Типовые задачи общего зачета, страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовые задачи общего зачета", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåòõàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (t) =11−2it .7.8. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåòõàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (t) =11+t2 .7.9. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåòõàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (t) = e−a|t| , a > 0.7.10. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåòõàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (t) =sin(t)t .7.11. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (t) = cos(2t).7.12.
Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (t) = (cos(t))2 .Ðàçäåë 8. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû.8.1. Èìååòñÿ 100 îäèíàêîâûõ ñòàíêîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ âêëþ÷åí 0.8 ðàáî÷åãîâðåìåíè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îêàæóòñÿâêëþ÷åííûìè îò 78 äî 86 ñòàíêîâ.8.2. Ïðè íàáîðå êíèãè âåðîÿòíîñòü îøèáêè äëÿ êàæäîé áóêâû 10−4 . Êîððåêòîðîáíàðóæèâàåò êàæäóþ îïå÷àòêó ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.9.
Ïîñëå íåãî àâòîð îáíàðóæèâàåò êàæäóþ èç îñòàâøèõñÿ îïå÷àòîê ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.5. Íàéòè âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî â êíèãå ñ 100000 çíàêàìè íå áîëåå äâóõ îïå÷àòîê.8.3.  ïîñåëêå 2500 æèòåëåé. Êàæäûé èç íèõ (íåçàâèñèìî îò äðóãèõ) 6 ðàç âìåñÿö åçäèò â ãîðîä, âûáèðàÿ ñëó÷àéíî äåíü ïîåçäêè. Êàêîé âìåñòèòåëüíîñòèäîëæåí áûòü ïîåçä (õîäèò îäèí ðàç â ñóòêè), ÷òîáû îí ïåðåïîëíÿëñÿ íå áîëååîäíîãî ðàçà â 100 äíåé?8.4. Èç òàáëèöû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë îòáèðàþò ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà 3 äî òåõ ïîð,ïîêà íå íàáåðåòñÿ 720 ÷èñåë. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïîòðåáóåòñÿ ïåðåáðàòü> 2100 ÷èñåë?8.5.
Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ÷èñëî "äåâÿòîê"ñðåäè10000 ñëó÷àéíûõ îäíîðàçðÿäíûõ ÷èñåë çàêëþ÷åíî ìåæäó 940 è 1060.8.6. Èçâåñòíî, ÷òî ëåâøè ñîñòàâëÿþò â ñðåäíåì 1%. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî ñðåäè 200 ëþäåé îêàæåòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå ÷åòâåðî ëåâøåé.8.7. Íàéòè ÷èñëî k , ïðè êîòîðîì â âåðîÿòíîñòüþ 0.5 ÷èñëî âûïàäåíèé ãåðáà ïðè1000 áðîñàíèÿõ ìîíåòû áóäåò ëåæàòü ìåæäó 490 è k .8.8.
Ñòðåëîê ïðè âûñòðåëå âûáèâàåò 10, 9, 8, 7, 6 î÷êîâ ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0.5,0.3, 0.1, 0.05, 0.05 ñîîòâåòñòâåííî. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðè 100 âûñòðåëàõîí íàáåðåò áîëåå 920 î÷êîâ?8.9. 1000 ðàç áðîñàåòñÿ èãðàëüíàÿ êîñòü. Íàéòè ïðåäåëû, â êîòîðûõ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.99 áóäåò ëåæàòü ñóììà âûïàâøèõ î÷êîâ.8.10.
Ñêëàäûâàåòñÿ 104 ÷èñåë, îêðóãëåííûõ ñ òî÷íîñòüþ äî 10−7 . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îøèáêè îêðóãëåíèÿ íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû â èíòåðâàëå(−ε, ε), ε = 0.5 × 10−7 . Íàéòè ïðåäåëû, â êîòîðûõ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.99 áóäåòëåæàòü ñóììàðíàÿ îøèáêà.8.11. Ìèøåíü óñòðîåíà òàê, ÷òî âûáèòü 1, ..., 10 î÷êîâ ðàâíîâåðîÿòíî. Ñòðåëüáàâåäåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà îáùàÿ ñóììà î÷êîâ íå ïðåâûñèò 1100. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëÿ ýòîãî ïîíàäîáèòñÿ áîëåå 205 âûñòðåëîâ.8.12. Êàêîå ìèíèìàëüíîå ÷èñëî îïûòîâ n ñëåäóåò ïðîâåñòè, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.95 ìîæíî áûëî óòâåðæäàòü, ÷òî ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ áóäåò îòëè÷àòüñÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå îò åãî âåðîÿòíîñòè, ðàâíîé 0.6, íå áîëåå ÷åìíà 0.02? Îòâåò äàòü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà è èíòåãðàëüíîé òåîðåìûÌóàâðà-Ëàïëàñà. Îáúÿñíèòü ðàçëè÷èå ðåçóëüòàòîâ.8.13.
