Памятка для контрольной работы № 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Памятка для контрольной работы № 2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ПАМЯТКА для студентов К–6(основные формулы к КР–2 по УМФ)Рекуррентные соотношения:d ν(x Jν (x)) = xν Jν−1 (x),dxа)d −ν(x Jν (x)) = −x−ν Jν+1 (x),dxνв) Jν0 (x) = Jν−1 (x) − Jν (x),xνг) Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x),xОператор Лапласаб)а) сферически-симметричный случай в Rn1 dn−1 du(r)∆u = n−1r;rdrdrв частности, сферически-симметричный случай в R31 d2 du(r)∆u = 2r,r drdrд) Jν−1 (x) − Jν+1 (x) = 2Jν0 (x),е) Jν−1 (x) + Jν+1 (x) =2νJν (x).xv(r)vrr, тогда ∆u =(только в R3 );rrб) в полярных координатах на плоскости1 ∂∂u1 ∂2u;∆u =r+ 2r ∂r∂rr ∂ϕ2Обычно на практикеб) в цилиндрических координатах в пространстве1 ∂∂u1 ∂2u∂2u∆u =r+ 2+;2r ∂r∂rr ∂ϕ∂z 2Типичная спектральная задача: 2 1 d r dW (r) + λ − nW (r) = 0,r drdrr2|W (0)| < ∞,W (R) = 0.замена u(r) =в) в сферических координатах в пространстве1 ∂1∂∂u1∂2u2 ∂u∆u = 2r+ 2sin θ+ 2 2.r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2ν = n ∈ Z+ ≡ {0, 1, 2, .
. . },причемJ−n (x) = (−1)n Jn (x).Спектр:λk = γ 2kRЦилиндрические функцииWk (r) = JnγkRr ,k = 1, 2, . . . ,Свойство ортогональности и нормы:x2 w00 (x) + x w0 (x) + (x2 − ν 2 )w(x) = 0.ZRrJnРешение:w(x) = C1 Jν (x) + C2 Nν (x).γ γ jr Jnr dr = 0,RRkγk 6= γj ,0 γ 2 ZRγ R2kkr ≡ rJn2r dr =(Jn+1 (γk ))2 .JnRR2При ν > 0 имеемlim |Jν (x)| < ∞,,γk ∈ Mn ≡ {γ > 0 : Jn (γ) = 0}.Уравнение Бесселя индекса ν ∈ R :x→0+0 < r < R,0lim |Nν (x)| = ∞.x→0+Ряд Фурье–Бесселя на (0, R):Запись функции Бесселя:Jν (x) =∞Xk=0k(−1)k! (k + ν)! x 2k+ν2f (r) ∼.Nν (x) =1Nn (x) =πJν (x) cos πν − J−ν (x),sin πνAk J nk=1Ak =Запись функции Неймана:∞X2γkRr ,ZRrf (r)JnR2 (Jn+1 (γk ))2γkRrdr.0ν∈/ Z,∂n ∂(Jν (x)) − (−1)(J−ν (x)) .∂ν∂νν=nУравнение Бесселя со спектральным параметром µ :r2 W 00 (r) + r W 0 (r) + (µ2 r2 − ν 2 )W (r) = 0.При µ 6= 0 решение имеет вид:W (r) = C1 Jν (µr) + C2 Nν (µr).Здесь γk , γj – положительные корни функции Jn (x).Полиномы ЛежандраPn (t) =1 dn 2(t − 1)n ,2n n! dtnn = 0, 1, 2, .
. . .Явная запись нескольких первых полиномов:P0 (t) = 1,P3 (t) =P1 (t) = t,1(5t3 − 3t),2P2 (t) =P4 (t) =1(3t2 − 1),21(35t4 − 30t2 + 3).8Обратные выражения:1 = P0 (t),t3 =t2 =t = P1 (t),1(3P1 (t)+2P3 (t)),5t4 =1(P0 (t) + 2P2 (t)),31(7P0 (t)+20P2 (t)+8P4 (t)).35Спектральная задача для уравнения Лежандра: d (1 − t2 ) dw(t) + λw(t) = 0,|t| < 1,dtdt|w(±1)| < ∞.Спектр: λn = n(n + 1), wn (t) = Pn (t), n = 0, 1, 2, . . .
.Свойство ортогональности:Z1Pn (t)Pk (t) dt =−10,n 6= k,2,2n + 1n = k.Рекуррентные соотношения:(n + 1)Pn+1 (t) − (2n + 1) t Pn (t) + nPn−1 (t) = 0,10P 0 (t) − Pn−1(t)2n + 1 n+1для n = 1, 2, 3, . . . .Pn (t) =Общий вид гармонической функции в шаре:u(r, θ) =∞XCk Pk (cos θ) r kk=0R,r < R,и вне шара:u(r, θ) =∞Xk=0Ck Pk (cos θ)Rrk+1,r > R,в случае зависимости от радиуса r и сферического угла θ..
