Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Прикладные задачи дифференциального исчисления функций нескольких переменных (1993), страница 2

3, в то обк имо ЛС ( д,, д" ) ззааиз , л „ ) нззмвзется точ функции ~ ( д и )'Л что или Осел точек , отличник о1 тсчкм Р о иций ж(о, . ВЦУИВ) уь точк стиости Внй фУНКЦНИ ИВУК ПЕРВМЕНИМХ (ВЛИ трек церииенник), то не инм мскнь Лей а ИЛИ фРНКЦННЛ ИЗОНРЛВ6ННСИ мнивнун, а в точке А - максимум ст В.

()усть ф)нцсцна у емв в некоторон окрестности точки имавтсй томной вкстрецумв, то все чяфуинцнк рзйим нулв В втой тсчй6. фз есть ЗОЯВСВЙЯВ, Р т.о. ВСВ чйстй()9 ф-);~-Е-В; Ояйя(мам ТОЯМВЙ ЙсйгрЕВ)) ЙО ЙВ рйлй ма ОстаточуВуе ~ (Ж„...,й„ уу, ссставлемяай м ~(йУ Ж УУ для ~д" яаетсл рмаоястао ()Ф), В ЯУЛЬ, ЯВЗЯЛВОТСЛ СТЛ Вмстрсмума ЛВЛЛстсй Ста чйй йаулстсл тсчлой Влст усть йууялймл д ВМВ В ОВРВОУЯОСТЯ ТОЧЯЯ - ВУУСЙОЯСРЙВЯ ЯВУ)ЙЦВ ОЙОВОЛЯЯМ фйммйЯЯ д Уу дл) р дес дй" )з У'У ! трясей рассс й йалйотсй яатрячой Йсмоторой лаалрасть рамг атой Йаалратммаой форсу раайуа чйслу ЙВВййьж ут усгаа Воля ВВЯЯ)етячмай форма ЙОЛОЙЙ Йа, то Р - тсчяй лолольяого мяяамума, Вслй руа отруй(ател)йо опрслелема, то Р— точйа ло- С йяфмйу есла ЙВ яаалратйчяал йс)лул яс ОорслалВЙВ, Ййй йолоамтельуауо, тал я Отрмуьтсльяуус зйачамйй, ежа тооасй локального змстреялмь.

оаоемтельмой Йля отряцатальяьа' ьляосалоьясстм м я~ Р ммаьь МУ~от .9 рати%Ней фс)алй' й',„.ж ) л. ул х х ( )б) Ьй ( й. О-О6РФВВЛЛВУЙой, Йаоблааммо й аостаточмс, жаба рм 66 Йатрацм ТОЧЯВ Р (~. Обсзяачям У( - — „ дй" длу ,длуду Р $1, Ф а бялй йслсаятельяямя~ .т;й с ) „, ул „Длй отрй" Йлтойьйой 91сутУЬВЛВЯЯСОФЯ Ввайфйтй~лой'((ЙСЯЙ (16) ЙФЗФ 'тб) Йеобмблййо В с аайе У" () л чтобм орй У ~ ( д ййасайллось йол лу.тб. йсля соайл глаамяй маяорсв у) ь ',, уй .р Йм мвт ЙЯУУ ()Р) йсадратйчмой форма (1(9), а такае среля Масел ~"Х)у)у,(-)~4 (") у ~), Йвйалтсй струй)атсльйма„то В Вт(ЛВ Й тольао В етом СЛРЛВВ Яааййатяьаай фу~а ()б) булат ЯЕОЙРййеаеммой. йслм раяг,яааара'уячйсй йс)ллм ЙВЙьЙФ ут ~ то трВбретсй Йо Ооляауальяоа ЙООСЙВОЙВЙЯВ, йслм РЙВВЙЙТ19~ ФУО В сйрасуяос'ВЙ 'усч- МЯ )Т ЗЯВЧВЙЯВ фтЯВЙМЙ ООЛЬЙВ, ЧСМ У-(')~)» то„ ООГУВСЯО осрс аелеяйй, В тсчло Р фйяяййя ЙОстйгаст Йййййуйа, ясла м Ойраст яоотй тсуФЙ' 'Р сяичеяма фуйятьля мойьаа~ чйй' у.

(Р ) ° ), то а том ° МВ УУ фуйсцяя СОстагмет майслауаа. йСЛВ ЙЕ Й Лйбой оараотНоота точйя Р есть таам Р а уз тамма, что ~ Я) - ЯР)>(), а у (Р1 -)(Р„)ЙО, то тсчйа" Р Йе лалйетсй тойлсй ейстре)яуЙа йря 9'уся момст бьн.'ь учтВЙВ фмзйческал Йрйроай зйд'.Вчя, В О'у ЛВЛЬЯЬВ СЛСТЯЯЛ Слйсайл Трабуетсй йрйВЛФВФФЙФ ЙВСТЙЯЛ Яромавсйяям т)уатьогс.й бслаа амооаогс сорллжа. '(аотВЛВ сл ЙВЙ: ьй мя 9 п6, Плоть Р - рта цяомарЙВЙ т "умл фмяцай рл у ("Г„д) ° Т.Ф Я а ~й~ а, ()6) д.х ~)з, ' др (Р о 9 Й У .

