Теормин (extended) (2003)

1Теоремы существованияОпределение. Множество M называется метрическим, если на нём задано отображение ρ : M × M → R1+ , называемое метрикой и удовлетворяющее трём аксиомам:1) ρ(u, v) = ρ(v, u) ∀u, v ∈ M (симметричность);2) ρ(u + v, w) 6 ρ(u, w) + ρ(v, w) ∀u, v, w ∈ M (неравенство треугольника);3) ρ(u, v) > 0 ∀u, v ∈ M, ρ(u, v) = 0 ⇔ u = v (неотрицательность).ρОпределение. Последовательность {uk } сходится по метрике ρ (uk → u) в метрическом пространстве M, если ρ(uk , u) → 0 при k → ∞.Определение. Последовательность {uk } называется фундаментальной, еслиρ(ui , uj ) → 0 при i, j → ∞.Определение.

Метрическое пространство M называется полным, если любая фундаментальная последовательность в этом пространстве сходится к элементу из M.Определение. Функция J(u) называется непрерывной [полунепрерывной снизу] (полунепрерывной сверху) в точке u0 , если для любой сходящейся к u0 последовательности элементов {uk } из U существует предел lim J(uk ) = J(u0 )k→∞lim J(uk ) 6 J(u0 ) (см.

рис. 1.)lim J(uk ) > J(u0 )k→∞k→∞Определение. Множество U называется компактным (ρ-компактом) в M, если улюбой последовательности {uk } из U существует сходящаяся к элементу из U подпоследовательность {ukm }.Введём ряд обозначений:inf J(u) = J∗ ,u∈Usup J(u) = J ∗ ;u∈UU∗ = {v ∈ U|J(v) = J∗ };u∗ = argmin J(u) ∈ U∗ .u∈UТеорема 1 (метрический вариант теоремы Вейерштрасса).

Пусть M — метрическое пространство, множество U ⊆ M — компакт, функция J(u) полунепрерывнаснизу на U. Тогда:1) J∗ > −∞;2) U∗ 6= ∅;3) из того, чтоJ(uk ) → J∗ при k → ∞,следует, что ρ(uk , U∗ ) → 0.uk ∈ UОпределение. Задачи, удовлетворяющие условиям (выводам) Теоремы 1 называюткорректно поставленными в метрическом пространстве M.1Определение. Линейное пространство L называется нормированным, если существует такая функция kuk : L → R1 , называемая нормой, что:1) kαuk = |α|·kuk ∀u ∈ L, ∀α ∈ R (неотрицательная однородность);2) ku + vk 6 kuk + kvk ∀u, v ∈ L (неравенство треугольника);3) kuk > 0 ∀u ∈ L, kuk = 0 ⇔ u = 0 (неотрицательность).Если в пункте 3) выполнено лишь условие u = 0 ⇒ kuk = 0, то kuk называют полунормой.Определение.

Множество U называется ограниченным в M, если существуетu0 ∈ M и R < 0 такие, что для всех u из U выполняется условие ρ(u, u0 ) 6 R.Определение. Нормированное линейное пространство L, полное относительно метрики ρ(u, v) = ku − vk, называется ба́наховым.Определение.

Линейное пространство L называется евклидовым, если на нём заданоскалярное произведение hu, vi : L × L → R1 :1) hu, vi = hv, ui∀u, v ∈ L (симметричность);2) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi3) hαu, vi = α hu, vi∀u, v, w ∈ L (линейная аддитивность);∀u, v ∈ L, ∀α ∈ R (линейная однородность);4) hu, ui > 0, hu, ui = 0 ⇔ u = 0 (неотрицательность).pВ любом евклидовом пространстве kuk = hu, ui является нормой (евклидовой нормой),а ρ(u, v) = ku − vk — метрикой.Определение.

Евклидово пространство H, полное относительно метрикиpρ(u, v) = hu − v, u − viH ,называется ги́льбертовым. В дальнейшем буквой H будем обозначать гильбертовы пространства.Определение. Последовательность {uk }nk=1 ⊂ H называется слабо сходящейся к элеслабоменту u0 ∈ H(uk → u0 ), если ∀h ∈ H huk , hiH → hu0 , hiH при k → ∞.Замечание. Из сходимости в метрике H следует слабая сходимость, но не наоборот.Определение. Множество U называется слабо компактным (слабым компактом),если у любой последовательности {uk } из U существует подпоследовательность {ukm },слабо сходящаяся к точке u0 ∈ U.Замечание.

