Официальная шпаргалка для экзамена

При доказательстве принципа экстремума для полосы:ПАМЯТКА — 2011к экзамену по курсу«Уравнения математической физики»v(x, t) =Линейное уравнение 2-го порядка в Rn :nXi,j=1(D − d) + M − u(x, t),d=infu(x, t),R×[0,T ]R×[0,T ]∂u∂ u++ cu = f (x1 , . . . , xn ).bi∂xi ∂xj∂xii=1aijD = sup u(x, t),nX22a2 tx2+l2l2M = sup u(x, 0).RФормулы векторного анализа:ZZ(A(y), νy ) dsy = div A(x) dx,Z∂udsy =∂νy∂udsy =v∂νyZΩ∂Ωuv(x) = u(x) +Z∆u(x) dx,(Гаусс)Ω∂ΩZ (GO)Ω∂ΩZВ принципе экстремума для гармонических функций:∂u∂v−v∂νy∂νyZ Xn∂u ∂vv∆u dx +dx,∂xi ∂xii=1(Грин 1)ΩФундаментальное решение уравнения Лапласа:1ln |x|,2πE(x) =1 −,ωn (n − 2) |x|n−2(u∆v − v∆u) dx.

(Грин 2)dsy =Фундаментальная формула Грина:ZE(x − y)∆u(y) dy +u(x) =ΩZ Простейшая одномерная задача теплопроводности с классическими краевыми условиями:u = a2 uxx ,0 < x < l, t > 0, tΓ0 (u) = 0, Γ1 (u) = 0,u(x, 0) = ϕ(x).+∂E(x − y)∂u(y)u(y) − E(x − y)∂νy∂νy(x, t),1F (t) = 22aТеорема о среднем для гармонических функций:Zlv 2 (x, t) dx.u(y) dsy .Решение задачи Дирихле для ур-я Пуассона:Zu(x) =Принцип экстремума для уравнения теплопроводности впрямоугольнике — вспомогательная функция:A−M(x − x0 )2 ,2l2Z1ωn Rn−1|y−x|=R0v(x, t) = u(x, t) +dsy(при выводе использовать 2-ю формулу Грина).При доказательстве теоремы единственности:(2)∂Ωu(x) =(x, t) − un > 3,2π n/2n π n/2=.Γ(n/2)(n/2)!где ωn =ΩОбщая смешанная задача для ур-я теплопроводности:ut = a2 ∆u, u = u(x, t), x ∈ Ω, t > 0, ∂u αu + β= µ ,∂νy ∂Ω∂Ω u(x, 0) = ϕ(x).v(x, t) = un = 2,Z∂Ω(1)D−M|x − a|2 .8R2ZG(x, y)f (y) dy +Ω∂G(x, y)ϕ(y) dsy .∂νy∂ΩФормула Пуассона для шара:A > M,l ≡ l2 − l1 .Интеграл типа Эйлера–Пуассона:u(x) =R2 − |x|2ωn RZϕ(y) dsy,|y − x|n|y|=R+∞rZπ − β2−αx2ecos βx dx =e 4α .α−∞Формула Пуассона в одномерной теплопроводности:u(x, t) = √При ее выводе:14a2 πtU (ξ, t) =+∞Z(x−s)2ϕ(s) e− 4a2 t ds.−∞+∞Zu(x, t) e−iξx dx.−∞|x|Ry−x ,R|x|при ее выводе G(x, y) = E(x − y) − E∂G∂G рассматривается, затем.∂yk∂νy |y|=RНеравенство Харнака:R n−2 (R + |x|)R n−2 (R − |x|)u(0)6u(x)6u(0)(R + |x|)n−1(R − |x|)n−1(доказательство через нер-во 4-ка и ф-лу Пуассона).Оператор ЛапласаПолиномы Лежандраа) сферически-симметричный случай в Rn1 dn−1 du(r)∆u = n−1r;rdrdrPn (t) =1 dn 2(t − 1)n ,2n n! dtnn = 0, 1, 2, .

. . .Явная запись нескольких первых полиномов:б) в полярных координатах на плоскости1 ∂∂u1 ∂2u∆u =;r+ 2r ∂r∂rr ∂ϕ2P0 (t) = 1,в) в цилиндрических координатах в пространстве∂2u1 ∂∂u1 ∂2u+;∆u =r+ 22r ∂r∂rr ∂ϕ∂z 2г) в сферических координатах в пространстве1 ∂1∂∂u1∂2u∂u∆u = 2.r2+ 2sin θ+ 2 2r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2Цилиндрические функцииУравнение Бесселя индекса ν ∈ R :x2 w00 (x) + x w0 (x) + (x2 − ν 2 )w(x) = 0.Решение:w(x) = C1 Jν (x) + C2 Nν (x).P3 (t) =P1 (t) = t,1(5t3 − 3t),2P2 (t) =P4 (t) =1(3t2 − 1),21(35t4 − 30t2 + 3).8Обратные выражения:1 = P0 (t),t3 =t2 =t = P1 (t),1(3P1 (t)+2P3 (t)),5t4 =1(P0 (t) + 2P2 (t)),31(7P0 (t)+20P2 (t)+8P4 (t)).35Спектральная задача для уравнения Лежандра: d (1 − t2 ) dw(t) + λw(t) = 0,|t| < 1,dtdt|w(±1)| < ∞.Спектр: λn = n(n + 1), wn (t) = Pn (t), n = 0, 1, 2, .

. . .При ν > 0 имеемlim |Jν (x)| < ∞,lim |Nν (x)| = ∞.x→0+x→0+Запись функции Бесселя:Jν (x) =∞Xk=0(−1)k x 2k+ν.k! (k + ν)! 2−10,n 6= k,2,2n + 1n = k.Рекуррентные соотношения:Запись функции Неймана:Jν (x) cos πν − J−ν (x),sin πνNν (x) =Свойство ортогональности:Z1Pn (t)Pk (t) dt =ν∈/ Z,(n + 1)Pn+1 (t) − (2n + 1) t Pn (t) + nPn−1 (t) = 0,100Pn+1(t) − Pn−1(t)2n + 1для n = 1, 2, 3, . . . .Pn (t) =Nn (x) =1π∂∂.(Jν (x)) − (−1)n (J−ν (x)) ∂ν∂νν=nРекуррентные соотношения:а)Запись решенийd ν(x Jν (x)) = xν Jν−1 (x),dx1) Формулаd −ν(x Jν (x)) = −x−ν Jν+1 (x),dxνв) Jν0 (x) = Jν−1 (x) − Jν (x),xνг) Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x),xu(x, t) = f (x − at) + g(x + at)б)д) Jν−1 (x) − Jν+1 (x) = 2Jν0 (x),2νе) Jν−1 (x) + Jν+1 (x) =Jν (x).xСвойство ортогональности и нормы:ZRrJnγ γ jr Jnr dr = 0,RRkγk 6= γj ,выражает общее решение одномерного уравнения колебаний utt = a2 uxx .2) Формулаu(r, ϕ) = A0 +∞Xk=1 γ 2kr ≡JnRrJn2γkRr dr =2R(Jn+1 (γk ))2 .20Здесь γk , γj – положительные корни функции Jn (x).

r kRдает общий вид гармонической функции в круге r < Rв полярных координатах на плоскости.3) Формула0ZR(Ak cos kϕ + Bk sin kϕ)u(r, θ) =∞Xk=0Ck Pk (cos θ) r kRдает общий вид гармонической функции в шаре r < Rв случае зависимости от радиуса r и сферического угла θ..