Поток 2 (Вопросы к коллоквиуму)

Вопросы к коллоквиуму по курсу “Методы математическойфизики” (2015-второй поток).В билете будет 5 вопросов.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.Сформулируйтелеммуоповедениирешенийуравнения( k ( x )u '( x )) ' q( x )u  0, x  ( a , b) , где k ( x )  ( x  a ) ( x ),  ( a )  0 , в особыхточках.Напишите уравнение Бесселя, его фундаментальные системырешений — вещественную и комплексную. Дайте определение функций,входящих в эти системы решений, для вещественной системы приведитеграфики функций.Дайте определение функции Бесселя с помощью обобщенногостепенного ряда.

Напишите формулы для функций Бесселя порядков 1/2 и 1/2. Всегда ли функции Бесселя полуцелого порядка можно выразить черезэлементарные функции?Дайте определение функций Ханкеля и Неймана. Напишитеинтегральное представление для функции Бесселя и функций Ханкеляпервого и второго рода. Как связаны между собой эти функции? Приведитеграфик функции Неймана.Напишите асимптотические формулы при больших и малых значенияхаргумента для функций Бесселя, Неймана и Ханкеля. Каким образомполучают эти формулы?Поставьте задачу на собственные значения для оператора Бесселя.Сформулируйте теорему Стеклова о разложимости функций по собственнымфункциям этой задачи. Напишите общую формулу для квадрата нормысобственной функции.Напишите уравнение для цилиндрических функций чисто мнимогоаргумента.

Приведите фундаментальную систему решений этого уравнения.Дайте определение функции Инфельда и Макдональда, приведите ихграфики. Укажите поведение этих функций при больших и малых значенияхаргумента.Дайте определение классических ортогональных полиномов.Напишите уравнение которому удовлетворяют эти функции. Сформулируйтетеорему о нулях классических ортогональных полиномов.Поставьте задачу на собственные значения для классическихортогональных полиномов на отрезке с условиями в особых точках.Напишите формулу для собственных значений этой задачи. Как получаютэту формулу?Напишите общую формулу для классических ортогональныхполиномов (формулу Родрига). Как она выводится? Приведите формулу11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.Родрига для полиномов Лежандра.

С ее помощью постройте Р0 и Р1.Дайте определение полиномов Лежандра. Поставьте задачунасобственные значения для полиномов Лежандра. Напишите выражение длясобственных значений этой задачи и выражение квадрата нормы дляполиномов Лежандра. Как получают эти выражения?Дайте определение полиномов Лагерра и полиномов Эрмита.Сформулируйте задачи, решениями которой они являются.Дайтеопределениепроизводящейфункцииклассическихортогональных полиномов.

Напишите выражение производящей функцииполиномов Лежандра. Как получают это выражение?Является ли система полиномов Лежандра замкнутой и полной?Обоснуете соответствующие утверждения. Сформулируйте теоремуСтеклова для полиномов Лежандра.Дайте определение присоединенных функций Лежандра. Поставьтезадачу на собственные значения для присоединенных функций Лежандра.Напишите собственные значения для присоединенных функций Лежандра ивыражение для квадрата нормы.Является ли система присоединенных функций Лежандра замкнутой иполной? Сформулируйте соответствующие утверждения. Сформулируйтетеорему Стеклова для присоединенных функций Лежандра.Дайте определение сферических функций.

Поставьте задачу насобственные значения для этих функций. Напишите условиеортогональности для сферических функций. Приведите выражение квадратанормы. Сформулируйте теорему Стеклова о разложимости в ряд посферическим функциям.Поставьте задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа в круге вслучае граничных условий 1-ого и 2-ого рода. Приведите характеристическиеуравнения для определения собственных значений задач Штурма-Лиувилля вэтих случаях и напишите собственные функции.Поставьте задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа сграничными условиями Дирихле и перечислите основные свойствасобственных функций и собственных значений этой задачи.Напишите первую, вторую и третью формулы Грина.

Каковы условияих применимости? В чем различие третьей формулы Грина для двумерного итрехмерного случая.Сформулируйте теорему Гаусса и теорему о среднем длягармонических функций. Сформулируйте принцип максимума и принципсравнения для этих функций.Имеет ли место единственность решения внутренней краевой задачидля уравнения Лапласа в случае граничных условий первого, второго итретьего рода? Сформулируете утверждения и объясните, каким методом онидоказываются.Что такое характеристики уравнения в частных производных второгопорядка в случае двух переменных? Приведите уравнения характеристик иобъясните, откуда они следуют для случая гиперболического уравнения.24.Дайте определения уравнений эллиптического, гиперболического ипараболического типов в случае двух переменных и в случае многихпеременных.

Напишите для них канонические формы..