В.П. Моденов - Дифференциальные уравнения (курс лекций), страница 9

Ïóñòü:1) y=0 - òî÷êà ïîêîÿ àâòîíîìíîé ñèñòåìû âèäàdy= Ay + R(y), ãäåA = ||aij ||, aij − const;dt2)|R(y)| 6 C|y|2 ;(*)3) âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ A èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè:Reλi < 0, ∀i.Òîãäà òðèâèàëüíîå ðåøåíèå y = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü îáîáùåí.65Óòâåðæäåíèå (4). Ïóñòü:1) y=0 - òî÷êà ïîêîÿ àâòîíîìíîé ñèñòåìû âèäàdy= Ay + R(y); ãäåA = ||aij ||, aij − const;dt2)|R(y)| 6 C|y|1+α , ∀α > 0, c − const;(**)3) âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ A èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè:Reλi < 0, ∀i.Òîãäà òðèâèàëüíîå ðåøåíèå y = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.Ïðèìåð.(y˙1 = −y1 − y13 ,y˙2 = −2y2 − y23 ;det(A − λE) = 0A=µ¶−1 0;0 −2¯¯¯¯−1 − λ0¯ = 0,¯¯ 0−2 − λ¯ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿλ1 = −1, λ2 = −2;qR(y) = |y| = y12 + y22 ;|R(y1 , y2 )| =qqy16 + y26 6 (y12 + y22 )3 = |y|3 .Èòàê, |R(y)| 6 |y|3 .

Ñëåäîâàòåëüíî, y = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâàÿ òî÷êà ïîêîÿ.Óòâåðæäåíèå (5). Ïóñòü:1) y=0 - òî÷êà ïîêîÿ íåàâòîíîìíîé ñèñòåìû âèäàdy= Ay + R(y, t), ãäå A = ||aij ||, aij - onst;dt2)|R(y, t)| 6 C|y|1+α ∀α > 0, C - onst;(**)3) âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ A èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè:Reλi < 0, ∀i.Òîãäà òðèâèàëüíîå ðåøåíèå y = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.666.4Âòîðîé ìåòîä Ëÿïóíîâà.Ïóñòü íîðìàëüíàÿ ñèñòåìàdy= f (y, t),dty = (y1 , · · · , yn ),f = (f1 , · · · , fn )(*)èìååò òî÷êó ïîêîÿ y = 0, ò.å. f (0, t) ≡ 0.

àññìîòðèì ýòó ñèñòåìó â îêðåñòíîñòèòî÷êè ïîêîÿ Ω = {y : |y| 6 a}.Ôóíêöèþ V (y), y ∈ Ω, õàðàêòåðèçóþùóþ óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû (*), íàçûâàþòóíêöèåé Ëÿïóíîâà .Îïðåäåëåíèå 6.7. V (y) - ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà â Ω ⇐⇒Def⇐⇒Def½V (y) > 0,∀y ∈ Ω;V (y) = 0 ⇐⇒ y = 0.Ïóñòü V (y) - ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â Ω.Òîãäà, ïðè n = 2, Ω - îáëàñòü àçîâîé ïëîñêîñòè è ãðàèê V (y) èìåþò âèä:Ëåììà 6.1 ("a"). Âíóòðè ëþáîé ε - îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò íàéäåòñÿ"ëèíèÿ óðîâíÿ ε1 "óíêöèè V (y) : V = ε1 , ÷òîV (y)||y|=ε > ε1 .(à)Ëåììà 6.2 ("á"). Âíóòðè ëþáîé "ëèíèè óðîâíÿ ε2 "óíêöèè V (y): V (y) = ε2íàéäåòñÿ δ - îêðåñòíîñòü íà÷àëà êîîðäèíàò, ÷òîV (y)||y|6δ 6 ε2 .67(á)Çàìå÷àíèå.

