А.Я. Хелемский - Программа экзамена по функциональному анализу

Программа экзамена по функциональному анализуЛектор — Александр Яковлевич ХелемскийV семестр, 2006 г. + Архив 2001–2002 г.2006 г.Программа экзамена1. Преднормированное и нормированное пространство. Примеры. Сопряжённо-билинейный функционал иполярное тождество.2. Скалярное произведение. Почти-гильбертово пространство. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского.Гильбертова норма и непрерывность по ней скалярного произведения. Равенство параллелограмма. Теорема фон Нойманна — Йордана (без док.).3.

Ортогональные векторы. Ортогональные и ортонормированные системы. Их свойства и их примеры. Процесс ортогонализации. Определение функций и многочленов Эрмита.4. Ряд Фурье в почти-гильбертовом пространстве. Предложение о ближайшем векторе в конечномерномподпространстве. Неравенство Бесселя. Предложение о тотальных ортонормированных системах. Теоремао разложении в ряд Фурье. Понятие о базисе Шаудера.5. Ограниченный оператор между преднормированными пространствами.

Пространство B(E, F ) и операторная преднорма; достаточное условие того, что это норма. Случай почти-гильбертовых пространств.Сопряжённое пространство. Мультипликативное неравенство для операторной преднормы.6. Некоторые классы операторов: сжимающие, изометрические, коизометрические. Топологические, изометрические, унитарные изоморфизмы. Примеры операторов. Интегральный оператор в L2 [a, b] и оценка егонормы.7. Характеризация ограниченных операторов как непрерывных. Возможность продолжения операторов влинейной алгебре (без док.).

Пример Филлипса оператора, непродолжаемого с сохранением ограниченности(без док.).8. Теорема Хана — Банаха; случай действительного поля скаляров и сепарабельного пространства.9. Комплексная версия теоремы Хана — Банаха. Достаточность семейства ограниченных функционалов нанормированном пространстве. Теорема Рисса об описании ограниченных функционалов на C[a, b] (без док.).10. Банахово и гильбертово пространство.

(Достаточное) условие того, когда B(E, F ) банахово. Суммируемыевекторные ряды и «признак Вейерштрасса». Принцип продолжения по непрерывности. Случай изометрического изоморфизма.11. Теорема Рисса — Фишера. Теорема Гауэрса (без док.). Предложение о ближайшем векторе в замкнутомподпространстве.12. Ортогональное дополнение к подмножеству и его свойства. Теорема об ортогональном дополнении. Условиетотальности системы в гильбертовом пространстве.13. (Орто)проектор.

Теорема Рисса об описании ограниченных функционалов на гильбертовом пространстве.(без док.). Банахов сопряжённый оператор.14. Гильбертов сопряжённый оператор. Соотношения сопряжённости. Свойства операции «гильбертова звёздочка». Связь между ядром оператора и образом сопряжённого. Алгебраическая характеризация проектора.15. Теорема Банаха — Штейнхауса.

Её следствие о раздельно и совместно непрерывных (билинейных) операторах. Теорема Банаха об обратном операторе (без док.).16. Пополнение нормированного пространства; два подхода к этому понятию и их эквивалентность. Примеры.Теорема единственности пополнения.17. Топология и топологическое пространство. Первые примеры. База и предбаза топологии. Топология метрического пространства и метризуемость. Хаусдорфово пространство. Непрерывное отображение. Тихоновское произведение топологических пространств.18.

Компактное топологическое пространство. «Теорема Вейерштрасса». Теорема Александрова. Теорема Тихонова (без док.)119. Сверхограниченное (вполне ограниченное) метрическое пространство. Эквивалентные условия сверхограниченности. Эквивалентные условия компактности метрического пространства.20. Сверхограниченность ограниченных множеств в Cn1 .

Свойства конечномерных нормированных пространств(топологическая изоморфность нормированных пространств одной размерности, полнота и др.).21. Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса о сверхограниченных единичных шарах. Теорема Арцела(без док.).22. Компактный оператор.

Пространство K(E, F ) и его замкнутость в B(E, F ). Компактность интегральногооператора.23. Свойство аппроксимации и его наличие у гильбертовых пространств. Понятие о примере Энфло (без док.).24. Теорема Шмидта о строении компактных операторов между гильбертовыми пространствами.25. Слабо унитарно эквивалентные операторы. Гильбертова сумма гильбертовых пространств. Предложениео слабо унитарно эквивалентной модели компактного оператора.26.

Ядерный оператор в гильбертовом пространстве и его след.27. Компактность оператора, сопряжённого к компактному. Коядро оператора и его связь с ортогональнымдополнением к образу. Случай конечномерного коядра. Фредгольмов оператор и его индекс. Мультипликативное свойство индекса (без док.).28. Теорема о фредгольмовости компактного возмущения тождественного оператора.29. Альтернатива Фредгольма.30. Теорема об индексе компактного возмущения тождественного оператора. Тройная теорема Фредгольма.Задачи1. Любое метрическое пространство изометрически вкладывается в нормированное пространство, причёмесли оно сепарабельно, то в качестве нормированного можно выбрать ℓ∞ .2. Восстанавливается ли сопряжённо-билинейный функционал по своей квадратичной форме в случае действительного поля скаляров?3.

Если норма гильбертова, то из kx + yk = kxk + kyk следует, что x и y пропорциональны.4. Норма в C[a, b] и L1 [a, b] не гильбертова.5. Ближайших точек до вектора в подпространстве нормированного пространства может быть много.6. Система Радемахера не тотальна.7. Найти норму диагонального оператора в ℓp ; p = 1, 2, ∞, оператора умножения на функцию в Lp [a, b]; p =1, 2, ∞ и оператора неопределённого интегрирования в C[a, b] и L1 [a, b].8.

Для диагонального оператора, операторов правого и левого сдвига в ℓp ; p = 1, 2, ∞, оператора сдвигав ℓp (Z); p = 1, 2, ∞ и оператора умножения на функцию узнать, когда они являются изометрическими?коизометрическими? изометрическими изоморфизмами? топологическими изоморфизмами?9. Описать мономорфизмы и эпиморфизмы в категории нормированных пространств.10. Найти общий вид ограниченных функционалов на c0 , ℓ1 , ℓ2 .11. Когда заданный функционал на прямой в R21 , R22 и R2∞ обладает единственным сохраняющим норму продолжением?12. В метрическом пространстве измеримых функций на отрезке не существует ненулевых непрерывных функционалов.13.

Пусть E — нормированное пространство, E0 — его замкнутое подпространство, x ∈ E r E0 . Тогда существует ограниченный функционал на E, равный нулю на E0 и отличный от нуля на x.14. Ближайших точек до вектора в подпространстве почти-гильбертова пространства может и не существовать.15. Найти банаховы сопряжённые операторы к диагональному оператору, оператору левого сдвига и операторуправого сдвига в c0 .16.

То же для ℓ1 .17. То же для ℓ2 .18. Банахов сопряжённый и гильбертов сопряжённый операторы к оператору λ1 в ℓ2 не являются топологически эквивалентными. (?)19. Найти гильбертов сопряжённый для диагонального оператора в ℓ2 , операторов правого и левого сдвигав ℓ2 , оператора сдвига в ℓ2 (Z), оператора умножения на функцию в L2 [a, b] и оператора неопределённогоинтегрирования в L2 [0, 1].220.

Верно ли, что ортогональное дополнение к ядру оператора всегда есть образ его гильбертова сопряжённого?21. Охарактеризовать в алгебраических терминах унитарный оператор.22. Оператор в гильбертовом пространстве равен своему сопряжённому и своему обратному. Как он действует?23. Как действует оператор V такой, что V ∗ V = 1? V V ∗ = 1? V ∗ V V ∗ V = V ∗ V ?24. Верна ли теорема Банаха — Штейнхауса без предположения о полноте заданного пространства?25. Привести пример раздельно, но не совместно ограниченного билинейного оператора между нормированными пространствами.26. Верна ли теорема Банаха об обратном операторе без предположения о полноте обоих заданных пространств?27. Если норма гильбертова, то такова же норма в пополнении.28.

Не существует метрики, задающей поточечную сходимость в C[a, b].29. Указать топологию, задающую поточечную сходимость в C[a, b]30. Когда топология предметрического пространства хаусдорфова?31. Если два непрерывных отображения в хаусдорфово пространство совпадают на плотном подмножестве,то они равны.32. Сходимость последовательности в тихоновском произведении — это покоординатная сходимость.33.

Показать, не используя теорему Рисса, что единичный шар в ℓp ; p = 1, 2, ∞, C[a, b], L2 [a, b] и B(ℓ2 ) некомпактен.34. Если f ∈ E ∗ таков, что верхняя грань в определении его нормы не достигается, то для любого x ∈ ErKer(f )выполнено kxk > d(x, Ker(f )).35. Привести пример равномерно ограниченного, но не равностепенно непрерывного семейства в C[a, b].36. Охарактеризовать сверхограниченные множества в ℓ2 в терминах норм «хвостов».37. В классе сепарабельных гильбертовых пространств из предложения о модели следует теорема Шмидта.38. (повышенной трудности) Интегральный оператор в L2 [a, b] является оператором Шмидта.39. (повышенной трудности) Каждый оператор Шмидта, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве, топологически эквивалентен интегральному оператору в L2 [a, b].40.

Привести пример фредгольмова оператора с заданным целым индексом.41. Когда диагональный оператор, оператор умножения на функцию фредгольмовы?42. Компактный оператор между гильбертовыми пространствами, одно из которых бесконечномерно, не фредгольмов.Последняя компиляция: 15 декабря 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.3Архив: 2001–2002 годV семестр1. Топологические пространства.

База и предбаза. Метризуемые, хаусдорфовы и сепарабельные пространства. Топологическое произведение.2. (Пред)нормированные пространства. Примеры. (Пред)метрика, порожденная (пред)нормой.3. Скалярные произведения и почти гильбертовы пространства. Неравенство Коши – Буняковского. Законпараллелограмма. Полярное тождество и характеризация гильбертовых норм (без доказательства).4.