сумма и произведение возможностей;— классы эквивалентных возможностей;— максимальное согласование возможности и вероятности в пространстве с конечным числомэлементарных исходов;— понятие нечёткого элемента, распределение нечёткого элемента, пример расчёта распределения(сумма независимых элементов).Список литературы[1] Ю. П. Пытьев, И. А. Шишмарёв, «Теория вероятностей, Математическая статистика и элементы теории возможностей для физиков», М.: МГУ, 2010.[2] Б. В.

Гнеденко, «Курс теории вероятнстей», М.: Едиториал УРСС, 2005.[3] А. Н. Ширяев, «Вероятность», М.: МЦНОМО, 2004.[4] Р. Феллер, «Введение в теорию вероятнстей и ее приложения», М.:Мир, 1984.[5] Материалы на сайте кафедры математического моделирования и информатики,http://cmp.phys.msu.ru/ru/study/probability.2II.

ВОПРОСЫ БИЛЕТОВНиже приведены вопросы в том виде, в каком они будут сформулированы в билетах; в спискевозможны повторы вопросов.1. Понятие случайного события. Алгебры и сигма-алгебры событий. Примеры и свойства алгебр и сигмаалгебр.2. Понятие предела последовательности событий. Сходимость монотонных последовательностей событий.3. Аксиомы вероятности и простейшие следствия из них.4.

Теорема о непрерывности вероятности для монотонных и произвольных последовательностей событий.5. Пространство условной вероятности. Формула полной вероятности и формула Байеса.6. Независимость событий: попарная и в совокупности. Свойства независимых событий.7. Вероятностное пространство биномиальной схемы независимых испытаний. Биномиальное распределение. Отрицательное биномиальное распределение.8. Биномиальное распределение. Теорема Пуассона.

Интегральная теорема Муавра–Лапласа и локальная теорема Муавра–Лапласа.9. Случайные блуждания по прямой. Распределение координаты на n-м шаге, вероятность блужданийбез захода в ноль.10. Цепи Маркова. Свойства матриц перехода.11. Финальные распределения в цепи Маркова. Теорема Маркова. Эргодичность цепи Маркова.12. Определение случайной величины. Свойства функции распределения. Плотность распределения и еесвойства.13. Независимость случайных величин: попарная и в совокупности. Функции от независимых случайныхвеличин. Свойства моментов суммы и произведения независимых случайных величин.14. Математическое ожидание случайной величины и случайного вектора. Свойства математическогоожидания.

Неравенство Чебышёва.15. Дисперсия случайной величины и матрица ковариаций случайного вектора и их свойства. Неравенство Коши–Буняковского.16. Условные распределения и условные плотности распределения. Формулы полной вероятности и формулы Байеса для условных плотностей.17. Неравенство Чебышёва. Сходимость по вероятности последовательности случайных величин. Законбольших чисел в форме Чебышева. Теорема Бернулли.18.

Сходимость с вероятностью единица (почти наверное). Лемма Бореля–Кантелли.19. Усиленный закон больших чисел.20. Сходимость по распределению последовательности случайных величин. Характеристические функции и их свойства.21. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра–Лапласа.22. Возможность как мера множества. Сумма и произведение возможностей. Классы эквивалентныхвозможностей.23. Согласование мер возможности и вероятности, максимальное согласование.3.