Åñëè y = y(t) - òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (*), ò.å.dy= f (y, t),dtòî óíêöèÿW (y, t) = (gradV, f ) =∂V∂Vf1 (y, t) + · · · +fn (y, t)∂y1∂ynïðè y = y(t) (âäîëü òðàåêòîðèè)¯dV ¯¯W (y, t)|y=y(t) =- ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âäîëü òðàåêòîðèè.dt ¯y=y(t)Òåîðåìà 6.1 (òåîðåìà Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè). Ïóñòü â Ω ñóùåñòâóåòóíêöèÿ Ëÿïóíîâà V (y):1) V (y) - ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà;2) V (y) - íåïðåðûâíà ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè 1ãî ïîðÿäêà;3) W (y, t) = (gradV, f ) 6 0, ∀t > 0, ∀y ∈ Ω.Òîãäà òî÷êà ïîêîÿ y = 0 - óñòîé÷èâà.Äîêàçàòåëüñòâî (n = 2).Çàäàäèì ∀ε > 0.1.

àññìîòðèì ε - îêðåñòíîñòü íà÷àëà êîîðäèíàò â àçîâîé ïëîñêîñòè.Ïî Ëåììå "à"íàéäåòñÿ "ëèíèÿ óðîâíÿ ε1 "óíêöèè V (y) â ýòîé ε - îêðåñòíîñòè:V (y)||y|=ε > ε1 .(6.5)2. àññìîòðèì "ëèíèþ óðîâíÿ ε2 = ε21 "óíêöèè V (y).Ïî Ëåììå "á"íàéäåòñÿ δ - îêðåñòíîñòü íà÷àëà êîîðäèíàò, â êîòîðîé âûáðàâ òî÷êóy0 ïðè t = 0, |y0 | 6 δ , èìååì:ε1V (y0 ) 6 ,(6.6)268Ñëåäîâàòåëüíî,V (y)||y|=ε − V (y0 ) > ε1 −ε1>02(6.7)3. Âûïóñòèì èç òî÷êè y0 ïðè t = 0 òðàåêòîðèþ y(t) ñèñòåìû (*).Åñëè òî÷êà ïîêîÿ y = 0 íåóñòîé÷èâà, òî òðàåêòîðèÿ âûéäåò çà ïðåäåëû ε îêðåñòíîñòè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè t = T îíà ïåðåñå÷åò îêðóæíîñòü |y| = ε.Òîãäà èç íåðàâåíñòâà (6.7)ñëåäóåò, ÷òîV (y(T )) − V (y0 ) > 0.(6.8)4. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó Çàìå÷àíèÿ ïî óñëîâèþ (3)¯dV ¯¯W (y, t)|y=y(t) =6 0,dt ¯y=y(t)îòêóäàV (y(T )) − V (y0 ) =ZTdVdt 6 0dt0(ïîäûíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿ íåïðåðûâíà ïî óñëîâèþ (2) è íåïîëîæèòåëüíà).Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå ñ (6.8).Çíà÷èò, òðàåêòîðèÿ y = y(t), íà÷èíàþùàÿñÿ ïðè t = 0 â òî÷êå y0 èç δ - îêðåñòíîñòèy = 0, äëÿ âñåõ t > 0 îñòàåòñÿ â ε - îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò.À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà ïîêîÿ y = 0 óñòîé÷èâà.Òåîðåìà 6.1 äîêàçàíà.Òåîðåìà 6.2 (òåîðåìà Ëÿïóíîâà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè).Ïóñòü:1) Âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1 è 2 Ò6.1.2) ∀t > 0, ∀y ∈ Ω : W (y, t) 6 −W̃ (y) 6 0, ãäå W̃ (y) - ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ,íåïðåðûâíàÿ â Ω óíêöèÿ.Òîãäà òî÷êà ïîêîÿ y = 0 - àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.Äîêàçàòåëüñòâî 1.

Ïî Ò6.1 ðåøåíèå y = 0 - óñòîé÷èâî. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëèíà÷àëüíàÿ òî÷êà y0 äîñòàòî÷íî áëèçêà ê y = 0, òî ∀y(t) ∈ Ω ïî îïðåäåëåíèþïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé óíêöèèV |y=y(t) > 0, ∀t > 0.(6.9)2. Òàê êàê âäîëü òðàåêòîðèè y = y(t) â ñèëó Çàìå÷àíèÿ è óñëîâèÿ òåîðåìû 2)¯dV ¯¯= W (y, t)|y=y(t) 6 −W̃ (y(t)) 6 0,(6.10)dt ¯y=y(t)69òî V (y) âäîëü òðàåêòîðèè íå âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñíèçó â ñèëó íåðàâåíñòâà(6.9) íóëåì.

