М.А. Давыдова - Математические модели гидродинамики

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИКИI. Понятие о математической модели.II. Сплошные среды и способы их описания.1. Метод Лагранжа.2. Метод Эйлера.III. Математические модели жидких идеальных сред.1. Массовые и поверхностные силы.2. Общее уравнение движения жидкого объема.3. Напряжение в жидкой среде. Гидродинамическое давление идеальнойжидкости.4. Уравнения Эйлера.5. Модели жидких идеальных сред.6. Начальные и граничные условия.IV.

Математические модели жидких вязких сред.1. Понятие вязкой жидкости.2. Теорема Коши-Гельмгольца. Понятие тензора скоростей деформации и тензоранапряжений.3. Закон Навье-Стокса.4. Модели жидких вязких сред.5. Начально-краевые задачи.V.

Частные случаи и примеры.1. Основные свойства потенциального движения несжимаемой жидкости водносвязных областях (свойства гармонических функций: принцип максимума,теорема о среднем; простейшие внутренние краевые задачи для уравненияЛапласа).2. Плоские задачи о движении тел в идеальной жидкости (примеры постановоквнешних краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа).3. Стационарное течение вязкой однородной жидкости в трубах:а) течение в трубах с круговым и эллиптическим сечениями (краевая задачаДирихле для уравнения Лапласа в круге);б) течение в трубе с прямоугольным сечением и течение в плоском канале ствердыми стенками (краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа впрямоугольнике).4. Распределение скоростей в идеальной несжимаемой жидкости приускоренном движении сферы (краевая задача Неймана для уравнения Лапласа внешара).5.

Нестационарное течение вязкой однородной жидкости в трубе с круговымсечением (начально-краевая задача Дирихле для уравнения теплопроводности вкруге).6. Нестационарные слоистые течения:а) тангенциальный разрыв (задача Коши для уравнения теплопроводностина бесконечной прямой);б) движение твердой поверхности (начально-краевая задача Дирихле дляуравнения теплопроводности на полупрямой);в) течение под действием касательного напряжения (простейшеемоделирование морского течения в приповерхностном слое под действием ветрапостоянной силы), (начально-краевая задача Неймана для уравнениятеплопроводности на полупрямой).11. ВВЕДЕНИЕ.

1.1. Понятие о математической модели. Математическая физикаизучает процессы реального мира с помощью математических моделей, которыеполучаются на основе законов физики. Любая математическая модель являетсяприближенной, не адекватной полностью тому процессу, который она описывает.

Присоставлении математической модели стремятся к тому, чтобы она наиболее полноотражала сам процесс. Однако математическая модель должна быть достаточно простойдля изучения, должна давать возможность извлечь из нее доступными методами полезнуюинформацию о процессе. Поэтому какие-то факторы, влияние которых на процесс мало,неизбежно не учитываются, и они оказываются не представленными в математическоймодели.Математическая модель включает в себя замкнутую систему уравнений(количество уравнений равно количеству неизвестных функций) и дополнительныеусловия, которые состоят из начальных распределений (начальных условий) и краевых(граничных) условий. Таким образом, рассмотрение задач математической физикисводится к исследованию начально-краевых задач для систем уравнений, как правило, вчастных производных.

Далее будут обсуждаться математические модели,соответствующие процессам в сплошных жидких средах, а также применение методовматематической физики при решении задач гидродинамики.1.2. Сплошные среды и способы их описания. Введение понятия сплошной средыпозволяет не учитывать молекулярное строение вещества при последующемрассмотрении процесса, что существенно упрощает процедуру описания гидрофизическихявлений.

Само понятие сплошной среды вводится через определение жидкой частицы,которая является неделимым элементом сплошной среды. В качестве жидкой частицыможно выбрать малый объем жидкости, линейный размер которого l сравним снаименьшим фиксируемым размером, и имеет порядок размера регистрирующегодатчика. Величина l много больше размеров молекул, но много меньше размеровокружающих нас объектов. Поэтому, являясь для наблюдателя точкой, жидкая частицазаключает в себе большое количество молекул и атомов. Благодаря изменению расстояниямежду жидкими частицами происходит изменение внешней конфигурации объема,причем при своем движении жидкие частицы также деформируются.

Осредняя по объемуl 3 физические характеристики среды, такие как плотность, температура, скорость и т.д.,получаем плотность, температуру, скорость соответствующей жидкой частицы (средниевеличины будем называть гидродинамическими, подробнее см. например [1]). Такимобразом осуществляется переход от дискретной среды к сплошной.При описании жидких сред в основном используются два подхода.

С точки зренияметода Лагранжа объектом изучения являются жидкие частицы, рассматриваемые какматериальные точки, сплошь заполняющие объем с жидкостью. При этом исследуется:-как изменяются различные векторные и скалярные величины, связанные сконкретной частицей, с течением времени;-как изменяются эти величины при переходе от одной частице к другой.Если ( x0 , y 0 , z 0 ) -координаты частицы в начальный момент времени t  t 0относительно некоторой системы координат, то в любой другой момент времени t  t 0координаты частицы ( x, y, z ) будут функциями не только времени t , но и начальногоположения частицы:x  1 (t , x0 , y 0 , z 0 ),y   2 (t , x0 , y 0 , z 0 ), z   3 (t , x 0 , y 0 , z 0 ).При t  t 0 имеемx0  1 (t 0 , x 0 , y 0 , z 0 ),y 0   2 (t 0 , x0 , y 0 , z 0 ), z 0   3 (t 0 , x 0 , y 0 , z 0 ).2Вместо ( x 0 , y 0 , z 0 ) можно рассматривать любые другие величины (a, b, c) ,однозначно связанные с ( x 0 , y 0 , z 0 ) :a   1 ( x0 , y 0 , z 0 ), b   2 ( x 0 , y 0 , z 0 ), c   3 ( x0 , y 0 , z 0 ).Совокупность величин (t , a, b, c) называется переменными Лагранжа.Введя переменные Лагранжа можно определить значения скалярных и векторныхвеличин, связанных с конкретной частицей.

