Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Прикладные задачи дифференциального исчисления функций нескольких переменных (1993) (1135794), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Нрк Ъ 5 2 ' 2 стон Нокекен, ьзк использовать достеточнае условие о оомощьв с( ь лу Дн4фврвнциел второго оорлдко имеет вкд 2 с(з.' -2 Ыщ с(ц т 2 ~Тщ, 1Р Соке о знаке днффервнцнвлв ничего сказать некьзи, Бостону, орнменвя урввненив связи, вырвзим пр через с(К и ппастевкм в а Х. . Йз урьвненвя сввзи у - ж — Ъ , ~Ту ч — с(~ Тогда сТ'Х.~ - 6 сТ жз. Очевкано, что с(2(„ ; 6 длв М ~Щ Д л О.
Следовательно, Р (- м — 2- Т - точка условного минкмуо 2 ~ 2 мв, т.е. Ноиме2 ТО. Нввтн соотноиение сторон первллелепкпеве о нвнбавьиим объемом, если площадь ево полной поверкности равна В . Ревейне. Зеаечв сводится к отысквним максимуме Чкнкцик 'тчЖух прк условии, что 2(ьсу чую-Х;с2-Зм О . Отметим, что дли.конной здаечи жмО, у>О,д >О ° йункцкв Лвг- ЗТ 1 зал««н зтоз ««учао Йый«т юы /,~л у,2;Л) стук.«Л! 2(хЧ 'уъ ~х)-В1 «аз.н -иатему урез«зина — =. ух, ~ 2 Х ( у «х) ~ 0 ЗЕ. Ж =' — =дх «ПЪ~х~х)~0 Ж ду д('= т у- 2Л(ос+у) О( д« 5. 'х'у + уе -' Ъх ~ ~Г ' у(б' «Л -д, (со . итак, на((ае«1а успасучзеы Ф .(,/й.
лозно-стационарная точка Р (,, (/ ~ ««у ) ппн Л=: а: 8' пспользуя критерий (з1льзестра«выясним, будет 'лк матрица этоРпс частных производныл функция Паграназ з точке Р полоантельно» зли отрицательно-оарезелбнпойс пяд/ д'Ь ., д'Ь вЂ” ° О; — х..«ПЪ*,, — у ""Пх; дхд ' дд ду ... " доеду д'Х, длА — =:с «ПТ«( — з а О, дудх вторых произвчкнык, взятых' з тачке Р. '- Соатззнм матрмП( Р/ пря 9~«ач('1/ уравнание связи н зыраазем с(у. через сЬ' н с(у з точке Р сс(йу) ««п(ух) «с(СЙ~) ««О; с(х.('х+у) «с(у(ж'х) -«с(ж('у «й) О. Прв;о у = п~у(П, получаем, что с(у, « — с(ж ~у .
Паястзены цж в с(лс„(8, чтобы опреяелить знак с(з/. с(/.! Д)(~~~ (с(жсфу+с(ус(х +с(хна) Пу/И(-сЬхф-Нжс(у-с(у') (Р б Имеем кзавратнчнуе форму двух переменнык. Отсева звано, чта стсцаа й -ЯС"В 4.— - = б > О . Так как Я с 0 5 Б б 8 "2 то Ро(тб/8 тЯ т/б/8 ) Яэлветса точкой безУоловного максинтма фбнкпдм Аагрзнка, а слакозвтельно, точкой условного максимума исхояной.
дикции. Таким обрезан искоюм параллелепипевом является вуб, ребро которого равно.ф ПаиИеП 20. ~з зпванного праноугольного листе вести со сторонвнк СХ и д ( СЛ> 6 ) (рис. 8) сделать емкость (рис. 9) с максимальным обьемом, две стороны которой перзенкнкулярны основание, две другие наклонны. равенне. Обьем искомой емкости У равен обыщу четырех,угольная (см. рис. 8) призмы с высотод А В, э оснаваняи которой лечит трапеция МФ С В ,/- 0 Иумтзрзй пнльзесара з ленном озучви не дает ответа на ъопрбо о «нзюоопрз1селе1«насти мзтрнпы, тзк ввч л =-Й.4 * О' .