Çíà÷èò,∃ lim V (y(t)) = V̄ > 0.t→+∞3. Ïîêàæåì, ÷òî V̄ = 0.Ïóñòü V̄ > 0.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî V (y(t)) > V̄ > 0, ò.å. òðàåêòîðèÿ y(t) íàõîäèòñÿ âíå"ëèíèè óðîâíÿ V̄ "óíêöèè V (y). Ïî Ëåììå "á"âíóòðè "ëèíèè óðîâíÿ V̄ "åñòü δ- îêðåñòíîñòü íà÷àëà êîîðäèíàò.Ïî Ëåììå "à"âíóòðè δ - îêðåñòíîñòè åñòü "ëèíèÿ óðîâíÿ β "ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííîé íåïðåðûâíîé óíêöèè W̃ (y) òàêàÿ ,÷òîW̃ (y(t)) > β > 0èëè−W̃ (y(t)) 6 −β < 0(6.11)àññìîòðèì ðàçíîñòüV (y(t)) − V (y0 )dV(y(t∗ ))t = W (y(t∗ ), t∗ )t 6Çàìå÷.dt∗−W̃ (y(t ))t 6 −βt, (0 6 t∗ 6 t).ò. î ñðåäí.=6óñë. (2)(6.11)Îòñþäà V (y(t)) → −∞ ïðè t → +∞.Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò (6.9), ñëåäîâàòåëüíî, V̄ = 0, òî åñòülim V (y(t)) = 0.t→+∞(6.12)4.

Äîêàæåì, ÷òî lim y(t) = 0.t→+∞Åñëè ýòî íå òàê, òî ïðè t → +∞ òî÷êè òðàåêòîðèè y = y(t) îñòàþòñÿ âíå íåêîòîðîéε - îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïî Ëåììå "à"â ε -îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàòíàéäåòñÿ "ëèíèÿ óðîâíÿ ε1 "óíêöèè V (y):V (y(t)) > V ||y|=ε > ε1 > 0íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò (6.12).Ñëåäîâàòåëüíî, lim y(t) = 0. Ïî îïðåäåëåíèþ îçíà÷àåò ÷òî, òî÷êà ïîêîÿ y = 0 t→+∞àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.Òåîðåìà 6.2 äîêàçàíà.70Ïðèìåð 1.(y˙1 = −y2 − y13 ,y˙2 = y1 − y23 .Ïîëîæèì V = y12 + y22 .ÒîãäàW (y, t) = (gradV, f ) = 2y1 (−y2 − y13 ) + 2y2 (y1 − y23 ) == −2(y14 + y24 ) = −W̃ (y1 , y2 ) 6 0Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà ïîêîÿ y = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.Çàìå÷àíèå. Ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó÷èòü ïî "ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ"íåëüçÿ, ò.ê.Reλ1,2 = 0.Ïðèìåð 2.(y˙1 = −y1 − y13y˙2 = −2y2 − y23Ïîëîæèì V = y12 + y22ÒîãäàW (y, t) = (gradV, f ) = 2y1 (−y1 − y13 ) + 2y2 (−2y2 − y23 ) == −(2y12 + 2y14 + 4y22 + 2y24 ) = −W̃ (y1 , y2 ) 6 0Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà ïîêîÿ y = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.Çàìå÷àíèå.

Òîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü èññëåäîâàíèåì ïî "ïåðâîìóïðèáëèæåíèþ".Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ λ1 = −1, λ2 = −2îòðèöàòåëüíûå, |R| 6 |y|3 .71ëàâà 7àçíîñòíûé ìåòîä ðåøåíèÿäèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.7.1ÄèåðåíöèàëüíàÿÝéëåðà.èðàçíîñòíàÿçàäà÷èÎïðåäåëåíèå 7.1. Äèåðåíöèàëüíàÿ çàäà÷à Ýéëåðà ⇐⇒DefLy =½ dydx¾ ½ ¾0− f (x, y)=ϕ=y0y(x0 )Îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ:(x0 , x1 , · · · , xN ) ⇐⇒ ñåòêà ;Defxn (n = 0, N ) ⇐⇒ óçëû ñåòêè ;xn+1 − xn =DefH=Nh ⇐⇒ øàã ñåòêè ;Def72(7.1)[y]h = {y(x0 ), y(x1 ), · · · , y(xN )} ⇐⇒ - ðåøåíèå äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è ÝéëåðàDef(7.1) â óçëàõ ñåòêè;(h)y = (y0 , y1 , · · · , yN ) ⇐⇒ ñåòî÷íûå óíêöèè , îïðåäåëåííûå íà ñåòêå.DefÇàìåíèìïðîèçâîäíóþîòíîøåíèåì :y ′ (xn ) ≈âóçëåxnñåòêèïðèáëèæåííûìðàçíîñòíûìyn+1 − ynyn+1 − yn=, (n = 0, 1, · · · , N − 1).xn+1 − xnhÒîãäà äèåðåíöèàëüíàÿ çàäà÷à (7.1) çàìåíÿåòñÿ ðàçíîñòíîéÝéëåðà :¾ ½ ¾½ yn+1 −yn(h)(h)0− f (xn , yn )h== ϕLh y =0yy0çàäà÷åé(7.2)Îïðåäåëåíèå 7.2. àçíîñòíóþ çàäà÷ó (7.2) íàçûâàþò ðàçíîñòíîé ñõåìîéÝéëåðà.(yn+1 = yn + hf (xn , yn ),òî ýòî - ÿâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà.Òàê êàêy0 = y 0Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðåøåíèÿ çàäà÷ (7.1) è (7.2) ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû.7.2Ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè ñåòî÷íûõ óíêöèé.Îïðåäåëåíèå 7.3.

àâíîìåðíàÿ (÷åáûøåâñêàÿ) íîðìà ñåòî÷íûõ óíêöèé° °°(h)°y ° = max |yn |⇐⇒ °06n6NDef ° °(h)Îïðåäåëåíèå 7.4 (ñõîäèìîñòè). åøåíèå y ðàçíîñòíîé çàäà÷è (7.2)ñõîäèòñÿ ïðè h −→ 0 ê ðåøåíèþ äèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è (7.1), åñëè°°°°°[y]h − (h)y°° −→ 0°h→0Åñëèâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî°°°(h)°°[y]h − y ° 6 Chk , ãäå C > 0, k > 0 − êîíñòàíòû,°°êðîìå òîãîòî ãîâîðÿò, ÷òî èìååò ìåñòî7.3ñõîäèìîñòü ïîðÿäêà k.Ïîíÿòèå àïïðîêñèìàöèè.Òî÷íîå ðåøåíèåçàäà÷è (7.1) íà ñåòêå [y]h , âîîáùå ãîâîðÿ íå ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì(h)y ðàçíîñòíîé çàäà÷è (7.2).73Ïîýòîìó ïðè ïîäñòàíîâêå [y]h â (7.2) âîçíèêàåò íåâÿçêà :(h)(h)Lh [y]h = ϕ + δ ϕ ⇐⇒|{z}íåâÿçêà(h)⇐⇒ δ ϕ =(h)Lh [y]h − ϕ .Îïðåäåëåíèå7.5.(àïïðîêñèìàöèèðàçíîñòíîéçàäà÷åéäèåðåíöèàëüíîé çàäà÷è).îâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ çàäà÷à (7.2) àïïðîêñèìèðóåò äèåðåíöèàëüíóþçàäà÷ó (7.1), åñëè (íîðìà íåâÿçêè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè h −→ 0)° °°(h)°° ϕ ° −→ 0 ïðè h → 0.° °Åñëè,, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî äëÿ íîðìû íåâÿçêè° °°(h)°° ϕ ° 6 Chk , ãäå C > 0, k > 0 − êîíñòàíòû,° °êðîìå òîãîòî ãîâîðÿò, ÷òî èìååò ìåñòîàïïðîêñèìàöèÿ ïîðÿäêà k.Óòâåðæäåíèå (1).

