Типовые задачи общего зачета

Îáðàçöû çàäà÷ äëÿ çà÷åòàÐàçäåë 1. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòåé.1.1. Ñîáûòèÿ A, B , C íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è P (A) = 0.8, P (B) = 0.7,P (C) = 0.6. Íàéòèà) P (A ∪ B ∪ C);á) P (A ∩ B ∪ C);â) P ((A ∪ B) ∩ (B ∪ C).Ðàçäåë 2. Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé.2.1. Òðîå ïîî÷åðåäíî áðîñàþò ìîíåòó. Âûèãðûâàåò òîò, ó êîòîðîãî ðàíüøå ïîÿâèòñÿ ãåðá. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà äëÿ êàæäîãî èãðîêà.2.2. N ÷åëîâåê ñàäÿòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì çà êðóãëûé ñòîë. Íàéòè âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî òðè ôèêñèðîâàííûõ ëèöà ñÿäóò ðÿäîì, ïðè÷åì A ñïðàâà îò B , à C ñëåâà.2.3.

Èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë 1, 2, ..., n íàóäà÷ó âûáèðàþòñÿ äâà ÷èñëà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî îäíî èç íèõ áîëüøå k , à äðóãîå ìåíüøå (1 < k < n)?2.4. Íà ïîëêå â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå ðàññòàâëåíû 40 êíèã, ñðåäè êîòîðûõ èìååòñÿòðåõòîìíèê Ëåðìîíòîâà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòè òîìà ñòîÿò â ïîðÿäêåâîçðàñòàíèÿ (íå îáÿçàòåëüíî ðÿäîì).2.5. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûáðàííîå íàóäà÷ó öåëîå ÷èñëî ïðè âîçâåäåíèè â êâàäðàò äàñò ÷èñëî, îêàí÷èâàþùååñÿ åäèíèöåé.2.6.

Èç êîëîäû êàðò (52 øò.) èçâëåêàþòñÿ òðè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ýòîáóäóò òðîéêà, ñåìåðêà è òóç?2.7. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ïÿòè áðîñàíèÿõ ìîíåòû ãåðá âûïàäåò ïîêðàéíåé ìåðå òðè ðàçà ïîäðÿä.2.8. Èç ÿùèêà, ñîäåðæàùåãî òðè áèëåòà ñ íîìåðàìè 1, 2 è 3 âûíèìàþò ïîîäíîìó âñå áèëåòû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áèëåòîâ èìåþòîäèíàêîâûå âåðîÿòíîñòè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû ó îäíîãî áèëåòàïîðÿäêîâûé íîìåð ñîâïàäàë ñ ñîáñòâåííûì.2.9.  ÷óëàíå íàõîäèòñÿ 10 ïàð áîòèíîê. Ñëó÷àéíî âûáèðàþòñÿ 4 áîòèíêà.

Íàéòèâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ ïî êðàéíåé ìåðå îäíà ïàðà.2.10. Íåêòî ðàññûïàë ñëîâî ÀÍÀÍÀÑ, ñîñòàâëåííîå èç áóêâ ðàçðåçíîé àçáóêè,è çàòåì ñîáðàë åãî â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñíîâàïîëó÷èëîñü ñëîâî ÀÍÀÍÀÑ.2.11. Èç öèôð 1, 2, 3 íàóãàä ñîñòàâëÿåòñÿ øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ÷åòíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå âñåãî îäíó öèôðó 2 è ÷òîâ ýòîì ÷èñëå öèôðà 1 áóäåò âñòðå÷àòüñÿ äâà ðàçà, öèôðà 3 òðè ðàçà.2.12.

Ñêîëüêî íóæíî âçÿòü ÷èñåë èç òàáëèöû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ÷òîáû èç íèõ ñâåðîÿòíîñòüþ 0.9 áûëî õîòÿ áû îäíî ÷åòíîå?2.13. Âåðîÿòíîñòü óñïåõà â êàæäîì èñïûòàíèè ñõåìû Áåðíóëëè ðàâíà p. Êàêîâàâåðîÿòíîñòü, ÷òî k -ûé óñïåõ ïðèäåòñÿ íà m-îå èñïûòàíèåÐàçäåë 3. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåðîÿòíîñòè.3.1. Íà îòðåçêå íàóäà÷ó ñòàâÿò äâå òî÷êè, äåëÿùèå îòðåçîê íà òðè.

Êàêîâàâåðîÿòíîñòü, ÷òî èç ïîëó÷åííûõ îòðåçêîâ ìîæíî ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê?3.2. Íà îòðåçîê [0,1] íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ äâå òî÷êè, ξ è η . Êàêîâà âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî êîðíè óðàâíåíèÿ x2 + ξx + η = 0 äåéñòâèòåëüíû?3.3. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èç òðåõ âçÿòûõ íàóäà÷ó îòðåçêîâ, äëèíû êîòîðûõ< 1, ìîæíî ïîñòðîèòü òðåóãîëüíèê?3.4.  åäèíè÷íûé êâàäðàò íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ òî÷êà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü, ÷òî ååðàññòîÿíèå äî áëèæàéøåé ñòîðîíû êâàäðàòà ìåíüøå, ÷åì äî áëèæàéøåé äèàãîíàëè.3.5.

Íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû ðàäèóñà R ïðîèçâîëüíî âûáèðàþòñÿ äâå òî÷êè. Êà-êîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íèõ äóãà áîëüøîãî êðóãà ñòÿãèâàåò óãîë,ìåíüøèé α (α < π )?3.6. Âíóòðè ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ABC ñî ñòîðîíîé 1 íàóãàä âûáèðàþò√òî÷êó M . Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AM B áîëüøå38 ?3.7. Íà îòðåçêå AB íàóäà÷ó âûáèðàþòñÿ äâå òî÷êè L è M . Íàéòè âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî òî÷êà L áóäåò áëèæå ê òî÷êå M , ÷åì ê òî÷êå A.Ðàçäåë 4. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè, ôîðìóëû Áàéåñà.4.1.

Èãðàëüíàÿ êîñòü áðîñàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå âûïàäåò åäèíèöà. Ïðè ïåðâîìáðîñàíèè åäèíèöà íå âûïàëà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîòðåáóåòñÿ íå ìåíååòðåõ áðîñàíèé.4.2. Áðîñàþò òðè êîñòè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû íà îäíîé èç íèõâûïàäåò åäèíèöà, åñëè íà âñåõ òðåõ âûïàëè ðàçíûå ãðàíè?4.3. Èãðàëüíàÿ êîñòü ïîäáðîøåíà äâàæäû.Ïóñòü ñîáûòèå A ¾÷èñëî î÷êîâ ïðèïåðâîì áðîñàíèè ðàâíî 5¿, à B ¾ñóììà î÷êîâ ïðè äâóõ áðîñàíèÿõ ðàâíà 9¿.Ïðîâåðèòü óòâåðæäåíèÿ: à) ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû; á) ñîáûòèÿ A è Bîáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé.

Îòâåò îáîñíîâàòü.4.4. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ðàâíà 0.7, à âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿâ ñëó÷àå ïîïàäàíèÿ 0.2. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïîñëå òðåõ âûñòðåëîâ öåëü íåïîðàæåíà?4.5.  ñîñóä, ñîäåðæàùèé n øàðîâ, îïóùåí áåëûé øàð. Êàêîâà âåðîÿòíîñòüèçâëå÷ü áåëûé øàð, åñëè âñå êîìáèíàöèè ñðåäè øàðîâ, íàõîäèâøèõñÿ â ñîñóäåðàâíîâåðîÿòíû?4.6. Ìàøèíû A, B è C ïðîèçâîäÿò ñîîòâåòñòâåííî 25, 35 è 40% âñåõ äåòàëåé. èõ ïðîäóêöèè áðàê ñîñòàâëÿåò ñîîòâåòñòâåííî 5, 4 è 2%. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü,÷òî âûáðàííàÿ äåòàëü ñäåëàíà ìàøèíîé A (B èëè C ), åñëè îíà îêàçàëàñü áðàêîâàííîé?4.7.

 ñõåìå Áåðíóëëè âåðîÿòíîñòü èñõîäà "1" ðàâíà p, âåðîÿòíîñòü "0" ðàâíà1 − p. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü "00" ïîÿâèòñÿ ðàíüøå,÷åì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü "01".4.8. Èçâåñòíî, ÷òî ïðè áðîñàíèè 10 êîñòåé âûïàëà ïî êðàéíåé ìåðå îäíà åäèíèöà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî âûïàëî áîëåå îäíîé åäèíèöû?4.9. Èç óðíû, â êîòîðîé áûëî m > 3 áåëûõ øàðîâ è n ÷åðíûõ, óòåðÿí øàð íåèç-âåñòíîãî öâåòà. Ïîñëå ýòîãî èç íåå áûëè âûíóòû äâà øàðà, êîòîðûå îêàçàëèñüáåëûìè.

Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî áûë óòåðÿí áåëûé øàð?4.10. Èãðàëüíàÿ êîñòü áðîñàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå âûïàäåò åäèíèöà. Ïóñòü÷èñëî èñïûòàíèé n ÷åòíî. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ýòîì n = 2?Ðàçäåë 5. Ôóíêöèè îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.5.1. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû è èìåþò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòèe−x , x > 0. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ξ − η .5.2.

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû è èìåþò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòèe−x , x > 0. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè |ξ − η|.5.3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû è èìåþò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòèe−x , x > 0. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ξ/η .5.4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ√èìååò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè e−x , x > 0. Íàéòèïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè η =ξ.5.5. ×åðåç òî÷êó (0, l) ïðîâåäåíà íàóãàä ïðÿìàÿ. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòèàáñöèññû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ îñüþ Ox.5.6. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáúåìà êóáà, åñëè ðåáðî ðàñïðåäåëåíî ðàâíîìåðíî íà [0, a].5.7.

