Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Прикладные задачи дифференциального исчисления функций нескольких переменных (1993), страница 5

Выберем преки всех получки»п»х значений функции самое боаьеое ж = ж ~ 4 и самое малое ц ~ * х „ . -4, лтг лсб Варяву с аналитическим метопом рееепия аапачй отыскания лкстремума »Вункция в ограниченной замкнутой области макет быть использован графический метал, который позволяет по линиям уров- ня спрепелигь возрастание илк убывание функции в прваелах указан- ной области, ПВиме2 2В.

Исслакоаать нв зкстреыум Функции 2, »Сьб»х ж при условии, что «е Й44, «е уеЬ вЂ” т-' Реиение, Линии уровня ленной йункции заявится уравнением у бц"-х с, .т.е, р «ж-2)ч ~С -4) . Из рис. П акино, что ' л ато,семейство парабол с вергчнвми на прямой»п 2, причем бо- Зазачи ля самостоятельного евенив В эааачах 9 - 13 найпите вкстремум зала»е»сй Функ»»ии.

бр» — 2л у«х,у)- 2 1О. у'СХ у) т у 2у Х 12В 16 2х у, г ы 2 11, ~'Спбу)" е «В 2хр — ) 'гЗг1 ~'«~ у-ъ)=22.-5.х Ъу -х - — хр — „- х 13. Хг ~,~( 4 Ж "(~~у.т') ч е — ° П.'ИО уз О 2.0О 4 ц у у„ В запачак 14 17 найиите услоеный зкстреиум зааанной функции. * У(ж,у) м4 Ф 024жу + Куа, 1ВОС ~ у2 2б. 1б.. ° 2 л ('и.у) б1зз ос ° сбб у, и' у 2 Х 1б. У (Ж,У,Х)0~ Х' у 2',, й+у ~.2 4 17. ~(ф у ф)м(ттУ) -(К~ У)у~И ° У~К~2 4Ж ч у 2, ЖИО, у>О. 20О 2 2 В залачек 1В - 20, используя аналитические и графические метоаы насйсите наибольиее и наименызее значении етнкции е области.

У(зч У) м Ж 0 У, С0 Е П' К 2, Ж С у К 2 ~ 1ы Р(п',У) У-4ж; 00 к ук 26 10(ч' у)" 1х1 1у1, (и -1) У2 с4, 2 те а т оа пеа те полечит зное число сс на три полочитель „в геемык таи чтобы ик прсизаепение было наибольщим 22". П ик Резмарак бек~ преостаелкпиий собой прлмоуголь|есй пераллелепипеп с площлльв поееркности В, имеет наибсльиуи еместимостьр 23"..

.,Ка плоскости Рос - 2 к О найаите точку, сумма кеалретое ресстоиний которой от точен А ( 1, 1, « ) и сз(2, Ъ,4 ) была бм неименьией. 2чи прелелите размеры конуса С накбслыоки обьемом. плоиааь. бо. ковой поееркности. Которого Раана В 2б", В плоскости треугольника с Верпинами А (х ,' ) й(х', с с ' Л'Ул„ (хз Уз) карпите точкУ, сучма ИВВСРВтОВ РосстОиний которой по еераинм треугольнике была .". ноименьыей; *10 ' 26' . Йз закайн000 прзмсугокьного листа кеотк со 005 Рономи Я к 5 ,1 Сс 0 О 1 слезайте емкость о макс~елькин Сф омск, кыьыкго три стенка, ееспеааккулиопые Оснозкннп.

27~. Йзр массой М , лонга ь се скоростьо У ., Соускркеток ; группой кз гс 1 карса, рзсоолокантд поскьдсззтеаьно ыорез— .Вите соотноиенке максу иосоани озроз. Срк которыс СК0100ть 000- лаокаго .Мрз, ыжоК котор010 'т 0 оулот ызк: кыьоьной 10кс,. !:.~ Глаза 4. !ФОКЙКК1КК КАОАТКК1110К гоИХИХТК1 К МОРКККК К %ВКРУЬКОТК Клоокость, 0 которой Располозевы касателыве прлмыь по Всем линкам на поееркностк, проксдащим через заланнуп 00 точку Р , ньзыьаетса касательной пзоскоотьо к ласюой поьериности ь точке 00 .

