Список вопросов к экзамену 2015

СПИСОКвопросов для экзамена по курсу«УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»(факультет ВМК, 3-й поток, 3-й курс, 2014/2015 учебный год)Первый вопрос билета предполагает полный развернутый ответ со всеми необходимымидля этого доказательствами и объяснениями.Второй вопрос билета предполагает конспективный ответ, не требующий полногообоснования.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -СПИСОКпервых вопросов билета1. Доказательство существования решения смешанной задачи для однородногоуравнения теплопроводности с краевыми условиями 1-го рода.2. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.3.

Единственность и устойчивость решения смешанной краевой задачи дляуравнения теплопроводности с краевыми условиями 1-го рода.4. Единственность решения смешанной краевой задачи для уравнениятеплопроводности для случая задания на концах отрезка краевых условий 1го или 2-го рода.5. Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Доказательствотеоремы единственности.6. Построение фундаментального решения (функции Грина) для уравнениятеплопроводности на бесконечной прямой. Интеграл Пуассона.7. Доказательство теоремы существования решения задачи Коши для уравнениятеплопроводности.8. Решение первой и второй краевых задач для уравнения теплопроводности наполупрямой методом продолжения.9.

Доказательство 1-ой и 2-ой формул Грина для оператора Лапласа вограниченной области с гладкой границей.10. Доказательство 3-ей (интегральной) формулы Грина для оператора Лапласа.11. Свойства гармонических функций.12. Доказательство принципа максимума для гармонических функций.13. Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле дляуравнения Лапласа.14. Единственность решения внешней задачи Дирихле в двумерном итрехмерном случаях.15.

Необходимое условие разрешимости внутренней задачи Неймана дляуравнения Лапласа. Единственность решения внутренней задачи Неймана.16. Общее решения уравнения Лапласа в полярных координатах в круге.17. Определение и свойства функции Грина для задачи Дирихле для уравненияЛапласа в трехмерном случае.-2-18. Потенциалы простого и двойного слоя. Свойства логарифмическогопотенциала двойного слоя с единичной плотностью.19. Сведение внутренней задачи Дирихле к интегральному уравнению.Фредгольма II-го рода. Интегральное уравнение для круга.20. Задача Коши для уравнения колебаний.

Формула Д’Аламбера.Доказательство существования, единственности и устойчивости решениязадачи Коши для уравнения колебаний.21. Метод продолжения решения 1-ой и 2-ой краевых задач для уравненияколебаний струны на полупрямой.22. Доказательство теоремы существования решения смешанной задачи дляуравнения колебаний струны с краевыми условиями 1-го рода методомразделения переменных.23. Интеграл энергии.

Доказательство теоремы единственности решениясмешанной задачи с краевыми условиями 1-го или 2-го рода.24. Решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.Формула Пуассона.25. Решение внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. ФормулаПуассона.-3-СПИСОКвторых вопросов билета1. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса). Сведение кэквивалентной системе интегральных уравнений.2. Существование решения задачи Гурса с данными на характеристиках.3. Единственность решения задачи Гурса с данными на характеристиках.4.

Сопряженный дифференциальный оператор в n-мерном случае.5. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка с 2-мянезависимыми переменными.6. Вывод уравнения теплопроводности в пространстве.7. Постановка основных задач для уравнения теплопроводности в одномерномслучае.8. Выражение оператора Лапласа в декартовой, цилиндрической и сферическойсистемах координат.9. Фундаментальные решения уравнения Лапласа в двумерном и трехмерномслучаях.10. Постановка основных краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона.11.

Построение функции Грина для оператора Лапласа на плоскости с помощьюконформных отображений.12. Постановка основных задач для уравнения колебаний в одномерном случае.13. Уравнение Бюргерса. Преобразование Коула-Хопфа. Решение задачи Кошидля уравнения Бюргерса.14. Формула среднего значения для гармонической функции.15. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.16. Общее решение смешанной задачи для неоднородного уравнения колебанийс нулевыми краевыми условиями 1-го рода и нулевыми начальнымиусловиями.17.

Интеграл Пуассона для решения задачи Кощи для уравнениятеплопроводности.18. Интеграл энергии для уравнения колебаний.19. Постановка внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве.20. Постановка внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа на плоскости.21. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике.22. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полосе.23. Общее решение уравнения Лапласа в полярных координатах.24. Разрыв логарифмического потенциала двойного слоя на границе области.25. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости..