Поток 1 (Вопросы к коллоквиуму)

Вопросы к коллоквиуму по курсу “Методы математической физики”(2015 год, первый поток)В билете 5 вопросов, по одному из каждого раздела. Разделы отделены чертой.поведениирешенийуравнения( k ( x )u '( x )) '− q( x )u = 0, x ∈ ( a, b) , где k ( x ) = ( x − a )ϕ ( x ), ϕ ( a ) ≠ 0 , вособых точках. Как она доказывается?2.Напишите уравнение Бесселя, его фундаментальные системы решений.

Дайтеопределение функций, входящих в эти системы решений, приведите графикифункций Бесселя и Неймана.3.Дайте определение функции Бесселя с помощью обобщенного степенного ряда.Напишите формулы для функций Бесселя порядков 1/2 и -1/2. Всегда ли функцииБесселя полуцелого порядка можно выразить через элементарные функции?4.Дайте определение функций Ханкеля и Неймана. Напишите интегральноепредставление для функции Бесселя и функций Ханкеля первого и второго рода.Как связаны между собой эти функции? Приведите график функции Неймананулевого порядка. Могут ли функции Ханкеля иметь вещественные нули?--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.Напишите асимптотические формулы при больших и малых значениях аргументадля функций Бесселя, Неймана и Ханкеля.

Покажите, что все нули функцииБесселя, кроме, быть может, х=0, простые.6.Дайте определение собственных функций круга. Напишите характеристическоеуравнение для определения собственных значений в случае граничных условийтретьего рода. Напишите выражение для квадрата нормы.7.Напишите уравнение для цилиндрических функций чисто мнимого аргумента.Приведите фундаментальную систему решений этого уравнения. Дайтеопределение функции Инфельда и Макдональда, приведите их графики.

Укажитеповедение этих функций при больших и малых значениях аргумента.8.Какие из цилиндрических функций образуют пары линейно-независимых решенийуравнения Бесселя? Напишите выражения для определителя Вронского дляфункций Бесселя положительного и отрицательного порядков, для функцийБесселя и Неймана, для функций Бесселя и Ханкеля._____________________________________________________________________________9.Дайте определение классических ортогональных полиномов. Напишите уравнение,которому удовлетворяют эти функции. Сформулируйте теорему о нуляхклассических ортогональных полиномов.

Образуют ли производные КОП системуКОП, если да, то с каким весом? Откуда это следует?10.Поставьте задачу на собственные значения для классических ортогональныхполиномов на отрезке с условиями в особых точках. Напишите формулу длясобственных значений этой задачи. Как получают эту формулу?11.Напишите общую формулу для классических ортогональных полиномов (формулуРодрига).

Приведите формулу Родрига для полиномов Лежандра. С ее помощьюпостройте полиномы Лежандра Р0 и Р1.12.Дайте определение полиномов Лежандра. Поставьте задачу на собственныезначения для полиномов Лежандра. Напишите выражение для собственныхзначений этой задачи и выражение квадрата нормы для полиномов Лежандра.13.Дайте определение полиномов Лагерра и полиномов Эрмита.

Сформулируйтезадачи, решениями которой они являются. Приведите формулу Родрига. Напишите1.Сформулируйтелеммуо1выражения для квадрата нормы.14.Дайте определение производящей функции классических ортогональныхполиномов. Напишите для нее общую формулу.Напишите выражениепроизводящей функции полиномов Лежандра, Лагерра и Эрмита._____________________________________________________________________________15.Дайте определение присоединенных функций Лежандра.

Поставьте задачу насобственные значения для присоединенных функций Лежандра. Напишитесобственные значения для присоединенных функций Лежандра и выражение дляквадрата нормы.16.Дайте определение сферических функций. Поставьте задачу на собственныезначения для этих функций. Напишите условие ортогональности для сферическихфункций. Приведите выражение квадрата нормы. Сформулируйте теоремуСтеклова о разложимости в ряд по сферическим функциям. Дайте определениешаровых функций.17.Дайте определение собственных функций шара. Напишите характеристическоеуравнение для определения собственных значений в случае граничных условийтретьего рода. Напишите выражение для квадрата нормы._____________________________________________________________________________18.Дайте определение полного нормированного пространства.

Приведите примеры.Сформулируйте теорему о пополнении нормированного пространства.19.Дайте определение линейного множества (линеала). Дайте определение множества,плотного в нормированном пространстве. Приведите примеры.20. Дайте определение полной ортогональной системы функций в пространствеЛебега. Приведите примеры полных систем.21. Дайте определение замкнутой ортогональной системы в пространстве Лебега.Приведите примеры.22. Как строится пространство Лебега L2 ( D ) ?23. Как строится пространство Соболева W21 ( D ) ?_____________________________________________________________________________2.