Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Прикладные задачи дифференциального исчисления функций нескольких переменных (1993), страница 3

4йф ' 4УУ447 44Я Поетроям матрацу квеяратыаной щоува4 а вычяолмя 4ч4авыые мяяоры4 ЗФ 44 (2~4»у .2 -й О ; йьО, 64ь сИЫ=Ь>0. О: О 2: "' 1'й 24 Я ю л444$ йй ыт4Ь46а,олаяует что матрица уу яер4аяы46Ф яал64о4тальяо-олр4мелея- 4 4йоу44й Я ч444'Яа Р» ' л у точка'мяли й Ь4 Ъл . Муне» Дййййй ья Ояйааааять ооотйоаеылы отойоы отауытой НР4л4 '" ФОЛЬЙОй..ааыям О Вайайя464 Ойа6$4ОМ У ~ 6Р4 ЯлтОРЫЯ Раакцй 4ы вйв за ее яв4ч4тоалвяяе .йуйьт м46яаяьаьлаа4», .

~~йййяяй. Преть Ф - у'„2 ' рейра яараллелелялеяе, оо4: ' Зувмело ъвнну. Раок4ял, метаряаяв олфмияывте» еу4646риой оломаяьа ыоверкяоотей транай яаянм $44 Фу '4 Зла 4' й ук ОльФм ЯЛЕ4Ы Раааа»4 жу'й, . Отамав. рейра ж Х . тотда ллойеяь 3 ' раяяе„- йй . Будем рзсснатривать ннокеотво 6 точек Р ' из области определения функцик я),, истерие удовлетзоряпт урззнвнкин связи, т.з. 2 ч" ж (1 ь — ь— опрслсльн стецзонаднуз точку уз (,у2)г,/2 у ) В рзе чзстнне проззводнне функции Рб 4У Тп,в ял — Л 2 Ъ Тогда П мвлС Д дг б 1 вБ 'р () 2 кстреиун есть* По и,лаку А а, Р, есть точке иннвнуиа Таким образок.,занйв с зайаиваи обвенои и имеет иинииальнуп плспвдь позе(иностн, есди в, ев основвупп ивппййу.со стороной ц =у* ДУ, а внеота пеним Х вЂ” 4 з, .+,.

ф 2. условя)(й зщфен2П Пу~ть заявив функция ~~ ж -,'„... Ф„~, еще славная ннокества <9 ° при упвовииь что аргунвнтн свпзвин ссстисиениянн, 22 . б~ ~як,...,2 ), наяиваанник урввненияни связи, где Ф,: „,1;. э з Оп2йпелфнкй, Точка .Р Я б~ нвзнзвеьсл то~кой локзльнсгс условного ивкокиунз (минииуив) фрикции Л'пь, ...,ж ) прн уо" ловки, что зргунаиты свлзанн ссотнсиенилнн у„ (Р') О, 1,. „ б , если найпзтсл такал окрестность точки Р , что для либой точка Р из этой окрестности, коорсинаты которой удовлзтзорянт уравнениям связи. внполнкетси ~~~)-1~~) О Л~1 ) -~(.РО-О~. Если неравзнотзз нестрогие, то данная точка назнваэтся точкой нестрогого локального зкотрзнумз.

Оснознрз зздз П ннхозденкя условного зкстренунз изино сфсриулнрозать тзк. Пусть эзданн функции ~ (' и; и» ) и фьв ~яз ,, я ~. Трзбустсл найти инокзстзо точек Фи Я /где 6 задается фсрнулой (21)4.' в ко рнх у достигает условногс экстрзнуиз, в определить карвктер этик зкстремзльннх точек, В случзе фннкчпи'лзук пзрзизнннк 2 у ~п., уу задаче нв услозннй зкстрзнуи сспсркит одно.уравнение связи (д(Ф,у ) ~ О Функции Е К(я., у) соответствует некоторая поверкность, а условие фт('щу) -О определяет лкнив нв плоскости и 0р, В точке Г~(О.', у,) (ункцнк виват усло~игй экотрзиун, з соотвзтствупкзк точке графика функции Ж ° 2()т и ) накопится нз кривой, эедзнной пзрзоаченпзи поверкнсстн е у(я,у) и цильндричвской поверкности у(ж,р).

0 (рис. 4). Коли фуннчип т. и~~я,„ру заквне сводни'линиянн.уровпк и уравнение связи б'~я,рО ° 0 аппает кривун.нв плоскости п.др, то, двигзлсЬ по'зтсй Крнноп, нскнс, вРввнив значении функции в точкам пэрзсечзйнп влн несении линий уровня и крявсй й, агре" делить точки зкстрвнуне функции. Так,' для функции, изобрзкеннсй нв рис. В, точки Я .и 2~ пвиивтси'точкзнк мининуфа, а точки С, 'Ю,;Г' - точкзни изкскщз(а. В топкая ловильного условного зкстрвнунз кривая,' 'вапвнная уравненкфи связи, касается линий уровни (прн усксзки, что эта кривая и 'линии уровня явлнптся Глвдкиии вривннн) .