поэтому 1 , «.п««««уач зос««с«ынтзльйык,метод дсеуезаз««чзя*,ФФффсрзчцнрлмз У =-М г'! и- А'В'!'-, (В'Р!. ((ми ! ! в О (). Об н чнм ж (ВГ! (ВК!, О(, Е ЬМГ /. ВВМ Тогда !ВВ'! (МВ'! ж/б(йо(; (А'В'(м!АВ! д-Па; !В'О'! -а- —; МУ/Р! (ВС'(+2 (Пбг(-2-— б(тсс( $1««сь. Лап~(~ос ( Ч--'~д-дж)ж(р — — гж с~а<)- 4 2 61п сб * ~дп-я~")~ск - — ' ж стйаб). 2Ж ббпр пиано, дтс обьа ь' Я~'и' жс1, 1. Я ,В Рис.
9 — «дж -дж )~ — — — ) ед, ди й з Лспбж дФ 61плсК 61Г~ о( Отсела, анен н аиау, что и Ф О и П Ф й, получаем 2 сапа~- л О, бй ° 'а . Далее, 3 д~' 2ж Л д "" '~)~ — — - Ю ж — Х- — "~а=)- Японо $1Уи~ Нрн К 7 инс д 5 2а ~~~а-ьб'>~ ,ф 1 дЮ Ж с 6Ф,то понконнт толью корень и, Атак, стацмонариан точка нейлона Кв фнзмческик сообраненнй мса но скакать амачи, что зта точка - точка максимума. Чтобы а атом убакнтьсл„ приманим лостаточный признак.
Алн упрочении лааьней- ник нычнслаинй бунам рейать Закачу а прааполонаинн„ что й - д~7: д~У ~дп~-да~) даР апаса — ~-Ябпь сК и дсбвсб -4соб об), Нсслакуам Функцкн у~а, ск) иа зкстрсмум, учктыаал Дк,илу,~о Дс п.н дЯ; Дн~/с1п сб < ск/2. Найаам, стацнонарйма точки иа системы уравнений Я~ жД" дп ду чс Д доь сС произ- мат- Но так как стацнонарннл точка Я опрекелнетсл рааенстааин тай б й й Я'Уд, М -„-иот-~~) „то в етой точке етопне частные внанмв примут энеченнй д~~1 длУ 1 — ~ ~ --дд -Л; — 1 - а-В; д |м до~у д "1 - ~д ~~ ') - с %у~м 9 блепоантеаью,.
ееотнетстеупйел кнанратнчнак 4орю еаннетсл рнцей, опренелнтель которой О тэк кзк А м -68 с О, то )Э. за О >О. р Оь~~б 1 з точке лч достигается макощум. ее знзчен ой области Ограничимся рассмотрением бпнкции двух переменных 2 е = У(х. В) . Фующв~„непрерывная на замкнутом з огрзнвюннсм мноаестэе, достигает на ыем наибскьиего а наююньаего значений. Наибольшее н нзименьвее значении могут достигаться либо эо внутренней точке области Я , либо нэ ее ррзнпце. М будам рзсоиэтризэть случай, когда граница Г области 2) состоит мз конечного числа участков кривых Г, , " ° , 1," , кзаамй иэ которых асано задеть одним урээнениш (э гю у) О У сээ(ж,у) ° О, к учэстки Г, ° ° °; Г~ соаэиняатся друг с дру гоы е тэк называемых уэлпэых точках Р,..., Р . Тоща максимум (минимум) мокет достигеться либо зо внутренней точке облэсти Я (точкэ экстремума), либо мз однон нз участков Г $ )ь (условный экстреьг(м), либо е узловой точке.
Ьэз~яэзи: 1. Опрчхелить зсе стационарные точки б(ункцип ~., яэляичиеся внутренними точками области йВ (проверять выполнение достаточного условия экстремума не нупно(). Вычислить значения функция у в найэенных точках. 2. Рмиить для кевдого участка границы 1" закачу нэ уе- в возный экстремум. Вто моано одичать двумя споообзни: а) найти стационарные точки бунхцни Лагренаа Х.:.
