А.М. Стёпин - Программа экзамена по функциональному анализу (5-6 семестры)

Программа экзамена по функциональному анализуЛектор — А. М. СтёпинV–VI семестр, 2004–2005 г.V семестр1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах и теорема Бэра. [КФ, II, 3]Принцип сжимающих отображений и его применения. [КФ, II, 4]Пополнение метрических пространств, связь полноты и замкнутости. [КФ, II, 3]Компактные метрические пространства, критерий компактности (Хаусдорфа). [КФ, II, 7]Критерий компактности подмножества в C[a, b].

[КФ, II, 7]Нормированные пространства. Теорема Банаха – Хана. [ЛС, IV, 1]Отделимость выпуклых множеств. [КФ, IV, § 1, п. 3]Общий вид линейного ограниченного функционала на C[a, b]. [ЛС]Линейные непрерывные функционалы на гильбертовом пространстве.Изоморфизм сепарабельных бесконечномерных гильбертовых пространств. [КФ]Норма линейного оператора. Формулы: kAk = kA∗ k, kA∗ Ak = kAk2 .Резольвента, её аналитические свойства, спектральный радиус. [КФ, IV, 6]Спектр оператора.

Непустота спектра ограниченных операторов. [КГ, V, 1]Теорема об отображении спектра для полиномов. [КГ, V, 1], [РС, I том]Связь нормы и спектрального радиуса. [КФ, V, 1]Спектральная теорема для самосопряжённого ограниченного оператора c циклическим вектором. [РС]Диагонализуемость компактных самосопряжённых операторов (существование полной ОНС из собственных векторов).Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха – Штейнгауза).

[ЛС, III, 4]Теорема Банаха об обратном операторе. [ЛС, III, 5]Слабая компактность шара в пространстве, сопряжённом к сепарабельному нормированному. [КФ, IV, 3]Компактные операторы, их основные свойства (компактность суммы двух компактных операторов; компактность произведения компактного и ограниченного операторов в любом порядке). [КФ, IV, 6]Теорема о сохранении непрерывного спектра при компактном возмущении.

[Г]Компактность интегральных операторов с ядрами Гильберта – Шмидта. [Ш]Сохранение компактности при сопряжении. [КФ, IV, 6]Эквивалентность норм в конечномерных пространствах. [ЛС, II, 2]Лемма Рисса о «почти перпендикуляре».Собственные значения компактных операторов. [КФ, IV, 6]2-я теорема Фредгольма. [ЛС]3-я теорема Фредгольма.Теория Фредгольма для операторов в гильбертовом пространстве.1VI семестр1.

Убывание к нулю коэффициентов Фурье интегрируемой на отрезке функции относительно ограниченнойортонормированной системы.2. Условие Дини сходимости ряда Фурье. [КФ, 8.1]3. Применение принципа равномерной ограниченности к рядам Фурье. [КФ, 8.1]4. Свойство единственности для рядов Фурье интегрируемых функций. [Ш, 7.1]5. Условие равномерной сходимости рядов Фурье. [КФ, 8.1]P sin nx6. Ограниченная сходимость рядаn .

[ХР, 3.7]7. Преобразование Фурье интегрируемых функций; основные свойства. [КФ, 8.4]8. Формула обращения. [КФ, 8.4]9. Свойство единственности для преобразования Фурье. [КФ, 8.4]10. Связь гладкости и убывания на бесконечности f и fb. [КФ, 8.4].11. Полнота системы функций Чебышёва – Эрмита. [КФ, 8.4]12. Спектр оператора преобразования Фурье в L2 (R).13. Свёртка и преобразование Фурье, оператор свёртки в L2 (R).14. Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности. [КФ, 8.4]15.

Равенство Парсеваля и преобразование Фурье в L2 (R). Теорема Планшереля. [КФ, 8.5]16. ∗ Сходимость последовательностей и топология в C∞0 .17. Пространство D, регулярные и сингулярные обобщённые функции. [Вл], [ГШ], [Р]18. Достаточность запаса основных функций; сингулярность P x1 . [Л], [Вл]19. Действие над обобщёнными функциями, существование первообразной. [ГШ, 1.2]20. Формула суммирования Пуассона. [ГШ, 1.2]21. Локальное совпадение обобщённых функций; носитель обобщённой функции.

[Р, 6]22. Пространство E, инъекция E ′ −→ D′ и плотность образа. [Л]23. Метризуемость сходимости в E и неметризуемость сходимости в D. [Л]24. E ′ — пространство обобщённых функций с компактным носителем. [Л]25. Общий вид линейного непрерывного функционала на L1 . [Л]26. Теорема о структуре обобщённых функций с компактным носителем. [Р, 6]27. Преобразование Фурье на классе S. [Х, 7.3], [КГ, IV.2.3]28. Обобщённые функции умеренного роста и их преобразование Фурье.29.

Разбиение единицы.Замечание. Звезданутый вопрос отличатеся тем, что он является необязательным, и на экзамене можнопросить его заменить.Литература[КФ] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,1981.[ЛС] Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.[РС] М.

Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. — М.: Мир, 1977.[Г]Н. И. Глазман. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальныхоператоров. — М.: Физматгиз, 1963.[Ш] Г. Е. Шилов. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Физматгиз, 1965.[КГ] А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани.

Теоремы и задачи функционального анализа. — М.: Наука, 1988.[ХР] Г. Г. Харди, В. В. Рогозинский. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959.[Вл] В. С. Владимиров. Обобщённые функции в математической физике. М.: Наука, 1976.[ГШ] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. Обобщённые функции.

— М.: Физматгиз, 1959.[Р]У. Рудин. Основы функционального анализа. — М.: Мир, 19??.[Х]А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004.[Л] А. М. Стёпин. Лекции. — http://dmvn.mexmat.net, 2004–2005.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.