око а Пусть и) му( роотяоаатуолааюинч» аиотрамума и точка Тощ 0сй, Ф яоямяоиастио, ан а Ю)' У я рю ииффараяюрю(рюамм' а Я, то сую(аатаувт такие числа '($.,' кото(июа, каи н иоорккявтн точки Р, июхюаятсл йо соотнсааи$$1 ' — СРЪ'+%" 7$ — ф (РЬ О, $ (,у,„„юю( " 8~ ...Ф .. Эу$ дюсю., ' (юг юуоюю $$$~(Ро» ''() „ф (,.„,я $(ясла )(а ('Ф ю„а) наанааатся наояракелеияимя мноиятелями Лаграи- Это июююаолаат раараротать слмюуюмрюя алгоритм нахокдоиия услоано сюмииоиармяк точки~ $' а. томик токаи, иля которнх Выпол кается нао$$$мюимяое, уолоияа услоияого.

акаюрафюмюю ,, в) строится аоаомоючюталаиаи функций )(ат рвийи Е ~Р;. Хюю„„)$я) -~(Р)+ 35 'каюра. (Р)$ ,' о) нехакятся реюаиия систоюаю щ + а. ууеиаииа 8Š— $ ( „.'гю. 3 ° * Фю (22) "~,(Р) 0 $ (ю' ('...;,ф„ «К Ф"Ф 'которма яялямю()я иоо(июяматами $$$ отмюионарннх точек Р () („„,еОя союююааюотяуямм$аю:яоиомогатальвыми кояота)ютани у($, т.а * 0уоуюулируам '. $ " лоя в юного окщщ((фв'. Йуеюа фюйюй(як у.;,-. )(( ' я у„!,ф.ю ((( ( юю' 1„', Ф ') яаляатаа ииаюмм яа44ерающируамнма я ооаасти юя) '$ а точка' ф и:чмюяе--ую, .„Х уяоялатао(ммт систо- не.(М( ( Р' ' условия-отммяояириэя).

Тягла если матрму$ ,~3'~ . а~~. ' Ель Е'Л у 7 аалаанталька аареаалеиа длл пераааккых, удоалатааранщкх уравкензлм азлзн„ то дс - тачка уалавкага ыккнкуна. Еалн матраца Я атрнцатальна определена, та Р - тачка уалаакага нанаиъума. В качества даатзточкага уолавкл налет быть капальааван днфрареьп~вал второго порядка фукэцнн Лагракча. Еслн ллл любага вектора аьа; Ьп'х ,..., аЬп ) ненулевого раааккл адкарадкай скатаны лккайкыас уралкаянй Фа — ~ж О, Ф -),...,и, суФ.

кмеат места салаэна длл дв)фэренрьала второго карнака фунлцни Лзгрзнкэ с ец, х,,...,~~ Е)") 3ж) дх) то Р - тачка услоакаго ыннкмума) еслн хе ц ~ ~Р) л О, с то Ф - точка условного ыалсныуна. Лругнмк алозэмв, зала Р является точкой бззуалоакаго максимума (мккммума) фуккцяк Лагракка Л~')а)л„,, .А ) прн найханкых экаченнях мнонвтелей Лагрекнв Хь, . „Ъ „то Р аэлается точкой условного локального максмсумз 1мннкыуыа) функпдн у' прн,условна аь ~,'Р) )), й 1,..., б . Каа нэвеатно, наалапозаннс на безусловный экстренум вино проачанть о помощью пркнекаккн крнтернн Снльвеатра к матраце кввдрэткчной формы дмИеранцкала второго порлдка. Если квадратнчнаа форма второго дкЦеракцнэла в точкнх, удавлетаорякадх уравненяям связы, тнквественно равна нулю, то в этом случае 'требуется,аополннтельное нсслсковэмке.

Н частности, если нз основания уразненнй связи ксана явным образам выразить сану нз переменных через остальные, например Е хаю,у), то 26 'спала замены Х на Хьса,р) в фуккпдн н зо всех уравнениях салан чнало переменных к уравнекнй аллан уненькктал ка Если ае было всего анно уравнение оэлэк, то нохадкал запаса такнм путем авадвтсн к запасе ка безусловный экстремум. Напркмер. ~Ь'~ ю Х) цт+МЛ Хй-р„аь~ж,у,Х) Еж+у -ЛХ О. в р *эя х через Ф н у , т.е.

х, ~у у , н адотав- 2 лкл ега в выракенне для )Г, получаем функцаю двух переменных й й ьйп:. «д) )г«аа «у 1 которую уяе необходимо ваоледоветь не бевуславнмй экстремум. Рэосматрнн олучай, когда функьдк зазнсмт от двух переменных Х ус~ж,с))в зааано уравнанне свяэк фу~а,р) ° О . урэзкэкне сакэя с)ьь~д у)«О определяет ка плсснастн й'Оу крнэую.