Из того, что множество U является компактом, следует, что оно является слабым компактом, но не наоборот. Например единичный шар в H представляетслабый компакт, но компактом не является.2Определение. Функция J(u) называется слабо непрерывной (слабо полунепрерывной снизу) в точке u0 , если для любой слабо сходящейся к u0 последовательности {uk }существует пределlim J(uk ) = J(u0 )k→∞( lim J(uk ) > J(u0 ))k→∞Замечание. Из слабой непрерывности функции J(u) следует её “обычная” непрерывность, но не наоборот.Теорема 2 (слабый вариант теоремы Вейерштрасса).

Пусть H — гильбертовопространство, U — слабый компакт в H, функция J(u) слабо полунепрерывна снизу наU. Тогда:1) J∗ > −∞;2) U∗ 6= ∅;3) любая слабая предельная точка любой минимальной последовательности принадлежит множеству U∗ (минимальная последовательность есть такая последоk→∞вательность {uk }, что J(uk ) → J∗ ).Определение. Задачи, удовлетворяющие условиям Теоремы 2 называют слабо корректно поставленными в M.Определение. Множество U называется выпуклым, если точка αu + (1 − α)v принадлежит множеству U для любых u и v из U и любого α из отрезка [0, 1].Определение. Функция J(u) называется выпуклой на выпуклом множестве U, еслидля любых точек u и v из множества U и для любого α из отрезка [0, 1] выполняетсянеравенство J(αu + (1 − α)v) 6 αJ(u) + (1 − α)J(v).Достаточное условие слабой компактности в HЕсли множество U выпукло, замкнуто и ограничено, то U слабо компактно (без доказательства).Достаточное условие слабой полунепрерывности снизу в HЕсли функция J(u) выпукла и полунепрерывна снизу на множестве U, то J(u) слабополунепрерывна снизу на этом множестве (без доказательства).Определение.

Пусть X, Y — нормированные пространства, F : X → Y. Отображение Fназывается дифференцируемым по Фреше́ [Frechet] в точке x0 , еслиF (x0 + h) = F (x0 ) + F 0 (x0 )h + o(khkX ) ∀h ∈ X,где F 0 (x0 ) ∈ L(X → Y) — линейный оператор (производная Фреше), причёмko(khkX )kY→ 0 при khkX → 0.khkXВ случае, когда X = H — гильбертово, Y = R1 , имеем:J(u0 + h) = J(u0 ) + J 0 (u0 )h + o(khkH ).J 0 (u0 ) ∈ H∗ = L(H → R1 ) — пространство линейных непрерывных функционалов над H,сопряжённое к H.3Теорема (Рисс).

[КФ, гл. IV, §2, п.3]Пространство H изоморфно сопряжённому пространству H∗ : H w H∗ , т.е. для любогоэлемента f из H∗ существует единственный элемент hf из H такой, чтоf (h) = hhf , hiH ∀h ∈ H, причём kf kH∗ = khf kHЗамечание. Если у функции J(u) : H → R1 существует вторая производная J 00 (u),то приращение функции J(u) в точке u0 представимо в виде:1J(u0 + h) = J(u0 ) + hJ 0 (u0 ), hi + hJ 00 (u0 )h, hi + o(khk2 ).2Теорема (о производной сложной функции). [КФ, гл.X]Пусть X, Y, Z — нормированные пространства, F : X → Y, G: Y → Z, существует производная функции F в точке x0 , существует производная функции G в точкеy0 = F (x0 ).

Тогда существует производная сложной функции GF : X → Z в точке x0 ,причём(GF )0 (x0 ) = G0 (y0 )F 0 (x0 )Формулы конечных приращенийВведём ряд обозначений:C(U) — класс непрерывных на U функций;Lip(U) — класс Липшиц-непрерывных на U функций (т.е. функций, для которыхвыполняется условие |f (u) − f (v)| 6 L·ku − vkH , где L — константа Липшица);C1 (U) — класс непрерывно дифференцируемых функций;C2 (U) — класс дважды непрерывно дифференцируемых функций.Утверждение.

Для функции J(u) ∈ C1 (U) и ∀u, v ∈ U выполняется следующееравенство:Z1J(u) − J(v) = hJ 0 (v + t(u − v)), u − viH dt = hJ 0 (v + θ(u − v)), u − viH , где θ ∈ [0, 1].043Задачи управления линейной динамической системойЗдесь мы рассмотрим простейшую задачу оптимального управления при следующихусловиях:x0 (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t),t0 < t < T,x(t0 ) = x0 ,u(t) ∈ U ⊆ L2r (t0 , T ), (1)здесь A(t) = {aij (t)} — матрица (оператор)порядка n×n, B(t) = {bij (t)} — матрица порядка n×r, f (t) = {fi (t)} — матрица порядка n×1, то есть n-мерный вектор столбец;моменты времени t0 , T, а также точка x0 заданы; U — заданное множество из L2r (t0 , T );x(t, u) = x(t) = (x1 (t), . .

. , xn (t)) — решение (траектория), соответствующая управлению u = u(t) = (u1 (t), . . . , ur (t)) ∈ L2r (t0 , T ). Также мы считаем известной траекторию,разницу с которой мы минимизируем — y(t).Критериями качества управления могут выступать различные функционалы, например:J1 (u) = |x(T, u) − y|2Rn → inf — терминальный квадратичный функционал(2)илиZTJ2 (u) =|x(t, u) − y(t)|2Rn dt → inf — интегральный квадратичный функционал(3)t0Минимизация терминального квадратичного функционала позволят добиться точности в достижении конечной точки. Интегрального — близости траектории к заданной.Определение. При u(t) ∈ L2 (t0 , T ) под решением задачи Коши (1) понимается непрерывная на отрезке [t0 , T ] функция x(t), удовлетворяющая интегральному уравнениюZt(A(τ )x(τ ) + B(τ )u(τ ) + f (τ )) dτ,x(t) = x0 +t ∈ [t0 , T ]t0При этом функционалы A(t), B(t), F (t) должны принадлежать классу измеримыхпо Лебегу и ограниченных функций L∞ (t0 , T ).! 1pRTC = limНапомним, что kukL∞ (t0 ,T ) =inf|u(t)|p dtp→∞C>0:|u(t)|6C п.в.t0Редуцируем исходную задачу к линейной, положив x = x1 + x2 , где 0 0x1 = Ax1 + Bux2 = Ax2 + fx1 (t0 ) = 0,x2 (t0 ) = x0 .Заметим, что во второй системе нет неизвестного управления, а значит можно найти x2 .

При такой редукции критериальные функционалы можно представить какJ1 (u) = | x1 (T, u) − (y − x2 (T )) |2 = kA1 u − f k2Rn ,| {z } |{z}=A1 u=f ∈Rn5ZTJ2 (u) =t0| x1 (t, u) − (y − x2 (t)) |2 dt = kA2 u − f kL2 (t0 ,T ) .| {z } | {z }=A2 u=f ∈L2 (t0 ,T )Таким образом, для решения задачи (1), (2) или задачи (1), (3) необходимо минимизировать нормы kA1 u−yk2 и kA2 u−yk2 соответственно, где операторы A1 и A2 задаютсяследующим образомA1 u = x(T, u): L2 (t0 , T ) → Rn ,A2 u = x(t, u): L2 (t0 , T ) → L2 (t0 , T ).Для дальнейших рассуждений докажем, что операторы A1 и A2 ограничены, то естьдля соответствующих норм kAuk 6 c·kuk. Из (1) и определения решения задачи Кошиимеем t ZtZ|x(t)| = (A(τ )x(τ ) + B(τ )u(τ )) dτ 6 (|A(τ )||x(τ )| + |B(τ )||u(τ )|) dτ.t0t0Так как A(t), B(t) ∈ L∞ , то модули под знаком интеграла можно оценить сверхуконстантами, тогда получим, что |x(t)| не превосходитZtZt|x(τ )| dτ.|u(τ )| dτ + CACBt0t0Можно загрубить оценку, заменив момент времени на максимальный, тогда в силунеравенства Коши-Буняковского полученное выражение меньше или равноCBpZt|x(τ )| dτ.T − t0 kukL2 + CAt0Эта оценка верна для всех t ∈ [t0 , T ].

Далее нам понадобится лемма ГронуоллаБеллмана. Напомним её формулировку без доказательства.Лемма (Гронуолл-Беллман). [В2, стр. 30–31, лемма 2], [АТФ, стр. 189]Пусть функция ω(t) удовлетворяет условиюZt0 6 ω(t) 6 b + aω(τ ) dτ(b > 0, a > 0).t0Тогда верно неравенство ω(t) 6 b·ea(t−t0 ) .Из приведённых рассуждений можно сделать вывод, что функционалы J1 (u) и J2 (u)слабо полунепрерывны снизу на L2 , откуда следует следующая6Теорема 3 (о существовании оптимального управления задач (1), (2) и (1), (3)).Пусть A(t), B(t), f (t) ∈ L∞ (t0 , T ); y(t) ∈ L2 (t0 , T ), x0 ∈ Rn , y ∈ Rn .