а суустяаям матрацу Втсрйк частяял Йрсйваойймй фрййййй у.(Ф)д) б),- Уфс- Ь'. "'.:.ф:, Д зтзтсчйсз своей и з йщйй $з ж зезрзмзййзм зусзз Фйзззйй т 2 (ж, р ) жйавам вВКВрзмчйрузйз 3 свфостзостй тсчйй Й~ ( з. у ) . уесть )з отзсйсййфФйз точзз, Гзсйз йрй - зз ~=- ййзватой точкой зкстремумв, 'т,е. точйов йзвсйму- Ъ з з мз, сслй Л--0(0 ай)", точкой мйчзмумз, зсзй Д>й~ С ч О)„ 2 » Ь а 6 )з йй йаааетса тсчйов зйстрзйумз; срй д = О ззойразззеййоотз„ требузтсй Коооймйтзззмое йоойч~оззййз Дзййсз уззсзмз моййс зависать В зйкз тззв.

д'У -''р-бю:. 2т - И; С -Л) С -е 2 -в, ер ' ' в ~ е ) а 'розка~ (~в) ' А С - Ь ИЭ ч 0 - евотрзмум' еотз; вз (кзв) ~А'Ф - Ь м~ОЭ; 9 - зкотрмзум встаю вр" в (Ьв) д С ззз 208 < О евотрамзме йет; 'Ь ъ р ь-- (зз ч~ зч С 2зз ° д)8 с О евотррмуме йет. вч 4 а Пеекавзму А м О, то точке Р (2 () точка. мицимума. тйа вав Аз а.О', те Р(-2,- Х) точке мааезвззза 2,($5 26~ ж - Х(Р)з йВ. Щфя: ДЯ. нзвта точки емстремуме 1вййвврзи з 2(, ° ~у(зз(~ =р'), 2))ащме.

Оюцечйернме течем макакммм~ ма сиотевз урвававк Эзмзчзййз, Мочйс йй сработать и Фервузе зсстоййср$6"Йййретмчйоа форма йзчосрзйотйзййс ййайо йз зз засчсй йрймзр,д Нарта точки зкстрзмума ~рмйчйй ю,у(а,у) ~ ж~,)жу~- ~5ж-зру. Резеййз, й4вем чвстйме аройзйчаййе: ~Ъм - 52- зз, зз в дв бжр Й' р Резва систему уравйанвв Ъзз'+ ~д"- ) р *. ~; 6жу -)2 О, йзчазй стасйойарйма точки: Р(2„1)„зв (-2 з), РД,2) „Р(-~,-2)- завоем зтсрзе чаотйме ароазйоййме и йк чйсзойыз зийчейиз Я., Я., ('. з аваков точка )з, 2 ю 1„...,4; Ф $ — евам; А .22; Ав -12; Л 6; А, =-6, У'~ Я з ° ф ' ~ 2 Омзрймйзрмзмм твчйймв брвут ф4„О) $(-(„02, Я((),$). $2а(О„з), Я (уч', дай)„ 'к~а" -т~ )т ~-ЛОУВ~» Т~-В -Л;') з 4 ' ., 4 мабйойьйу ' '.

ау~ ахи 4жвм .. Ф в 4зрвмв:, '" . мМ(Фарр)*2 . з а е р Асз, Йз» рз (~~вор двз~$$, (вв ер"2 д'У, е З„, - ~е2 Л»»Р)ЬО„й»Р)>0, ь»Р)ЬО, ь»Р)ЬО. Отопаз сйеаузт, что В ТОВЖВХ Р»1,0), Р»-4,0) Р»0,)) Р»О-)) зкстрзмуыз нзт. и точа6х ве Р,РЖ, Рт, зкстреяум есть. Тзз жвк Я ь О, Я з О , ТО з точкзх Рз я Р есть инкиЯум, Тзк кек А е 3 Л й О, то з точках Р я Р - мвксн- ",;'Т т в т нун. )йючяслян знечвнйк ж з застремельных тачках: ц -х»Р)-- — х -цЯ): -ч-. ж1П 6 рв ' зт16 6 й =х»Р)- —; й =х»Р ~= — . шах 6 уе ' Вньз 7 щз ))рйзмер 11.