Ñõåìà Ýéëåðà (7.2) èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè.Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü ∀x ∈ [x0 , x0 + H]:|y ′′ (x)| 6 2C, ãäå C>0 - êîíñòàíòà.Âû÷èñëèì è îöåíèì íåâÿçêó, ïðèìåíèâ îðìóëó Òåéëîðà:½ y(xn +h)−y(xn )¾ ½ ¾(h)(h)0−f(x,y(x))nnhδ ϕ = Lh [y]h − ϕ =− 0 =yy(x0 )) ½ ¾(h2 ′′ ∗′hy (xn )+ 2 y (x )− f (xn , y(xn )) − 0 =h=y0y(x0 )° °½ 1 ′′ ∗ ¾° (h)°y (x )h12°ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ðàâåí 1.=⇒ °=°δ ϕ ° < Ch ⇐⇒0def(ò.ê.7.4|y ′′ (x∗ )|62C)Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû.àññìîòðèì äâå ðàçíîñòíûå ñõåìû(h)(h)(h)(h)(7.2)Lh y = ϕ ,(h)(7.2′ )Lh z = ϕ + ε .(h)(h)Âòîðóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó (7.2′ ) íàçûâàþò âîçìóùåííîé âîçìóùåíèåì ε . ( εâõîäÿò âîçìóùåíèÿ è ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé (7.2) è íà÷àëüíûõ óñëîâèé.)Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðåøåíèÿ çàäà÷ (7.2) è (7.2′ ) ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû.74Îïðåäåëåíèå 7.6.

àçíîñòíàÿ ñõåìà (7.2) íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîé, åñëè∃h0 , ∀h 6 h0 :°° °°° °°(h) (h)°°° z − y ° 6 C1 °(h)°° ε ° , ãäå C1 > 0 - êîíñòàíòà.°Ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: "àïïðîêñèìàöèÿ + óñòîé÷èâîñòü =⇒ ñõîäèìîñòü".Òåîðåìà 7.1. Ïóñòü:1) ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (7.2) àïïðîêñèìèðóåò äèåðåíöèàëüíóþ çàäà÷ó (7.1) ñïîðÿäêîì k (ñ êîýèöèåíòîì C),2) ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (7.2) óñòîé÷èâà (ñ êîýèöèåíòîì C1 ).Òîãäà ðåøåíèå ðàçíîñòíîé çàäà÷è (7.2) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèåðåíöèàëüíîéçàäà÷è (7.1) ñ ïîðÿäêîì ñõîäèìîñòè k, ïðè÷åì âåðíà îöåíêà°°°(h)°°[y]h − y ° 6 CC1 hk .°°Äîêàçàòåëüñòâî Ïî óñëîâèþ 1):° °° (h)°k°Lh [y]h = ϕ + δ ϕ , ãäå °°δ ϕ ° 6 Ch .(h)(h)(7.3)(îöåíêà äëÿ íåâÿçêè)(h)(h)(h) ñèëó óñëîâèÿ 2),åñëè [y]h = z , à δ ϕ = ε ,°° °°° (h)°°(h)°°°°òî ∃h0 , ∀h 6 h0 : °− y ° 6 C1 °°ε°°°° °°° (h)°(h)°k°°°⇐⇒ °[y]h − y ° 6 C1 °°δ ϕ ° 6 CC1 h , ÷.ò.ä.(7.3)Âûâîä: ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè óòîé÷èâîé ñõåìû ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîìàïïðîêñèìàöèè.Óòâåðæäåíèå (2).

Ñõåìà Ýéëåðà (7.2) óñòîé÷èâà.Äîêàçàòåëüñòâî àññìîòðèì íåâîçìóùåííóþ è âîçìóùåííóþ ðàçíîñòíûåñõåìû:(h)Lh y =½ yn+1 −ynh¾ ½ ¾0− f (xn , yn )=;y0y0| {z }(n = 0, 1, · · · , N − 1)(h)ϕ(h)Lh z =½ zn+1 −znh¾ ½ ¾ ½ ¾0εn− f (xn , zn )=0 +yε0 .z0| {z } | {z }(h)ϕ(h)εÎáîçíà÷èì wn = zn − yn . Ïîëó÷èì:#"zn}|{zw−w n+1 n − f (x , y + w ) − f (x , y ) nn nn n ½ ¾ hε= n|{z}ε0F (wn )w075Ïóñòü:Îöåíèì wn :¯ ¯¯ ∂f ¯¯ ¯<K¯ ∂y ¯=⇒-ëà Ëàãðàíæà êîíå÷í.