Памятка для контрольной работы № 1

ПАМЯТКА для студентов К–6(основные формулы к КР–1 по УМФ)Одномерное уравнение теплопроводностиЗадача Коши:(ut = a2 uxx ,−∞ < x < ∞,t > 0,u(x, 0) = ϕ(x),Формула Пуассонаu(x, t) = √Z∞4πa2 te−(x−s)24a2 tВ декартовых координатах в Rn :∆u ≡∂2u∂2u+...+,∂x21∂x2nu = u(x1 , .

. . , xn ).Сферически симметричный случай в Rn :1 dn−1 du(r)∆u = n−1r,u = u(r),rdrdrr = |x|.В частности, сферически симметричный случай в R3 :1 ddu(r)∆u = 2r2,r drdrс неизвестной функцией u = u(x, t).1Оператор Лапласаϕ(s) dsзамена u(r) =v(r)vrr, тогда ∆u =(только в R3 ).rr−∞при −∞ < x < ∞, t > 0, определяет решение задачиКоши для любой кусочно непрерывной, ограниченной наR функции ϕ(x).Функция ошибок:2Φ(z) ≡ erf (z) ≡ √πZz2e−τ dτ,z ∈ R.0Элементарные свойства:Объемный потенциалФундаментальное решение уравнения Лапласа в Rn :1ln |x|,n = 2,2πE(x) =1, n > 3. −ωn (n − 2) |x|n−2Объемный потенциал:Zu(x) = E(x − y)ρ(y) dy,а) Φ(0) = 0,x ∈ Rn .ΩСвойства объемного потенциала:б) Φ(+∞) = 1,в) Φ(−z) = −Φ(z) (нечетность).а) u ∈ C 1 (Rn ) (гладкость),б)Таблица значений функции ошибокzΦ(z)zΦ(z)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.50.11250.22270.32860.42840.52050.60390.67780.74210.79690.84270.88020.91030.93400.95230.96611.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.97640.98380.98910.99280.99530.99700.99810.99890.99930.99960.99980.99990.99990.99990.9999если n > 3, то u(x) → 0 при |x| → ∞,в) ∆u(x) = 0,x ∈ Rn \ Ω (свойство Лапласа),г) ∆u(x) = ρ(x),x ∈ Ω (свойство Пуассона).Свойство Пуассона выполняется там, где плотность ρ(x)принадлежит классу C 1 .В случае сферически симметричной области Ω ⊂ Rn исферически симметрической плотности ρ = ρ(r) объемный потенциал также сферически симметричен:u = u(r),r = |x|.В пространстве R3 наряду с фундаментальным решениемE(x) и объемным потенциалом u(x) рассматривают такженьютоновы потенциалыZ1EN (x) =,uN (x) = EN (x − y) ρ(y) dy.|x|ΩФормулы перехода:EN (x) = −4π E(x),uN (x) = −4π u(x) (только в R3 )..