Вопросы и задачи к зачету

Квантовая механика. 1-ой поток. 2017 г.Редакция от 21.05.17http://hep.phys.msu.ruAttention! Уравнение Дирака будет подробно разбираться в осеннем семестре и вопросы понему будут обязательной составной частью заключительного экзамена.Список задач дается в максимальном варианте, для разных групп он может уточнятьсясеминаристом.Теоретические вопросы1. Комбинационный принцип и матричная механика Гейзенберга. Физические величиныкак эрмитовые операторы в гильбертовом пространстве.2.

Динамическая схема квантовой механики. Представления Гейзенберга и Шредингера.Переход от одного представления к другому. Оператор эволюции U (t2 , t1 ), его общийвид и основные свойства.3. Принцип соответствия между классической и квантовой механикой, каноническое квантование.Теоремы Эренфеста.4. Квантовомеханическая теория измерения. Спектр и средние значения физических величин. Измерение наблюдаемых с чисто дискретным невырожденным спектром и чистыесостояния квантовой системы. Полный набор наблюдаемых.5. Вероятностная интерпрeтация результатов измерения некоммутирующих величин.

Соотношение "неопределенностей"для дисперсий некоммутирующих величин. Простейшие ЭПР-"парадоксы"и их обьяснение.6. Совокупность чистых состояний квантовой системы как гильбертово пространство, егоосновные свойства. Принцип суперпозиции чистых состояний, его обоснование. Спектральное разложение эрмитового оператора и функций от него. Квантовомеханическаяинтерпретация дискретного и непрерывного спектров оператора наблюдаемой.7. Изоморфизм представлений гильбертова пространства. Эквивалентность любого представления матричному. Переход от одного представления к другому как унитарноепреобразование, его шредингеровская и гейзенбергова формы. Взаимосвязь унитарныхи канонических преобразований.8.

Координатное и импульсное представления. Волновая функция, ее вероятностная интерпретация. Переход от одного представления к другому.9. Симметрии и интегралы движения в квантовой механике. Вырождение уровней энергиипри наличии некоммутирующих интегралов движения.10. Стационарные состояния, их основные свойства. Эволюция во времени состояний издискретной и непрерывной частей энергетического спектра.11.

Матрицы плотности и смешанные состояния. Средние значения физических величинв смешанном состоянии. Основные свойства матриц плотности. Матрицы плотностиподсистем, обьяснение координатного и спинового ЭПР-"парадоксов"с их помощью.12. Квантование гармонического осциллятора методом операторов рождения-уничтожения.Когерентные состояния, их основные свойства.113. Общие свойства уравнения Шредингера для нерелятивистской частицы в потенциальном поле.

Уравнение непрерывности. Вариационный принцип для стационарного ур.Шредингера.14. Квантовая механика частицы в потенциальном поле для одного пространственного измерения. Основные свойства дискретного спектра. Специфика одномерной потенциальной ямы с равновысокими стенками. Одномерное рассеяние на потенциале с регулярными асимптотиками V (±∞) = V± .15. Одномерное уравнение Шредингера с периодическим потенциалом. Теорема Флоке,функции Блоха, квазиимпульс и зоны Бриллюэна.16.

Квазиклассическое (ВКБ) приближение, условие применимости. Квазиклассическиеволновые функции, их продолжение через точки поворота. Правило квантования БораЗоммерфельда.17. Туннельный эффект в ВКБ-приближении. Волновые функции и разность энергий двухнижних уровней в потенциале вида "mexican hat". Рождение пар за счет флуктуацийвакуума во внешних полях.18. Частица в центрально-симметричном поле. Разделение переменных. Орбитальный момент, собственные функции и собственные значения l2 и lz .

Природа целочисленностиорбитального момента. Конечный поворот как унитарное преобразование координатнойволновой функции.19. Радиальное ур-ние Шредингера. Граничное условие при r = 0, его обоснование. Общие свойства энергетического спектра и волновых функций связанных состояний вцентрально-симметричном поле. Падение на центр. ВКБ-приближение для радиального уравнения.20. Угловой момент и конечные повороты в общем случае. Перестановочные соотношениядля компонент момента.

