Том 2 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 4
Описание файла
Файл "Том 2" внутри архива находится в папке "З. Флюгге - Задачи по квантовой механике". PDF-файл из архива "З. Флюгге - Задачи по квантовой механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая теория" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 4 страницы из PDF
1»/ «+ 2 1 м(»(» ( « = —, «(«+ —,) У+ 1). »»»(- (» С учетом этих соотношений имеем »я =ч» ( Задача 135. Среднее значение магнитного момента Для электрона со спином в центральном поле вычислить средние значения всех трех проекций векторов 5, ь и «, а также вектора магнитного момента. Решение. Пусть ("и,> и=~ Из таблицы видно, что при «='/, сферической симметрией обладают как 5-, так и Р-состояния. Вообще можно установить, что по мере увеличения значений ~пь ~ вытянутая форма электронного распределения заменяется на сплющенную.
Сумма чисел "<4«„>/<гз>, стоящих в нашей таблице на одной строке, как нетрудно видеть, равна нулю. Это объясняется тем, что такое суммирование приводит к конфигурации замкнутой оболочки. В этом можно убедиться и в общем случае, если принять во внимание, что Ид. Среднее значение магнитного момента — собственный спинор, тогда й и! 5„и = — (и",и, + и*,и,), и! 5 и= —,. (и,'и,— и,'и,), й и! 5,и = — (и',и,— и,"и,), (135.1) Согласно результатам задачи 1ЗЗ для собственных спиноров гз и,7, имеем р (г) с!с ==А!, с ~ сг т —— )21+1 ' ' г г' Р~ (г) и,= Вс,сУ 21+ ! с, ос.ч, г з (135.
2) где Л, = 1г/ !+ — +тг, В, = — )/ !+ — — тг(135.3а) 1 / — г 2 '' сч —,с )/ 2 2 2 1+ 2 — т, В, = 1/ 1+ — +т. (135.35) 1 /' <5„>=0 и <5о>=0. С другой стороны, для среднего значения 5, и нормировочного интеграла мы соответственно имеем <5г> = 2 ~г 21 1 (Аг, с — Вг г) с(г (135.4) ч 2! 1 (Ас, г+ Вг, г) г(г = )! гг(Гг (г)(*г(г = 1. (135.5) г о Отсюда следует й А,'. — В,*, 2 Ае Ве с.с ! г,г (135.6) Таким образом, в выражениях (135.1), которые используются для вычисления средних значений 5 н 5„, отдельные члены будут содержать произведения различных сферических функций, поэтому 26 /П, Частицы со саином.
А. Иночостичлыс эадачи В состояниях с 1=1+'!', имеем <5 > =айги — =Ьл, —, ! ! 72!+! г 2! (135.7а) Средние значения проекций орбитального момента можно получить аналогичным образом, рассматривая выражение и! х.и = и,'5и, + и,'Ьи,. Так как операторы (.„~ с(ъ изменяют второй индекс сферической функции на ~1, то средние значения 1„и )о снова обращаются в нуль (см.
задачу 58), а для среднего значения Л, имеем ) ~ и, ( тт — — ) и, + ич (тГ+ — ) и, ~ Очх <7.,> = $ 1 * * ( и~и, +ичич) ачх или А), ю (л!у — — )+В) ! (ту+ 2 ) Ача с+ В~у, ! Если воспользоваться формулой (135.6), то последнему результату можно придать более простой вид: с)-с> ~л'Г <~с>' (135.8) Эту формулу мы могли бы получить сразу, если бы учли, что и есть собственный спинор оператора 1,=1,,+5„принадлежащий собственному значению Йтл Средние значения /„и lо также равны нулю, поскольку равны нулю средние значения соответствующих проекций векторов х. и о. Оператор магнитного момента имеет вид М= — 2 ((. +23), (135.9) где †е †электриче заряд электрона. Средние значения проекций магнитного момента на оси к и у обращаются в нуль, однако (135.10) если же 1=1 — '/„то <Ях> = — Ьт! 2! ! — — — Ьтг 2 .. (135.7б) !аб. Тонкая сшруктура что с учетом формулы (135.8) можно записать в виде 2шс ( Отсюда, принимая во внимание соотношения (135.7а) и (135.76), находим, что в состояниях с 1=!+",, е$ г' ! Х ев 21+! <М > = — — лг(( 1+ —.) = — — лг —.
+ 2шс т(, 21) 2ии У 2( (135.11а) а в состояниях с 1=1 — '(, ей у ! '! е$2/+1 <М,> = — — лт(( 1 — —.) = — — т1 ..з. (135.11б) 2шс ((, 2(!+!)) 2 м 2!+з' Замечание. Прнведенные формулы показывают, что в замкнутой подоболочке (л, 1) результнруюшвй магнитный момент равен нулю как з случае 1=1+'(,, так н в случае 1=1 — з(з. Множитель, стоящий в формулах (135.11а) и (!35.11б) при величине — (ей(2тс) т,, называется у-фактором Ланде рассматриваемого состояния.
