В.И. Денисов, В.С. Ростовский, В.А. Соколов - Задания по курсу Электродинамика для студентов 3-его курса физического факультета МГУ, страница 3

Вэтом 4-мерном пространстве мы можем ввести четыре взаимно ортогональные оси: x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z . Тогда радиус-вектор некоторойточки этого пространства будет иметь четыре компоненты и его можно записать в виде: xi ≡ {x0 , x1 , x2 , x3 } ≡ {ct, ~r}. При такой записи обычно считают, что любой индекс, обозначенный латинской буквой (i, j, k и т.д.) можетпринимать четыре значения: i = 0, 1, 2, 3 . Совершенно аналогично и любойдругой 4-х вектор Ai можно спроектировать на координатные оси и определить его проекции Ai = {A0 , A1 , A2 , A3 } .

По аналогии с 4-х вектором xiкомпоненту A0 называют временной компонентой, а компоненты A1 , A2 , A3 –пространственными компонентами. В декартовых координатах компонентамA1 , A2 , A3 соответствуют компоненты Ax , Ay , Az .Следующим по сложности (после 4-вектора) объектом является тензорвторого ранга, имеющий два индекса: T ik .

Так как индексы i и k у этоготензора могут принимать независимо друг от друга значения 0, 1, 2, 3 , то данный тензор можно представить в виде матрицы, строки которой нумеруютсяиндексом i (первый индекс), а столбцы - индексом k (второй индекс).

Приэтом следует учесть, что в отличие от обычной матрицы здесь нумерация начинается не с единицы, а с нуля: сначала идет нулевая строка, за ней перваяи т.д.Одним из наиболее важных тензоров второго ранга является контравариантный метрический тензор g ik . Предполагается, что определитель матрицы g ik всегда отличен от нуля, и поэтому по данной матрице мы всегда можемпостроить ей обратную. Тензор gik соответствует матрице, обратной к g ik ;его называют метрическим тензором с ковариантными индексами (или, просто, ковариантным метрическим тензором).В декартовых координатах инерциальной системы отсчета псевдоевклидова пространства-времени (пространства специальной теории относитель-12Электродинамика полей и зарядов в вакуумености или пространства Минковского) матрицы, соответствующие тензорамgik и g ik , совпадают:1 0000  0 −1 0g ik = = gik .0 0 −1 0 0 00 −1Так как матрицы g ik и gik взаимно обратны, то выполняется соотношение3Xgim · gmk=δik=m=0n0 при i 6= k,1 при i = k.В тензорном анализе обычно принимают правило суммирования Эйнштейна:по индексам, обозначенным одной и той же буквой и стоящим один вверху(контравариантный индекс), а другой внизу (ковариантный индекс) предполагается суммирование по всей совокупности принимаемых данными индексамизначений.

В силу этого правила, записывая выражение gim · Amk , мы подразумеваем, что по индексу m происходит суммирование от 0 до 3:gim · Amk≡3Xgim · Amk .m=0Это правило позволяет в ряде случаев значительно упрощать запись сложныхтензорных выражений.Используя метрический тензор, мы можем поднимать и опускать индексыи у других тензоров, и, тем самым, находить связь между контра- и ковариантными компонентами одного и того же тензора. По определению имеем:Ai = gim · Am , Ti k = gim · T mk , Tik = gim · gkn · T mn ,Ai = g im · Am , T ik = g im · Tmk , T ik = g im · g kn · Tmn .С помощью метрического тензора можно получить обобщение понятия расстояния между двумя точками на случай 4-х мерного пространства-времени.Соответствующее "расстояние"в этом случае называется интервалом ds ; поопределению квадрат интервала равен: ds2 ≡ gik dxi dxk .В декартовых координатах инерциальной системы отсчета псевдоевклидова пространства-времени квадрат интервала имеет вид: ds2 = c2 dt2 − (d~r)2 ,отсюда уже видно, что в 4-мерном пространстве-времени "квадрат"интервалаЭлектродинамика полей и зарядов в вакууме13ds2 не является знакоопределенным: в зависимости от величин dt и d~r онможет быть меньше, равен или больше нуля.При выполнении преобразования координат 4-мерного пространства′′времени x i = x i (xm ) (переход от нештрихованных координат xm к штрихо′ванным координатам x i ) ковариантные четырехвекторы и тензоры 2-го рангапреобразуются по закону:∂xm ∂∂=,∂x′ i∂x′ i ∂xmA′i =∂xm· Am ,∂x′ i′Tik =∂xm ∂xn·· Tmn .∂x′ i ∂x′ kДля контравариантных компонент имеем:dx′ i =∂x′ i kdx ,∂xkA′ i =∂x′ i kA ,∂xkT ′ ik =∂x′ i ∂x′ k·· T mn .mn∂x∂xСмешанные компоненты тензора T.mn .

преобразуются по закону:T ′ i. k.∂x′ i ∂x n· ′k · T.mn .=m∂x∂x12.1.* На плоскости введена декартова косоугольная система координат,угол между осями которой равен ω. Записать метрический тензор и формулыдля опускания и поднятия индексов (т.е. для перехода от контравариантныхкомпонент к ковариантным и обратно).12.2*. Записать компоненты ко- и контравариантного метрического тензора в сферических координатах.12.3.

Дан антисимметричный тензор электромагнитного поля Fik = −Fki ,ковариантные компоненты которого в декартовых координатах инерциальнойсистемы отсчета можно представить в видеFik0∂Ak ∂Ai −Ex≡− k = i−Ey∂x∂x−EzEx0Hz−HyEy−Hz0HxEzHy ,−Hx0где Ex , Ey , Ez и Hx , Hy , Hz – декартовы проекции векторов напряженностей~ и магнитного H~ полей. Найти тензор F ik .электрического E14Электродинамика полей и зарядов в вакууме13 СЕМИНАР: Тензор электромагнитного поля и его инвариантыЗадачи на нахождение полевых конфигураций в различных инерциальных системах отсчета.Инварианты тензора электромагнитного поля.13.1.

Учитывая преобразования Лоренца и используя закон преобразова~ иH~ния тензора второго ранга, найти формулы преобразования компонент Eпри переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейсяотносительно первой вдоль оси x со скоростью V .~ иH~ при преобразо13.2. Обобщить закон преобразования векторов Eвании Лоренца на случай произвольного направления вектора относительнойскорости V~ .13.3.

В лабораторной системе координат угол между напряженностями~ иH~ равен ϕ. Найти систему координат, в которой они параллельны.полей EВсегда ли задача имеет решение? Единственно ли оно?13.4. Электрон обладает спиновым моментом количества движенияs, (s = h̄/2) и связанным с ним магнитным моментом µ = es/(mc). Оценитьэнергию взаимодействия магнитного момента электрона в атоме водорода скулоновским полем ядра.13.5. Используя результаты задачи 12.3, найти выражения для F ik Fik и′′сравнить их с выражением для F ik Fik ; выразить результат через напряженности полей.13.6*. То же для eiklm Fik Flm . Учесть, что в инерциальных системах отсчета абсолютно антисимметричный аксиальный тензор Леви-Чивиты имеетвид:n0, если хотя бы два индекса одинаковы;iklme=±1,если все индексы разные;причем e0123 = +1, а остальные компоненты тензора получаются путем перестановки индексов.~ иH~ электро13.7*.

Найти закон преобразования амплитуд векторов Eмагнитной волны при преобразованиях Лоренца.14 СЕМИНАР: Законы сохраненияЗадачи релятивистской кинематики с участием массивных и безмассовых частиц.Инварианты четырех-векторов скорости и импульса частиц.14.1. При какой энергии частицы, имеющей массу покоя m, время ее распада в N раз больше, чем в собственной системе отсчета?Электродинамика полей и зарядов в вакууме1514.2. Частица с массой m1 и скоростью v1 поглощается частицей массыm2 , первоначально покоившейся. Найти массу M и скорость V образовавшейся частицы.14.3.

Покоящееся возбужденное ядро с энергией возбуждения E = h̄ω0испускает гамма-квант. Найти частоту гамма-кванта с учетом отдачи ядра.Масса покоя невозбужденного ядра M, M c2 ≫ h̄ω0 .14.4. Квант света с частотой ω0 рассеивается на покоящемся свободномэлектроне. Найти зависимость частоты ω рассеянного фотона от угла рассеяния θ.14.5*. То же для случая, когда электрон ультрарелятивистский, его импульс |P~ | ≫ mc и составляет угол θ0 с направлением движения первичногоγ-кванта.14.6. Частица с массой m1 налетает на покоящуюся частицу с массой m2 .

Происходит реакция, в которой рождаются частицы с общей массойM > m1 + m2 . Найти энергетический порог реакции T , т.е. минимальное значение кинетической энергии налетающей частицы, начиная с которого реакциястановится энергетически возможной.14.7. Найти пороговую энергию фоторождения π 0 -мезона на нуклоне вреакции: n+γ → n+π 0 . Массы покоя нуклона M и π 0 -мезона m известны.14.8. Частица из ускорителя, имевшая массу покоя m и полную энергиюE1 , движется к покоящейся частице-мишени той же массы. Найти суммарнуюкинетическую энергию T двух частиц в системе центра инерции.14.9.

Опираясь на законы сохранения энергии и импульса, показать, чтоневозможны ни испускание, ни поглощение фотона свободным электроном.14.9a. Опираясь на законы сохранения энергии и импульса, показать, чтоневозможны ни превращение свободно движущегося π 0 -мезона в один гаммаквант, ни обратная реакция.14.10. π-мезон с массой покоя m, двигавшийся со скоростью v, распадается на два гамма-кванта. Найти энергетический спектр гамма-квантов влабораторной системе координат.14.11. Найти массу системы, состоящей из двух фотонов одинаковой частоты ω, если угол между их волновыми векторами равен θ.14.12*.

Определить возможные пределы энергии антинейтрино, образующегося при бета-распаде нейтрона, n → p+ + e− + ν̃e .15 СЕМИНАР : К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А !16Электродинамика полей и зарядов в вакууме16 СЕМИНАР: Движение заряженных частиц во внешних поляхЗадачи на определение законов движения релятивистских заряженных частиц во внешнихэлектромагнитных полях. Интегралы движения.16.1. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется в од~ При t = 0 частица находилась в начале конородном электрическом поле E.~ Найти закон движения частицы - явнуюординат и имела импульс p~0 ⊥ E.зависимость ~r(t) и ~v (t) .16.2.

Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется в одно~ При t = 0 частица находилась в начале координатродном магнитном поле H.и имела начальную скорость v0 . Найти закон движения частицы. Указать всеинтегралы движения в данном случае.16.3. Записать уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внешнем электромагнитномполе, используяфункциюЛагранжа этойp¡¢222~ r, t) /c .частицы L = −mc · 1 − v /c − eϕ(~r, t) + e ~v · A(~16.4.

Заряженная частица (заряд e, масса m) движется в поле силовогоцентра – точечного заряда q. Выписать все интегралы движения.17 СЕМИНАР: Излучение быстро движущихся зарядовВычисление интенсивности излучения при движении по окружности. Оценка углов вдиаграмме направленности.17.1. Найти полную интенсивность излучения релятивистской заряженной частицы, переходя из сопутствующей системы координат в лабораторную.Выразить интенсивность излучения: a) через скорость и ускорение; б) черезвнешние поля.17.2.