ней»к точке зкстреиуме фикция й, у»л у)„ ы." 066знннз. Рейке окотену урззненйй "" 4 жь 0 . Зм — -- у'-О, Зу опреаехмв ствцнонернув точку,Р» О, О') . Нзйаен вторые честны6 прОЖВВопныэ; — Иж»ь А О; 3/ дж» "0; З-О; у» э9' уу О - неопределенность! требуетсй,аополнмтельное мсслеаовв» нке. Рзсомотрнм поввйенке 4мнжцнв ц в окрестности точкй Р првастввкм е ц -у в вмйе м»ж «.у )»ц -у)»ц«у) 4 4 »» В Очевмано, что ~ ~' * О. Рвсомотрнм лмбув,окрестность точка РО»0, О) . Орели Вточек, рвсполокенннх в первом квйврвнте сколь угсано близко к нуле, рвсполвгевтск тсчкм, у которых М . у ВО и точки, у которсс уь ц м О .

Отсцае слевует. Мто Сколь утпано блнзко к точке Р(О«О) нвйаетек точкй Р»х у) »ц О, у'О, л у),. *Вй, ч ц~„О 1м .у»Р) — у»Р) ь О, 6 тзйке 'точйз Р»й,у)» ФЬЮ, у ТО .'с е у) твйзй, что ж ~ с О, т.в. „К»Р)— - у»РВ ) й О . Бозтому Фтнкцяй неь няеет зкотремунз,. 0рве)й )й, Йрозеркть, взляетсн лн точке Р»0,0") зойкой зкстр6мумз фтмз»яв ~»ц" у) Р - у - у Жьц Рзюенйе, Орозерьм, Взьяетсл ля точке Р Отвцяонзрной: Оу~ . ~ МО4~ й В" Руя)пп.совм ~, — ! ~" йу Руййп и."~ О д;т~;е 0 ' ~ц О'ду~ О , ч О 1у«0 р.. )у й Отса~В олеаувт„что точке Р»0,0) квлкетсл ствцвонз»В|ой. 'Оеолюено убедктьсл, что Вторые прояззоаные в Втой точке обрежзютсл В нуль.

Оозто~ц „О « О, Требуотоз Вополнйтзльное Ясолзаоззнйе. » йнчясляз знзчзняе фйяьфя з точзз Р» 0 О) сохучья ц) й, В Очззйано, что з любой прутов тОЧЖВ внззенйв В)увйцяя ж~ж,Ч) ТЕ». 0»заоветсльчо„топко Р»0, 0) есть точке нвстротсто мзкбямувз, О "2 ь Прмйер )Э, Нейтя тсчкя зкстрзмуме фунжцйй й. у»х,у) х я у Ревенко, 0 Втсп зедече точке Р»0,0) -,еаянствеянвз отзцяОнзрней точке.

метра»6 Вторяк нпоязвоаньй В втой точке б)нет Вмзть Вна Осознано что В» Р) О, 0»евоввтольно вопрос о нелкчяя Вля о*сутстзвй зкотф~~фй~з в Втой точке оотзэтсй отйтмтым. Рвсомотрнн ж у»ц,: у) — у»0 О) ж ж~ «у и прзцтв звазнную трзвненкзм,в О, Оне прсхойкт через ствпкснеряуп ТОЧВУ, к в любой окрестноотн точкв Р»О,О) пркременве,й» у Ь случзе ж ь О) Янезе Внзчбннл квк полойнтельното~ твк м отркцательното зне хв,, что соответствует отсутствию вкстрвяумв в точке Р» О,О), паЫ44 нзйтн точкк зкстремумв Функцнй х У »ц; у), зеазнной я" "~ урзензнвев Р»ц, у, У.,) » О , цае Р»а у,х) ~ ц «жуй «ж + бу «И. в й» Реиенке, Йхоаай стецнонернне токай кз снсммы урзвненхй Р" -жя йу-О; ы У =МЬ4 Ду ЬЯ46-аул4-46 О, .л *4ь оку ° 64р ФО.

йолучеиыая ояотмла яодуоаает аа3%ю,ям4ноа рещение ж О, у ~О, яч-ЪЯ,поетыяу точке Р~О,О» - алянотвенлаа стационар ыаа точка 4464ыкала Х «~ж,у». Б отацноыаряоа точае Р~О,О» ятор46 ярояааоя4М4е атой 4йуыяцяя олреяалкотол яв ооотяоаанля4 Олам46 44я~ф~) авл~с ф ь а (А мМ" Олеяовыуельма, У~о 444» течяа маяеамума, зьа аиье фикция х «~Ф;у» а атой тачка яякяаям аа уравяаййяР7О,О,М1 О„т.е.

я,а 1ф Ц, откуда ~. 2р4«й „' пффф 4М, лайем точка вяотр446и46 4~44клу4м трам лерама46аи «~а,*у м» фй +уу ч.Х жу л Ф 2х, Рмщ4йа, Применяя необкояяыое уоловяе, яолучаем ояотеыу 26;-у -1 О„ 2й ФЬО, Ояреяаляам отщя4оявряум точку Р(-~-4- ~ „й». Ота точка явллылеа еяяяетвааяой, Нккояяы аторыа чаотяые прояввояныа4 ~й, зв ~ чО . Ье мй зкΠ— ~.~2 Ф~': 3/ ФК д'Х Э'У ' 85 4Уфф . 4Рждм .