Координаты некоторой частицы задаютсясоотношениямиx  f 1 (t , a, b, c),y  f 2 (t , a, b, c), z  f 3 (t , a, b, c).При вычислении компонентов скорости и ускорения частицы пользуются символомчастной производной, подчеркивая этим то, что производные вычисляются длярассматриваемой частицы среды (при фиксированных значениях (a, b, c) ): 2 x   2 f1 x  f 1 vx  , wx  2   2  ,t  t  a ,b ,ct t  a ,b ,c2 y  2 f y  f 2 vy  , w y  2   22  ,t  t  a ,b ,ct t  a ,b ,cz  f 3  2 z   2 f3 vz  , wz  2   2  .t  t  a ,b ,ct t  a ,b ,cДля полной характеристики состояния жидкости необходимо знать давление p иплотность  , как функции переменных Лагранжа:p  p (t , a, b, c),    (t , a, b, c).Объектом изучения в случае метода Эйлера является не сама жидкость, анеподвижное пространство, заполненное жидкостью.

При этом изучается:-изменение различных характеристик движения в фиксированной точкепространства с течением времени;-изменение этих характеристик при переходе к другим точкам пространства.В данном случае векторные и скалярные характеристики движения зависят отпеременных (t , x, y, z ) , называемых переменными Эйлера. В частности, компонентывектора скорости могут быть заданы какv x  F1 (t , x, y, z ), v y  F2 (t , x, y, z ), v z  F3 (t , x, y, z ).Вектор ускорения вычисляется по формуле (подробнее см. [2])dv v ( v, )v ,dt tгде   e x(1.1) ez ey, где e x , e y , e z - координатные орты.yzx31.3. Основные уравнения. Получим уравнение движения некоторого жидкогообъема V (объема, содержащего одни и те же частицы), выделенного внутри движущейсяжидкости. Для этого подсчитаем действующие на него силы.Состояние движения жидкой среды изменяется под влиянием взаимодействиячастиц друг с другом и с телами, внешними по отношению к рассматриваемому объему сжидкостью.

В результате такого взаимодействия возникают силы, которые делят на дваосновных типа: массовые и поверхностные. Силы, распределенные по объему ипропорциональные массам частиц, называются массовыми (напр. сила тяжести, силаинерции и др.). Если F  X, Y, Z  вектор массовой силы, отнесенный к единице массы,то на элемент объема d действует сила Fd , где  ( x, y, z , t )  плотность жидкости.Следовательно, массовая сила, действующая на объем V равнаFd   Xd , Yd , Zd .VVVVНапример, в случае силы тяжести F  g , где g - вектор ускорения свободного падения.Поверхностные силы, в отличие от массовых, распределены по поверхности. Силывзаимодействия частиц рассматриваемого объема с окружающей средой, приложенные кповерхности раздела или силы, с которыми взаимодействуют частицы внутрирассматриваемого объема через разделяющие их воображаемые поверхности, называютсяповерхностными.

Пусть ds  элемент достаточно гладкой поверхности S ,ограничивающей объем V , n - нормаль к поверхности S , внешняя по отношению кобъему V . Вектор поверхностных сил p n , отнесенный к единице площади, называетсянапряжением. В общем случае p n зависит от положения и ориентации сечения впространстве и от времени. Поскольку ds - элемент двухсторонней поверхности, то к dsможно задать две нормали: n и - n . Со стороны внешних, по отношению к объему V ,частиц к внешней стороне элемента ds будет приложена поверхностная сила p n ds . Состороны частиц объема к внутренней стороне этого же элемента поверхности приложенасила p -n ds .

В силу 3-го закона Ньютона: p -n  p n . Если угол между нормалью n кповерхности и напряжением p n острый, то нормальная составляющая вектора p nназывается нормальным напряжением; если угол является тупым, то нормальнаясоставляющая называется давлением. Касательная к поверхности составляющая вектораp n называется касательным напряжением или силой внутреннего трения (силойвязкости).В соответствие со 2-м законом Ньютона имеет место уравнениеF  I d  0,где F - равнодействующая сила, приложенная к материальной точке массы m , I d  ma даламберова сила инерции, которую следует интерпретировать как сопротивление,оказываемое инертной массой, изменению своего движения, то есть ускорению,вызванному другим объектом. Таким образом, в каждый момент движения все силы,приложенные к материальной точке, взаимно уравновешиваются. В этом состоит принципДаламбера, который справедлив и для материальных систем.

Применив принципДаламбера к жидкому объему V , получаем общее уравнение движения жидкого объема (F - w) d   p ds  0,(1.2)nVS4где p n - напряжение, приложенное к внешней стороне поверхности S ; w - ускорениежидкого объема единичной массы. Если в трех сечениях, образующих трехгранный уголдруг с другом (для определенности будем считать, что сечения совпадают скоординатными плоскостями некоторой декартовой системы координат), напряжения p X ,p Y и p Z . известны, то напряжения p n во всех других сечениях, проходящих через этуточку, могут быть определены по формулеp n  p X   p Y  p Z ,(1.3)где  ,  ,    cos(n, e x ), cos(n, e y ), cos(n, e z )  косинусы углов между нормалью n крассматриваемому сечению и координатными ортами e x , e y и e z (подробнее см.