Решения (Занимательные задачи, выходящие за рамки программы)

Решение двух задач, связанных с теорией чиселА.В. Щепетилов & Co16 декабря 20101. При каких n число n! является полным квадратом при n > 1?Ответ: ни при каких n > 1. Действительно, рассмотрим наибольшеепростое p, не превосходящее числа n > 1. Если n < 2p, то p входит вn! лишь в первой степени и n! не является полным квадратом. Еслиже 2p 6 n, то в соответствии с постулатом Бертрана существуетпростое число q такое, что p < q < 2p 6 n, что противоречит выборуp. На самом деле, мы доказали, что n! при n > 1 не является никакойнатуральной степенью, большей единицы, никакого натуральногочисла.2.

Определить, при каких α > 0 выполнено равенство lim nα sin n =n→+∞∞.Докажем сначала следующее предложение.Предложение 1 (об одном пределе, связанном¯ с рациональными¯¯¯ C(α)pаппроксимациями числа π). Если неравенство ¯¯π − ¯¯ < α+1 приqqнекоторых α > 0, C(α) > 0 имеет не более чем конечное число решений (бесконечное число решений) относительно пар натуральных чисел (p, q), то при n ∈ N ∀ε > 0 lim nα+ε sin n =n→+∞µ¶∞lim nα sin n 6= ∞ .n→+∞¯¯¯¯ C(α)pДоказательство. Пусть неравенство ¯¯π − ¯¯ < α+1 имеет относиqqтельно пар натуральных чисел (p, q) не более чем конечное числорешений.

Тогда¯ ∃N¯ ∈ N такое, что ∀n > N и ∀q ∈ N выполнено¯n ¯ C(α)неравенство ¯¯π − ¯¯ > α+1 .qq12¯n¯1¯¯С другой стороны, для ∀n > N ∃mn ∈ N такое, что ¯ − mn ¯ < .π2ТогдаC(α)π6|πm−n|<nmαn2иn→ π при n → ∞.mnh πiОтсюда ввиду выпуклости вверх графика функции sin t, t ∈ 0,2получаем ∀ε > 02nα+ε | sin n| = nα+ε | sin(n − πmn )| > |n − πmn |nα+ε >πµ ¶α2 C(α) α+ε 2n>n= C(α)nε → +∞ при n → +∞.απ mnπmn¯¯¯¯C(α)pНаоборот, пусть неравенство ¯¯π − ¯¯ < α+1 имеет относительqqно пар натуральных чисел (p, q) бесконечное число решений.

Тогда ∃¯ последовательностинатуральных чисел pk , qk → +∞ такие,¯¯¯C(α)pkC(α)и |pαk sin pk | =что ¯¯π − ¯¯ < α+1 . Отсюда |πqk − pk | <αqkqkqkC(α)pαk | sin(pk − πqk )| < pαk |pk − πqk | < pαk α → π α C(α) при k → +∞qkи, значит, nα sin n 6→ ∞ при n → +∞.Точнаягрань µ(x) множества чисел β таких, что неравен¯ нижняя¯¯¯p1ство ¯¯x − ¯¯ < β имеет относительно пар натуральных чисел (p, q)qqне более чем конечное число решений, называется мерой иррациональности вещественного числа x.

Наилучшая оценка сверху дляµ(π) получена в статье Салихова В. Х. "О мере иррациональностичисла π" УМН Т. 63, вып. 3, с. 163-164, 2008 и составляет 7.6304 . . ..Поэтому при α > 6.6304 . . .lim nα sin n = ∞.n→+∞С другой стороны,¯ в силу аппроксимационной теоремы Дирихле,¯¯1p¯неравенство ¯¯π − ¯¯ < 2 имеет бесконечное число решений отноqqсительно пар натуральных чисел (p, q). Поэтому lim nα sin n 6= ∞n→+∞при 0 < α 6 1.Ответ на вопрос задачи при 1 < α < 6.6304 . . .

в настоящее времянеизвестен..