Корызльо к позеркностн В точке Р нкзьааеток прк- ыал, !мрпенсккуларйаа к 00 касательной плоскости 0 точке б 1. Касвтельнак плоскость к ноомаль к г В к Кусть бункпнк лоук перзыанкыл К =~(х,у) лкббмренпируеыа В точке 1( ( ~ у ) . Малакки 2„, ( ( х'О, У„ ) уралыенкв касательной плоскости к гробику функйкк Р в точке г' (т у 0 ) имеет Виз у.-- = — (п.-х ) (у — у ) 1231 В~ Эг 1 О с10 21 ',.; 01 Мраооенке касательйой плоское.к залаотск нормальньм Вектором Уркаыаьив норкзли а точке Рз имеет Вкл о Тй й6 др йу ()целей Ы.. йе пойерхностй В Вето(ллл кесотельней плоскость Й' )(.~ йх~ л ° ич примерь (йл) нейтн осе точки, Йьуьллельие плосйооти . 6 ВНН6, ')ОЧХВ О ЛООРЙЛНВТВМН УЖ, Н,Ъ'3 УЛОВЛЕТВОРЛЕ филу ллсетельиой плоскости, лосйбм Обоокечекй6 лщуд Йд х~дслч(ВФ, ч'Оли Йолчерлнут~ Отличиь От у„( Й: р ) , '1ослл урйьленлееп (хй) Н ЧИО ЙВРЕЙМСВТЬ В ВЛЛВ Ьп.

-дж. «24) ЛСО, Йь ь й. Кеоьтол и л гл оп т но Ва х лойе но тй 6 нно Вн нн у' х х 0 ))уоть тонче Р (ж у , й ') лечит нь ленной поверхности, т,е. Г'('а~, у й'. ') ь д. 1ролйолойлн, что функции трех Йеременнмх ~ (х', р, е ) лнфуеренпмруене 6 толпе )Оо , и МОУДИ бм олкл ио 66 ЧВСРЙЬФ ЙРОВЛВОЯН٠— , — ' , — ' :ЛНЧЙВ ОТ $фхй. дс'( дй ) дл' 1 дсс ()Р'др )()о д .~д) у)очки, 6 поторнх пое три чеотнне фойлеол)оле рьенн нулю (тлк ньлыленлне ооойме то(кй поверхности), мн рйсснетриветь не буден, и Втйх точйех Йойерлность йойет и йе иметь ййоетельной ЙлоскосТй./ )ЛУПЕй Лйй ОПРЕЛЕЛЕНИООТВ Сатйтл, что ~Г ~ т, () ; остлльине случеп оейлйтоя и Втоцу Йереотеноекой пйуременннх.

тосле Во теорема о ф(унвцнп, Влленной неявно„ В некоторой окростности точки Р пойерлпооте лйлйетой тр64нком некоторой Функции )уу.с, д), пр — — ' ~ Ь- у,) - — ~ (.х - ~,у- О, ду" ~ дк" ' дуй ~ дж д дд у~ дх рйооноччм РОРЛВ Я вЂ” ( П,Ф( Д ') Но)ЬМЛЬИнй ВЕКТОР К Ллиной 1ЬОВВРЛМОС тй 6 точке йто . урлененйе нориелй й Йооерхисстй е точке М, ИНВВТ ВЧЛ Р8щжй6. условйа свраллвльйоста плОокостей ЙОлляйевр Вость йк Йормвльйык оекторой' .т ('2 ж т р -2 х -4 2 д -4') Й с б с ~ с 2 , соответственно, гсе ( ж у 2:, ")- косрдййвтн я;комод точкн Йв ддннсй соверхностн.

Записав уоловйв коллянаар1Й1стй Йекторос Й ООЙЙЙЙЙ Й нему урсяненйя ООВеркностй, ЙОлучВЯЙ састану тр-2 х -д 22 -4 о 'с ...д 2 раявв которуй, Йелодйы дос точки М, (( ~ ь(Й с -ЗЙТ, Б — т'2 ) Я дд ((-ЙТ,Ь Ът'2, Б'ъ'2). ))цйад62 26. НВ повсрхиостй Яв условйк прамера 24 Йайтй Ясе ь о 1ЙЙ, в Моторам норйсль перпендмкулярна ося Оу . Раавййв, УОЛОЯЯЕ О6РООЙДЙЙУЛЯРНОСтн авйтОРВЛМ (Дм П ,т)к) осй О 2 ймеет вйс П т Й.

Б данном Случае Ж ."4 О ж : 4. Иодстввйа найденное энвчвнке д' а уравненяе доверкноо- ЙЙ, пряаоайм последнее к виду 2 - 4д т 5 О . Уравнанйе не д Метет реяенйм, Значит, текйй точек ЙВ соввржностя.нет. р - . ° ° й~~ ~ р' Ф + 42д -2ж .-4у Й-я О, ндйтй все точкм, в который нора ЙВЛЬ1ьй вектор ооровуст угол Я'И с осьй ()х Рейснйе, Нормальный вектор )т В поверкйоотя Ймеет Йоордйойтч д; 2м -- 2, м 22 — 4 м )т '"Зж. У ."~6 Б, оси Од ймеат коордянаты ('О,(), (), йс условна 4П ВП +Лт т П д г П «() Вдй , псдотавлйй внрвтенал для 7т (т „ П 4() д . 4 (Й вЂ” ) ') . ь 4 ( у - 2') ХЯО.