Спектр операторов J 2 , Jz . Матричные элементы компонентмомента в базисе собственных векторов операторов J 2 , Jz . Операторы спина частицы,матричные элементы и собственные вектора. Спин 1/2, основные свойства.21. Векторное сложение двух моментов. Коэффициенты векторного сложения, их основныесвойства и физический смысл. Коэффициенты сложения двух спинов 1/2 и спина 1/2с орбитальным моментом l.22. Операторы конечных вращений. Матрицы конечных вращений в параметризации Эйлера.23. Скаляр и вектор в квантовой механике, их коммутаторы с компонентами полного углового момента системы как следствие законов преобразования при конечных поворотах.Показать, что скалярное произведение двух векторов есть скаляр, а векторное — (псевдо)вектор.24.

Правила отбора для матричных элементов от скаляра и вектора по состояниям |JM iс фиксированным полным моментом и его третьей проекцией. Показать, что для ска00~~ляра hJ 0 M 0 | A |JM i = δJJ 0 δM M 0 hJ| A |Ji, для вектора hJM |A|JMi = hJM |J|JMi×~~hJ|AJ|Ji/J(J + 1).25. Пространственная инверсия в квантовой механике. Четность орбитального состояния.Тензоры и псевдотензоры (на примере скаляра и вектора). Правила отбора по четности.2Задачи1. Найти дисперсию координаты и импульса для гармонического осциллятора, находящегося на n-ом энергетическом уровне. Что в ответе является чисто квантовым эффектом?2. Найти уровни энергии и вектора состояния одномерного гармонического осцилляторав постоянном внешнем полеH = h̄ω(a+ a + 1/2) + f ∗ a + f a+3.

Найти средние значения и дисперсии координаты и импульса осциллятора и корреляторы hxpi − hxihpi , hpxi − hpihxi в когерентном состоянии.4. Найти явный вид эволюции по времени когерентного состояния гармонического осциллятора.5. Исходя из условия минимизации соотношения "неопределенностей"между координатой и импульсом, найти явный вид волновых функций для когерентных состояний вкоординатном и импульсном представлениях.6. Одномерный гармонический осциллятор в момент времени t = 0 находится в основномэнергетическом состоянии.

Затем при t > 0 он подвергается воздействию внешней силыf (t). Найти явный вид оператора эволюции и вероятность обнаружить осциллятор вn-ом возбужденном энергетическом состоянии как функцию t.7. Взаимодействие осциллятора с двухуровневой системой описывается гамильтонианомH = h̄ωa+ a +h̄ωσ3 + h̄γ(aσ+ + a+ σ− )2где σ± = (σ1 ± iσ2 )/2 , σi – матрицы Паули. Найти стационарные состояния и уровниэнергии в такой системе, среднее значение и дисперсию энергии осциллятора в этихсостояниях.8. Взаимодействие осциллятора с двухуровневой системой описывается гамильтонианомH = h̄ωa+ a +h̄ωσ3 + h̄γ(aσ+ + a+ σ− )2где σ± = (σ1 ± iσ2 )/2 , σi – матрицы Паули. Найти как функцию времени вероятностьодновременно обнаружить двухуровневую систему в верхнем энергетическом состояниии осциллятора — в состоянии с m квантами, если при t = 0 двухуровневая системанаходилась в нижнем состоянии, а осциллятор — в состоянии с n квантами.9.

Найти уровни энергии и общее число связанных состояний в одномерной симметричнойпотенциальной яме V (x) = −V0 + (h̄2 /2m) Ωδ(x) , |x| < a, V (x) = 0, |x| > a. Как будутвести себя уровни при Ω → ±∞?10. Найти число дискретных уровней энергии в потенциале V (x) = −V0 [δ(x − a) + δ(x + a)]в зависимости от параметров потенциала.11.