3'(ж, У)+4АУа12,П), пРанаэлеамлае )я б) енразмгь окну иэ переменных через другув я ранить Вавачу нахоадениа стационарных точек бункции цкнав переменной (этот способ особенно удобен, вели Г - отрезок праной, параллельной и оси кооркэнат). 3. Вычислить значения бункции е узловых точках (если она имеются) . 4, Выбрать.
среди всех полученных значений дикции сэмов. болыпое 2 и самое менгдее 2. ВВ ПППйер 21. Найти иеибольвее и наиивэьаее энэчэнил функции 2„ха(4-и-у') в треу1ольниэз, ограниченном прмеюи Ф О „ р П,я~у 6. Равенне. В данной седею область Я ямээт грэмщу ссатоэвув из трех частей Г, Г', )" (рис. 1В). Вудэм ре- 1 э э вать согласно описанному элгоримчу. Рис. 10 1, Яэвдэм стзцнонз(мые точки, попзвааэ э область Я вЂ” ~ мр('П -Ъю-2у)) — жп.' ~4-ж-Пр'), Зх дл с'д Ревел систему Фу(б Ъп: -2 у~'" О; м (ч-ю-йр)мо, получаем точку Я12,4) внутри области Ф . При етом ° 4, Точка Мй ( О, О) ивляетси узловой,' т,е. тепаи првнедлеаит замкнутой' области ' Э ° При втоц 2,~„~,жо, 2; Опроюййцмм грэма(уэ иа пам вмв)ипаютт Йп грмюпя Г ' вс ы О, пззэчму ив Всей границе эь Щю,',у)юО.«Нз гркэпарь, 2"' ' ф ч О, Веэтсму иа зввй греюп(в 3 я~(й т(В ~э о'.
Пв'границв' )" 'ут и' 'ж, ъ42,рр мФюэ М(в , пейдем стййиздв(рюе,тачки пзиучаамвй 4уидцкп йпнсй Верамюь фэ'~ПЖэ'244$", Фц(( Фйюмо, Ф»эьб '. П::",~',М::; зу ыбв точки М С'4,2) л Вб»„«0,0) приналлекат границе облаоти, ъ ' 4 ~»сотому опракнлнм значения фу»»яцик в нРх. при атом е~ м -ьй 0 ' !й«ь В. В»г»иелгл» ьна»»внял функ»»ии в узловых точках. Точки .~«С'0,0) к гу«С'0,6) уяе рассмотрены. Определяя значении «ункпвв в точка Я„«0 0), получаем 1 =0 4.
Выберем сре»»»» всех напоены»ы» зыачейий банны»»н самое б» ~ ьььое. Зтс у ! = и 4 , а самое моленья»е ,л»» нз Мь » щмеп 22. Взяти нанмвиьиее и пвибольвее значения дикции тр в хрупе г г 1 веонно 1. Льйлоы отацкоиарйыа точки т — . р -у=':- »вы юВ »Вх Вт ж у 0 . Ослу»»винья точка В«, «0, О) йринаолевйт области, пг *'»Ому вычислим у ~ 0. 2, Используьы в ранкой запаче пла исслепования граньпьы «унл»»кг лотра»»яа, так кек вся область ограничена сякой кривой: '»В«, д«, ~,', =,"гр -ь р.
'х ы ч — 4) — у ~ 27»х, —. Ж + 2ЪВ; а. - ' Уы львему значении хонстаг»т»» соответствует Парве "ВысоКал" Парабола. Возтому максимум росткгаетсв в точке »«б «2 Ъ) , гае соответствуапал парабола Касается стороны кваррета, а минимума неровне Вс « б „ 1 ) . Зло»реналь»»ые значения рваны ъ . -1 В~»Д ~г.ы' =Ь г »ые и систему на»Фея то1»ки В««2 2В»бб «2 2)~ рт «2 2) В««-2,-2). Вычислим оначення фу»»к»»ии во всех указа»а»мх точках: 31 * е« -4, ЖС -ж! =-4, С'»1а 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