Еолн уравненна сакэя рззреаано отмаактелька какай-лабо переменкой, то целеаообравно, вмрвзнв цпну переменкун через другую н надставка з нсходнуа функцкю у ~ж,у), свеста данцум эзхачу ка безусловный экстремум. йункцкн Лагранке нменг зкп '~ж,у,Ъ) Йж,у)ч ~9'(х,у). Стационарные тачка фсу Ф, у) функцнв Лагранаа н соответствующие иноантелн Легранаа нахсаятся нз скатаны уравнений Ж вЂ” о. Уц УЬ вЂ” -о.. Юу ЧС~,у>«О или, чта то не самое, '+Х «О ау . ю~ ЗЕа ьссс Ф 'Л.

«О ° Уу' дср Д~ ' Зр, )усть )а ь ~о, 9 ); "' стнцкпнарная тачка, которой соотзетству- ет мнокнтэль Лагрзнка 'Х . Тоглэ необкоамно нсславозать на о безусловный экстремум фунациа Лагранка прн найвенном Х, т. е Ь(о",у„Ъ. ) . Поскольку эта функция ивляетоя функцией пзух переменных, то обозна~ам А АС-Ь, симума.

2.()б н ~1 -о( 1 -р да(р * ду,(р о о опревелктэль: О ~:~ я — ~ш А а Ф Ум 0>.ъ,~ Чт Ь„(Р„Ъо) ~ту ьРо ~о) О А)йл - ЛаЦЬФ еСс( ° если д < О ., то функция е угп;р')ммэет в точке Р условный максимум, если д э О - условный минимум. Пруер 17. Исслаковать на экотрэцум функциа л = - рт -Ьу 5 прм условии и'~ь ул 4 (рис, 6,' 7), ревенко. Составим функции Лагренка 'Е) ~-.рп-Еу+$ + л ~цлеу' — ) ) Если Ь э О - зкотрмсум есть, А 4 О - неопрэлоленл т ность, требуется лополиктельноа исслекование. Если,6 э О н А > О(А чО), то Р валяется точкой безусловного минимума (максимума) функции Лагрвнка Х('м, у„Х ), слелозательно, услов- ного минимума (мзксмхума) функции т )с(а у), ополнмтельное носл ованне: 1.

Лифференцнруя уравнение сВязи и выражал, сслн Всеночно, с(у через с(ж нли наоборот, полставки с(у (нлн Йж ) з с(ЛЛ, , чтобы опревелить знак с(Л~, ; Если с(т). ч О., то Р - точка минимуме, а если с( С л О. , то Р - точка мак- у 2~-у Т ~ О д7. — -2т2Хм; а -2 ч2'Ьж 0; .Ъ кущу =О; т Ту 2 -Ъ вЂ” будут з!В н ХЛ ч-~/БФ и исслеиуем точку Р 2, онп2 --2, у--" л - =.

х (- —,, — — ) = — -- Ь Ъ 3 еыз 2' 2 4 Нейдем ствиионврные точки и мнотителн йзгрзнкз, релиз систему урзвйвнкй: Точки Р (, — „-„) и Р (— 2 Ъ -2 з/ТЪ ' АЪ ' ь'ТЪ * пионерчик соответственно при Х = У~Ъ,|2 Оодотзвим в функцию Йегрвнвв Х . тБ/2 нв вкстрснум: ъ~Б у 'л) 2з: Ър ь5 * ' 1 2 Нескольку еве и А ч О , то Р - точка минимуме. Иооледун 1 енвло ичко точку Р, опреаелим, что Р - точке мвксимуно. 2 Прв етом ~7 (Р1 = 5-ызъ . ~ . и (Р) =5~тьь. оно з озал Заметим, что если не учитывать уровнония свези прк исскь доввнии йтнкцкн нв вкстрвмун, то веники бвпмцкк в етом случае экстремуме мнить не будет. ПТйййщ Тф.

Найти тсчкм вкстреиумв фикции х щ" - у~-жу+з'.~ +у-4 при условии,' что щ+р+Ъ* О. ~~де. Состевкм Функции Ветренке Х(оо,у,М ж~ -р~ осу',ж .р 4 .'Х(ж у- Ъ~ условно ствциоиврные точки н соответствующие им знвченнн пера- метре нвхчккм ив системы' . Лоннзз окстоно нневт юннствеппов ревенко ~ м у — — „ % 5 2" 2' т.е. «очко .Р (- —,- -'„- ) условно отепвонзьчав. Ток кзк д~' „- даду,, ' дрв АС-Я ° 2 2 — А ЪьС; Соовольку к 2Т > Д, то, слеаоВзтельно иксом 3 точке Р (Т вЂ” > — — ) условный мьнкмум.