Найти уровни энергии и общее число связанных состояний в одномерной потенциальнойяме шириной a с разновысокими стенками V1 < V2 .312. Найти коэффициенты прохождения-отражения и соответствующие фазовые сдвиги припрохождении частицы через потенциал вида V (x) = −V0 + (h̄2 /2m) Ωδ(x) , |x| <a, V (x) = 0, |x| > a.

Что будет при Ω → ±∞?13. Найти вероятность туннелирования частицы сквозь одномерный потенциальный барьерV (x) = V0 + (h̄2 /2m) Ωδ(x) , |x| < a, V (x) = 0, |x| > a (энергия частицы меньше V0 ).Что будет при Ω → ±∞?14. Найти расположение зон Бриллюэна для одномерной решетки Дирака V (x) = V0∞Pδ(x−n=−∞na) , V0 > 0.15. Найти расположение нижних зон Бриллюэна для одномерной решетки Дирака V (x) =V0∞Pn=−∞δ(x − na) , V0 < 0.16.

Методом ВКБ найти уровни энергии одномерного гармонического осциллятора.17. В ВКБ-приближении найти уровни энергии частицы массы m в потенциальном полевида V (z) = ∞, z < 0, V (z) = mgz, z > 0. Сравнить с точным ответом.18. В ВКБ-приближении найти среднее положение и разность энергий нижних уровнейчастицы массы m в потенциальной яме вида V (x) = −Ax2 , |x| ≤ a , V (x) = 0 , |x| > a.19. В рамках ВКБ-приближения оценить вероятность образования электрон-позитроннойпары в постоянном электрическом поле за счет флуктуаций вакуума.20. В рамках ВКБ-приближения определить энергетическую зависимость вероятности рождения пар фотонов в гравитационном поле черной дыры вблизи поверхности Шварцшильда за счет флуктуаций вакуума, если гравитационное ускорение над сферой Шварцшильда равно χc2 .21.

Пусть гамильтониан зависит от λ как от параметра и H(λ) |ψ(λ)i = E(λ) |ψ(λ)i. Показать, что для нормированных на единицу векторов |ψ(λ)i имеет место соотношение∂E(λ)= hψ(λ)| ∂H(λ)|ψ(λ)i.∂λ∂λ22. Доказать, что в состоянии с определенной энергией в центральносимметричном полеV (r) = g ∗ rγ средние значения кинетической и потенциальной энергий связаны соотношением: 2hT i = γhV i (теорема вириала).23. C помощью оценки Баргмана описать основные свойства спектра связанных состояний в сферически-симметричном потенциале со степенной асимптотикой в нуле и набесконечности.24. Радиальная волновая функция стационарного состояния частицы массы m в исчезающем на бесконечности центральном поле U (r) имеет вид R(r) = r(1 − αr)e−βr . Найтизначение орбитального момента в этом состоянии, его энергию и явный вид потенциалаU (r).25.

Найти S-уровни энергии в сферически-симметричной яме: V (r) = −V0 + (h̄2 /2m)δ(r −a) , r ≤ a , V (r) = 0 , r > a. Как будут вести себя уровни при Ω → ±∞?26. Нуклон-нуклонный потенциал на расстояниях порядка 1-2 Фм аппроксимируется функцией V (r) = −A exp(−r/λ) , λ = h̄/mπ c . Найти константу связи A, если энергия связинуклонов в дейтроне равна 2,23 МэВ.427. Найти уровни энергии связанных состояний в потенциале V (r) = −A/r − B/r2 и кратность их вырождения.28. Найти квантовые числа и кратность вырождения дискретных уровней энергии дляводородоподобного иона в условиях, когда движение электрона ограничено непроницаемой плоскостью z = 0, а ядро находится в начале координат ~r = 0.29. В какое состояние перейдет основное 1s-состояние водородоподобного иона в условиях,когда движение электрона ограничено непроницаемой плоскостью z = 0, а ядро перемещается из точки с координатами ~r = (0, 0, a), расположенной высоко над плоскостьюa aB в начало координат ~r = 0.30.