Он позволяет записать величину <М,> в виде ей . е <Ма> 2шс ~(а(!) 2 <~а>а(1)' Задача !36. Тонкая структура Взаимодействие собственного магнитного момента электрона, е )ь= — д — 8, (136.1) с его орбитальным моментом Е описывается членол! в гамильтоннане вида Н = —,„—,— „, (3 Т). у ! бр(г) (136.2) Определить обусловленное этим взаимодействием расщепление энергетических уровней.
Замечание. Так называемый д-фактор электрона очень блнзок к единице. Как было установлено, его точное значение равно 1,00!!40. Так как полную теоРию тонкой структуры нельзя построить, оставаясь в рамках нерелятнвнстской квантовой механики, то к введенному выше у-фактору не следует относиться слишком серьезно. Это же замечание в полной мере относится н к мно. Отсюда видно, что д-фактор Ланде описывает отклонение от классического соотношения Максвелла между магнитным и механическим моментами частицы, обусловленное наличием у частицы спина. 28 П1.
Частицы со саином. А. Одночастичные задачи жителю 2 в знаменателе выражения ((36.2) (так называемая поправка Томаса и), его появление нсвозможно объяснить а рамках нерелятивнстской теории. Решение. Волновая функция электрона в центральном поле есть одновременно собственная функция операторов )з и е'„ее угловая зависимость была установлена в одной из предыдущих задач, поэтому фигурирующий в гамильтониане (136.2) оператор ($. 1,) можно исключить, имея в виду, что для состояния тр = ~ !', 1> справедливо соотношение Р ~ !', !> = (1.*+ У + 2 Ф ..(.)) О, !>, или Й' ( ! (! + 1) — [! (! + 1) + — ~ ~ ! 1, 1> = 2 (6 о) ! 1, 1>.
Таким образом, наличие в гамильтониане члена-(136.2) в конечном счете добавляет к потенциальной энергии )г(г) энергию возмущения вида )г (г) = 4 е з — д (! (1+ 1) — 1(1+!) 4 ~ ' (!36 3) Эта энергия зависит от квантовых чисел ! и 1, и поэтому при одном и том же значении 1 она будет различной для разных значений 1=1~'1,. В первом порядке теории возмущений поправка к уровню энергии определяется формулой " Е; з = (1, ! ) р') !., !>, (!36.4) Пользуясь теми же обозначениями, что и в выражениях (133.! !) и (133.12) и принимая во внимание условие нормировки, 1г !Р,(г) Гь =1, (!36.5) получаем Е1 г — — 4, (1(!+ 1) — !(!+ 1) — 4 ! 3 г /Рг(г) /' г 1 г(г.
(!36.6) о Таким образом, расщепление уровней с одним и тем же значением 1, но различными значениями / оказывается пропорциональным разности и Обычно ее называют поправкой Томаса — Френкеля.— Прим. ред. и Матрица энергии возмущения (!36,3) диагональна по квантовому числу т1, поэтому можно обойтись формулами теории возмущения без вырождения.— Прим. ред. Гд7. Плоские еолнее для частиц со снинои л/е поэтому глЕ= 4 е, (2!+1)) г'~ге (г) (е — д с(г.
(136.7) о Заметим, что подуровень с меньшим значением ! располагается снизу (нормальный дублет). Некоторое представление о величине интеграла (136.7) можно получить, взяв в качестве потенциала выражение Еее ! де' Еее р= — —, г ' г дс ы Так как вблизи ядра всякого атома потенциал ведет себя указанным образом и так как в этой области г' Н, ! Задача 137. Плоские волны для частиц со спином 'у, Разложить плоскую волну, описывающую свободную частицу со спином '/, в ряд по сферическим гармоникам. Рассмотреть случаи положительной и отрицательной спиральности Считать, что волна распространяется в положительном направлении оси г. Решение.' Плоским волнам, распространяющимся в положительном направлении оси г, отвечают два спннора !р+ —— ( )е'ы н ф =( )ее"'.
(!37. !) то подынтегральное выражение в (136.7) пропорционально гм ' и, следовательно, интеграл конечен при 1=-1, 2, 3, ... и логарифмически расходится для Я-состояний, когда 1=О. Поскольку 5-состояния не расщепляются, а лишь сдвигаются, последний результат не имеет особого значения при анализе спектрокопических данных. В аккуратной релятивистской теории трудность вообще не возникает (см, задачу 203).
И без детальных вычислений интегралов типа (136.7) можно с уверенностью сказать, что результат имеет величину порядка уеьае, где а — величина такого же порядка, что и радиус атома. Так как атомные термы имеют порядок Ле'(а, то, грубо говоря, ЬЕ ле Е' а'' где !ч = ФПпс — комптоновская длина волны.
Она представляет собой малую величину, поэтому обсуждаемый эффект действи.тельно носит характер тонкой структуры, и для его рассмотрения можно ограничиться, как это и было сделано, первым порядком теории возмущений. зо Ш. Частицсс со соилом. А. Одмочасспианссс садаки В состоянии фм спин частицы направлен по движению, и мы говорим о положи!вольной спаральности, 5 = +1.