Ïóñòü ξ, η ∼ N(0, σ 2 ) è íåçàâèñèìû. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè aξ +bη + c.5.8. Ïóñòü ξ, η ∼ pN(0, σ 2 ) è íåçàâèñèìû. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àé-íûõ âåëè÷èí ρ =ξ 2 + η 2 è ϕ = arctg( ηξ ).5.9. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,îäíà èõ êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî íà [0,1] à äðóãàÿ èìååò ïîêàçàòåëüíîåðàñïðåäåëåíèå p(x) = e−x , x > 0.5.10. Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, P (ξ = k) = P (η = k)= 2−k , k = 1, 2, ....

Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ξ + η .Ðàçäåë 6. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîìåíòû.6.1. Ïóñòü ξ, η ∼ N(0, 1) è íåçàâèñèìû. Íàéòè M max(ξ, η), D max(ξ, η).6.2. Ïóñòü ξ íîðìàëüíàÿ N(0, 1) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Íàéòè M|ξ + 1|, D|ξ + 1|.6.3. Ñëó÷àéíàÿ òî÷êà A èìååò â êðóãå ðàäèóñà R ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå.Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ðàññòîÿíèÿ ξ òî÷êè A îò öåíòðà.6.4. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ, η ∼ N(0, 4) è íåçàâèñèìû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òî-ãî, ÷òî òî÷êà (ξ, η ) ïîïàäåò â êîëüöî ñ ðàäèóñàìè 2 è 3 è öåíòðîì â íà÷àëåêîîðäèíàò.6.5. Ñëó÷àéíûé âåêòîð (ξ, η) èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x, y) = 1 +e−(ax+by) − e−ax − e−by , ïðè x > 0, y > 0 è F (x, y) = 0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Íàéòè ÷àñòíûå (ìàðãèíàëüíûå) ðàñïðåäåëåíèÿ ξ è η .

Èññëåäîâàòü ýòè ñë.âåëè÷èíû íà íåçàâèñèìîñòü è íåêîððåëèðîâàííîñòü.6.6. Î ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíàõ (ξ è η) èçâåñòíî, ÷òî pξ (x) = exp(−x), ïðè x > 0,Dη = 2, D(ξ − η) = 3. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ξ è η .6.7. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè òðåõ íåçàâèñèìûõ âûñòðåëàõ ñòðåëîê ïîïàäåò âöåëü õîòÿ áû îäèí ðàç, ðàâíà 0.992. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïîïàäàíèé ïðè äâàäöàòè âûñòðåëàõ.6.8. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ñîñðåäíèì çíà÷åíèåì 25.

Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ýòîé ξ â èíòåðâàë(35, 40), åñëè îíà ïîïàäàåò â èíòåðâàë (20, 30) ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.2.6.9. Ïóñòü ξ ∼ N(0; 1). Âû÷èñëèòü Mξ 3 .6.10. Ïóñòü ξ ∼ N(π; e). Âû÷èñëèòü Fξ (Mξ).6.11. Äàíà ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è ηpξ,η (x, y) = Cxy, åñëè 0 < x <√y < 1, x > 0, èíà÷å pξ,η (x, y) = 0.Îïðåäåëèòü êîíñòàíòó C è íàéòè:à) ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ξ è η ;á) ïëîòíîñòè ìàðãèíàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ξ è η ;â) ïëîòíîñòè óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ξ è η ;ã) óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ξ è η ;ä) êîâàðèàöèþ ξ è η .6.12. Èãðà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ìîíåòó áðîñàþò ïîî÷åðåäíî äâà èãðîêà äîïîÿâëåíèÿ ãåðáà.

Åñëè ãåðá âûïàë ïðè k -ì áðîñàíèè, òî èãðîê, áðîñàâøèé ìîíåòó, ïîëó÷àåò k ðóáëåé. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûèãðûøà êàæäîãî èçèãðîêîâ.6.13. Ïóñòü η = |ξ|, ãäå ξ ∼ N(0, 1) . Íàéòè Fη (x), Mη , Dη .6.14. Ïóñòü η = sign(ξ − 1), ãäå ξ ∼ N(0, 1). Íàéòè Fη (x), Mη , Dη .6.15.

Íàéòè M cos(ξ), D cos(ξ), åñëè ξ ∼ N(0, 1).6.16. Âåäåòñÿ ñòðåëüáà ïî ìèøåíÿì. Íàéòè êîâàðèàöèþ ÷èñëà ïîïàäàíèé â äå-âÿòêó è âîñüìåðêó ïðè n âûñòðåëàõ, åñëè âåðîÿòíîñòè ïðè êàæäîì âûñòðåëåâûáèòü 1, 2. ...,10 îäèíàêîâû.Ðàçäåë 7. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè.7.1. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ln(ξ), ãäå ξ ðàñ-ïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî íà (0,1).7.2. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ 2 , ãäå ξ ∼ N(0, 1).7.3.

Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.7.4. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ îòðèöàòåëüíî áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.7.5. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ïëîòíîñòüþâåðîÿòíîñòè p(x) = 12 e−|x| .7.6. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåòõàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (t) =1+it1+t2 .7.7.