В.И. Денисов, В.С. Ростовский, В.А. Соколов - Задания по курсу Электродинамика для студентов 3-его курса физического факультета МГУ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТКафедра квантовой теориии физики высоких энергийЗАДАНИЯпо курсу "ЭЛЕКТРОДИНАМИКА"для студентов 3-его курсафизического факультета МГУ, 2014-2015 учебный годАвторы-составители:В. И. ДЕНИСОВВ. С. РОСТОВСКИЙВ. А.

СОКОЛОВМОСКВА- 2014ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРАММА-МИНИМУМ К ЗАЧЕТУЧасть 1. "Электродинамика полей и зарядов в вакууме.Специальная теория относительности."1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Сила Лоренца.2. Уравнения Максвелла в интегральной форме.3. Закон сохранения заряда и закон сохранения энергии в электродинамике (в дифференциальной форме).4. Связь полей и потенциалов. Калибровка Лоренца и уравнения для потенциалов в этой калибровке.5. Лапласиан от скалярной функции в декартовых прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах.6. Решение уравнений для потенциалов в виде запаздывающих потенциалов.7. Электрический дипольный момент. Потенциал и напряженность поляэлектрического диполя в электростатике.

Энергия диполя во внешнемполе.8. Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал и напряженностьполя магнитного диполя в статике.~ и E,~9. Свойства плоских электромагнитных волн. Связь векторов поля Hволнового вектора ~k и частоты ω.10. Потенциалы, напряженности полей, интенсивность и угловое распределение электрического дипольного излучения.11. Сила радиационного трения в нерелятивистском приближении.12. Преобразования Лоренца для координат-времени в 3-мерном виде.13. Релятивистский закон сложения скоростей.14. Преобразования Лоренца для четырехмерных векторов; примеры четырехмерных векторов, используемых в электродинамике; их инварианты.15. Законы преобразования напряженностей электромагнитного поля.

Тензор электромагнитного поля и его инварианты.16. Связь энергии, импульса, массы и скорости релятивистской частицы.17. Уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внешнемэлектромагнитном поле.18. Выражения для плотности энергии , плотности импульса и потока энергии электромагнитного поля.19. Функция Лагранжа релятивистской заряженной частицы во внешнемэлектромагнитном поле. Уравнения движения в форме Лагранжа.ПРИМЕЧАНИЯ:1. Минимальным требованием для зачета является знание всех соответствующих формул без вывода.2. Знание перечисленных вопросов является необходимым , но не достаточным для зачета.

Достаточным является умение применить данныеформулы к решению задач.Электродинамика полей и зарядов в вакууме31 СЕМИНАР: Векторный анализМатематический аппарат электродинамики. Оператор Гамильтона и его применение.Операторы градиент, дивергенция и ротор в криволинейных системах координат.Оператор Лапласа.~ = ~i · ∂ + ~j · ∂ + ~k · ∂ ,1.1. Используя векторный оператор "набла"∇∂x∂y∂z~~~~~~вычислить grad (ϕ ψ), div (ϕA), rot (ϕA), div [E × H], rot [A × B],~ B),~ ∆(ϕ ψ), где ϕ, ψ – скалярные, A,~ B,~ E,~ H~ - векторные функцииgrad (Aкоординат.¡¢¡¢~ ∇)~~ r, grad (E~ · ~r),1.2. Вычислить grad ϕ(r), div ~r · ϕ(r) , rot ~r · ϕ(r) , (E¡¢~ ×∇~ ] ~r , div [H~ × ~r] , rot [H~ × ~r] , grad f (t − r/c)/r, где ~r – радиус[E~ иH~ – постоянные векторы, ϕ и f – заданные функции скалярноговектор, Eаргумента.©¡ ¢ª©£ ¤ª1.2a*.

Вычислить ∆ ω~ ~r f (r) и ∆ ω~ ~r f (r) , где ω~ – постоянныйвектор.~ , rot A~ в цилиндрической и сферической си1.3*. Записать grad ϕ, div Aстемах координат, пользуясь выражениями для операторов grad, div, rot впроизвольных ортогональных координатах (q1 , q2 , q3 )grad ϕ = ~e1 ·~ =divB1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ·+ ~e2 ··+ ~e3 ··,h1 ∂q1h2 ∂q2h3 ∂q3n ∂o∂∂1·(h2 h3 B1 ) +(h3 h1 B2 ) +(h1 h2 B3 ) ,h1 h2 h3∂q1∂q2∂q3¯ ~e1¯¯ h2 h3~ = ¯ ∂rotA¯ ∂q1¯ h1 A1~e2h3 h1∂∂q2h2 A2~e3 ¯h1 h2 ¯∂ ¯∂q3 ¯h3 A3 ¯¯¯¯ h ~e1 ¯¯ 1∂ 1=h1 h2 h3 ¯¯ h∂qA11 1h2~e2∂∂q2h2 A2¯h3~e3 ¯¯∂ ¯∂q3 ¯ ,h3 A3 ¯где ~e1 , ~e2 , ~e3– базисные единичные векторы в точках q1 , q2 , q3 ,h1 , h2 , h3 – коэффициенты Ламе.~ = 0, rot H~ = 4π~j/c в ци1.4.