Нсрепнсав урвснвояс совсркностй и В ье У., -" 1 ~'-~, ~дд -() ч('у-2) ~ Щ Йтал. ЬЙЙ Йгкойс:ь тччйй Об " ~ Йрьвуйт Окруаность леяаяуй В длООВОО- ЙФ 2 -~ ),~д . ) ~ дну *.' ~ Йруаностй равен т $ /2 „асордннетй Йвнтрь (),2, (.'д). ,Й.ЙЙЙ но отнсяенно ь касательной слосйостм одййм мв сладуяяак ЙПОЕОСОВ: Йеастд ЦЙЛЯЙОМ ВЫЙа Квоатедввой ЙДСОВОСта, ЙЕДЯЯОМ Янке касательной Йлосйоотй Й до рйвные Оторойм Оро от яеа, т.е. Йа ,;тайно ьняе, Й ча,.~ноно Ямке.

(тласньть какой Йс етйк случмея ймает маете ямайо~ рва ~ймтмя фунйцао Й олрестноотй даоной тсчйй ПО 46рйула 26йлс до .Ва ' Ора до 2--,"(д,у) "1(х„,ь, ) дХ (3)) ~у(:с,, До',~то(д~ т 2 4д1 .Ь()(р) ~ М, ЩО = )(Й' йо) ЬЬ'(ЬОС б.Л)(+ 2(А(ЯСС~ 2Ь()жДУ+С(ДЦ~» а(УУ~ 2 „,д'х О фй л )лосер дй ' С(р2 ' 'Й ® де ) 6'Ч У".т' ))раааа часть равенства (30) Оостомт аа ацмаяаетм масмтеаа ЙОВ ЯЯЯОЙОЙВМ 4ЙЙС пд )с2" .

М с( сь®: 4- й)), „гчтачи»» »>сии. Зсли квзлрзтичиви форме полокительио сире»>сиз, та й . >е при востаточио мвлмх 1з . Зто озксс ии з.>и-. >, >Иг иб >изи точки в»и:зиия грвфив фуикпии рвсполокеи в>лйе гиз»-»> и пл»>Око» ти. Аиалогичио если квйпрвтичийя форме отри»во» "»»>з ои>»воелиии, то график функции вблизи точки квовикя леичз к»свтельиой плоскости. Зели кввдрвтичивя форме зивкооеиеч.:,'1>»в, тс >">»зфии >ьекит чзсткчнс вязе, в чвстичио ииВ6 МВОВтв» и»и »ос»ости - и лебой сколь угодив малой окрестности точки ч:>»и ч, З зк ка»мрвгичивя форме вырокпенв, то требуется дополии„»с з м с»еаоивиие >ивиример, рззлокеиие по фориуле Тейлоре >и> и>зиив испив косского порипки малости).

Зопрос о зивкопосто'и квчирч»и»и>ой фсрми мочис резить, квк в гл. 3, »о)вдоу»123 Кзк рвсполпхенв поверхцость из примера 24 по .>Ч>»» >>»>»г к своев квсзтлз>ьной плоскости в точке Зт «2,-1,3) 'Г 'д«) 'ГВ»»ЗЬЗ>ИЗ, ТИК КЗК к- ~ ЧЬ 3, тО В ОКРвстисстк тОЧ- «2 ° и 11 >»»»в»»р»и>»с>ть микис првйотзвкть в виве графике фв»пипки о -,:.' »,» и ут»>ми дГ дУ" -в- 2ж~у 2 д„ дт д.~" 2х -4 ду ЭГ Зх-4 дх дх 2х.»п-$ й 3> 2«22 -')-«ЗХ 3-2) 2~.-2х Л ) «22-4) «йх 3.23 р>к. 2')'«л" 4)«2~" У 23 д х «х-»»У л л дтдл 4 «х-23в ' д)>л 4«2-23 >;»лотов»ив к>»орви>»зги тачкк >)1, получвем»>) -2»ЗмО ь. о ' пг» кав звано, что квварчткч»>вл форма «-2>Ох)т- -1 «драил) 4 > ' »Итси отои»втезь>»>»-о»привезенной, зивчвт„вблизи точки 1)фо о» в>рл»>исгь лечит иич>» кз> отельной плоскости.