Âûõîä öûïëÿò â èíêóáàòîðå ñîñòàâëÿåò 75% îò ÷èñëà çàëîæåííûõ ÿèö.Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç 1000 çàëîæåííûõ ÿèö âûëóïÿòñÿ: à) ðîâíî 750öûïëÿò; á) îò 720 äî 780 öûïëÿò.Ðàçäåë 9. Êîíå÷íûå îäíîðîäíûå öåïè Ìàðêîâà. Ñëó÷àéíûå áëóæäàíèÿ ïî öåëî÷èñëåííîé ïðÿìîé.9.1. Öåïü Ìàðêîâà èìååò äâà ñîñòîÿíèÿ. Íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàäàåòñÿ âåðîÿòíîñòÿìè a1 = 1.3 è a2 = 2/3.
Ìàòðèöà ïåðåõîäà çà îäèí øàã èìååò âèä:µ¶3/4 1/4.1/2 1/2Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ÷åðåç äâà øàãà.9.2. Äàíà ìàòðèöà ïåðåõîäà çà îäèí øàã äëÿ öåïè Ìàðêîâà ñ äâóìÿ ñîñòîÿíèÿìè:µ¶10π=.1−qqÍàéòè ìàòðèöó ïåðåõîäà çà n øàãîâ.9.3. Íàéòè ïðåäåëüíûå âåðîÿòíîñòè öåïè Ìàðêîâà, åñëè ìàòðèöà ïåðåõîäà çàîäèí øàã èìååò âè䵶01.1/3 2/39.4. ×àñòèöà ñîâåðøàåò ñëó÷àéíûå ñêà÷êè åäèíè÷íîé äëèíû ïî öåëî÷èñëåííûìòî÷êàì äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé, ïðûãàÿ íàïðàâî ñ âåðîÿòíîñòüþ p è íàëåâî ñ âåðîÿòíîñòüþ q , p + q = 1.
 ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ÷àñòèöà íàõîäèëàñü â òî÷êåx = 0. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t = 8 ÷àñòèöà îêàæåòñÿâ òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé x = 4, åñëè èçâåñòíî, ÷òî çà òðè øàãà îòîøëà îò íóëÿ íåáîëüøå ÷åì íà 1 â ëþáîì íàïðàâëåíèè.9.5. Äëÿ ñèììåòðè÷íîãî ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ, êîòîðîå íà÷èíàåòñÿ èç íóëÿ,íàéòè äèñïåðñèþ êîîðäèíàòû ÷àñòèöû íà òðåòüåì øàãå.9.6.  ïåðâîì ÿùèêå ëåæàò äâà øàðà, âî âòîðîì äâàäöàòü.  ìîìåíòû âðåìåíèt = 1, 2, . . . âûáèðàþò íàóãàä îäèí èç ÿùèêîâ, âûíèìàþò îäèí øàð è ïåðåêëàäûâàþò â äðóãîé ÿùèê. Åñëè â êàêîé-òî ìîìåíò ëþáîé èç ÿùèêîâ îêàçàëñÿ ïóñò,ïåðåêëàäûâàíèÿ ïðåðûâàþò. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïÿòîå ïåðåêëàäûâàíèåóäàñòñÿ ñîâåðøèòü.9.7.
Èìåþòñÿ äâà ÿùèêà, â â êàæäîì èç êîòîðûõ ëåæèò ïî äâàäöàòü øàðîâ. ìîìåíòû âðåìåíè t = 1, 2, . . . âûáèðàþò íàóãàä îäèí èç ÿùèêîâ, âûíèìàþò îäèí øàð è ïåðåêëàäûâàþò â äðóãîé ÿùèê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âðåçóëüòàòå øåñòè ïåðåêëàäûâàíèé øàðîâ â ÿùèêàõ îñòàëîñü ïîðîâíó, à â ðåçóëüòàòå äåñÿòîãî ïåðåêëàäûâàíèÿ â îäíîì, çàðàíåå âûáðàííîì è ôèêñèðîâàííîì,ÿùèêå îêàçàëîñü áîëüøå øàðîâ, ÷åì â äðóãîì..