Записать уравнения магнитостатики div Hлиндрической системе координат в общем случае и в случае аксиальной симметрии.1.5. Записать уравнение Лапласа ∆Ψ = 0 в произвольных ортогональных,в декартовых, цилиндрических и в сферических координатах.4Электродинамика полей и зарядов в вакууме2 СЕМИНАР: Дельта-функцияДельта-функция Дирака и ее свойства. Построение выражений для объемной плотностизаряда с использованием дельта-функции для точечных и распределенных источников.2.1. ВычислитьR∞F (x) · δ(Φ(x)) dx ; нули функции Φ(x) предполагаются−∞известными, а F (x) – непрерывная, однозначная функция.R∞ 2x · δ(4x2 − 1) dx.2.2.

Вычислить интеграл I =2.3. Вычислить интеграл I =−∞R10x · δ(sin πx3 ) dx.12.4. Разложить δ(x − x0 ) в интеграл Фурье.2.5. Написать выражение для плотности точечного заряда в декартовых исферических координатах.2.6. Заряд q равномерно распределен по поверхности шара радиуса R.Записать выражение для поверхностной и объемной плотности заряда.2.6a. Заряд q равномерно распределен по тонкому кольцу радиуса R.Записать выражение для линейной и объемной плотности заряда.2.6б*. Заряд q равномерно распределен по отрезку нити длины L.

Записать выражение для объемной плотности заряда в декартовой и цилиндрической системах координат в случае: a) если центр отрезка совпадает с началомкоординат, а сам отрезок направлен вдоль оси x; b) если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а сам отрезок направлен вдоль оси x.2.7*. Записать выражение для плотности заряда диполя с дипольныммоментом P~ .2.8.

Пустьnx y z o©ª~n(ϑ, ϕ) == nx = sin ϑ · cos ϕ, ny = sin ϑ · sin ϕ, nz = cos ϑ, ,r r r– вектор единичной длины, все направления которого в пространстве равновероятны. Найти усредненные значения произведений1nα nβ =4πZπ0sin θdθZ2πdϕ nα nβи0где nα - проекция вектора ~n на ось α.1nα nβ nµ nν =4πZπ0sin θdθZ2π0dϕ nα nβ nµ nν ,Электродинамика полей и зарядов в вакууме53 СЕМИНАР: Точные решения задач электростатикиРешение уравнения Пуассона методом разложения в интеграл Фурье. Вычислениепотенциала при заданной плотности заряда в статическом сферически симметричном случае.3.1.

Решить уравнение ∆ϕ = −4π̺(~r) разложением в интеграл Фурье.3.2. Найти распределение заряда и полный заряд системы, потенциал которой равен³ r´Aϕ(r) = · exp − .rb3.3. Найти потенциал ϕ(r) сферически симметрического распределениязарядов ρ(r).3.4*. В атоме водорода в основном состоянии заряд электрона ("электронное облако") распределен с плотностью³ 2r ´e̺(r) = −.· exp −π · a3aНайти потенциал ϕ(r) электрического поля атома (ядро + электронная оболочка), энергию взаимодействия электронного облака с ядром и энергиюэлектронного облака. Ядро считать точечным зарядом, расположенным в начале координат.4 СЕМИНАР: Мультипольное приближениеВычисление потенциала электростатического поля для систем точечных и распределенныхзарядов в мультипольном приближении с точностью до квадрупольного приближения,включительно.4.1.

Найти потенциал системы зарядов, изображенный на рисунке, набольших расстояниях r ≫ a ∼ b от системы с точностью до квадрупольногоприближения, включительно.rY+qb-3q-a+2q0aX6Электродинамика полей и зарядов в вакууме4.2. То же для системыY+q-2qaa-2q+3q0bX4.3. Найти потенциал плоского диска радиуса R, заряженного с поверхностной плотностью σS = q sin(ϕ)/R2 , на больших расстояниях r ≫ R с точностью до квадрупольного приближения, включительно.4.4. Найти потенциал системы зарядов, изображенной на рисунке, набольших расстояниях r ≫ a от системы с точностью до квадрупольного приближения, включительно.+q-2q-a0+qaZ4.5.

Два коаксиальных равномерно заряженных кольца из тонкой проволоки расположены в одной плоскости. Их радиусы a и b, заряды +q и −q.Найти скалярный потенциал ϕ на больших расстояниях r ≫ b > a от такой системы зарядов с точностью до квадрупольного приближения, включительно.4.6*.Поверхностьатомного ¢ ядра описывается выражением¡R(Θ) = R0 · 1 + λ · P2 (cos Θ) , где P2 (x) = (3x2 − 1)/2 – полиномЛежандра второго порядка. Параметр деформации λ мал.

Вычислить сточностью до линейных по λ членов квадрупольный момент ядра.4.7. Скалярный потенциал, создаваемый некоторым распределением электрического заряда, на пространственной бесконечности убывает как 1/r2 .Означает ли это, что электрический дипольный момент данного распределения зарядов отличен от нуля?5 СЕМИНАР: Взаимодействие систем зарядовВычисление энергии взаимодействия систем зарядов, силы и момента сил, действующих насистемы. Задачи на применение магнитного дипольного приближения.5.1. Найти энергию взаимодействия диполя p~ и точечного заряда q . Найтисилу и момент сил, действующие на диполь.Электродинамика полей и зарядов в вакууме75.2.

Найти энергию и силу взаимодействия двух точечных диполей p~1 и p~2 ,расположенных на большом расстоянии друг от друга.5.2a*. Два диполя с дипольными моментами p~1 и p~2 находятся на большом,по сравнению с их размерами, расстоянии r друг от друга. Векторы p~1 , p~2 и ~rвзаимно перпендикулярны.