Метод решения первого практического задания
Описание файла
PDF-файл из архива "Метод решения первого практического задания", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "основы математического моделирования (омм)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Метод решения первого практического задания Рассмотрим задачу ди дп — +и— д1 дх О,. О<х<1., 4 — агсгу;(х — 2) + 2, и(х, О) и(О, ~) (2) .4 2 — — агсФд2~ е В~~д~~ разностпу|о сетку 1 ы= х,=й, 2=О,...,Х Ь,.= —; 1.,=~гт где Х -- число узлов вдоль оси х, т -- ша~ по времени. Перепишем уравнение (1): ди д и2 д~ дх 2 Введем сеточную функцию д,. = й (х,;, ~„:).
Разностная аппроксимация урав- нения (4) в точке (х;+ —,',6...Г + Ц выглядит следующим образом: Уг У~ + да-+1 %+1 У~.ь1 Уз' + У71 1 Уз' 2 46 (5) а для Г1)аничных и начальных условий: 4 угв = — агсф(х; — 2) + 2, .4 дв, = 2 — — агля 2) е (7) 2 2 2 1 - Мо — 'до — у| Ж вЂ” до — до Получе|шую разностную задачу (5)-(7) будем решать при помощи схемы бегущего счета. Пусть известно значение сеточной функции для некоторого 8., вычислим значение функции для 1.+1.
Выписывая уравнение (5) при г = О и учитывая, что до,+1 известно из (7), получим квадратное уравнение для определения У1 +1. Будем решать данное уравнение итерационным методом (предположим, что мы не можем аналитически решить это уравнение). 00 ов 02 ов О.В о4 0.0 02 015 о о Рис. 1: Результаты реьиеиии задачи (1)-13) -( ) Пусть известно некоторое приближение д1' к корню д1, тогда уравнение при- (-(в) -М мет вид 1 ~д1 + Ьд1 ~ = О, где Ьд1 = д1 — д1' .
Раскладывая в ряд данное уравнение и линеаризуя его, получим: Следовательно, Процесс останавливается по достижении заданной точности я: Ьд1 Последовательно вычисляя д1, до, ... ду, получим значение функции для Результаты расчетов приведены на рисунке. Выбор шагов 6,, и т осуществляется с учетом условий устойчивости используемых методов (см., например., Н.Н. Калиткин "Численные методы"). .