Ответы к экзамену

Основные постулаты квантовой механики. В конце Х!Х вЂ” начале ХХ века. Ааааа бозсс ндн монсе хорошее прелставленис о всех вигах движении в пола сил тяготения и прн нкшчни злекгромшнитного взаимодействия мсхогу телами. кзассичсская физика не мог11а разрешить,гнлемм) з.н. карп)скузярно-волнового злализиа (днфракция ил чка элен.гранов на монокристалзах г фото шектрнческий эффект. эффект Хамптона).

Так жл. факт поглощения электронами энер1ни только определсннымн порпиями никак не вписывался в классические представления о непрерывности изменения динамических величин. Лгобое сосгоинне квангова-меканической системы л.б. описано волновой функцией (фУикцией сосгоиннЯ), Р(гг,..., гл. 1). котойах Явлаетеа колипжкснозиачнай.

конечной. однозначной и непрерывной па вселг пространсгнснным переменным. Например. звизкение свободного [Бг, 1)) эзеюрона м.б. описана функшгей дг(г.г)=Ае™ ~'. называемой плоской волной де Бройля. Интересно. но в отличие от световых волн, при использовании потока элекзронов лнфракиионная картина получается как бы посшпенно: если интенсивность патока чала. то сначала на регистрирующей фотопластнне виды следы отдельных электронов, каюрые постепенно объединяются, давая тнпншую картину черед)юшейся интенсивности полос При более высокой плопюсгн потока точно такач же картина получается сразу. Этот факт м.б. объяснбн в рамках предложенной М.

Барном вероятностной 1рактовкн волнаной функции. соыасно которой )е) — плотность вероятносзи .юказизации системы в акрестиостн точки конфигурнцнониого пространств» (Сь...,йз) в момент времени д Соответственно. , 'р) г(г, где г - совокупность пространственных переменных сис1еиы, вероятность нахождения системы в элементе объема Нг ! огда П вЂ” ампзитула вероятности. С одной стороны. эта вераятностна» интерпретация нстыючает возлюжность следить за траекторной дннжения частицы (и определять еб скорость).

с другой стороны. "породнвгпая" ее зифракпионная картина показывает. что в случае ми«рочасгии некоторое событие определяется не суммой ве!юятностсй отдельных событий. а суммой ачпзитуз вероятности. Если система можез находиться в состояниях, описываемых волновымн фуикцивми угг н Сл то она может нахоиитьси в состоянии Е иуггъ))уъ Прн этом если в состояниях )1 и угз часгнна имела опрелеленны нмпулыы и частоты. то в состоянии у их уже точно определить.

Формам но это какие-го промежуточные значения. Для подобных предсказаний необходимо знать закон. определяющий состояния систем и их изменения в тех или иных условиях. Таким законом фактнчесюг является приншгп соответствия. Согласно ему кажзой динамической переменной классической физики ставитсв в соответствие линейный самоеопрвжбнный оператор. В частности операторы координаты. д, . с нчплльсаи энергии имени вид..т — х.

р, = чй —. Е=щг . сх бг Звозюинго классической системы во времени определяет функння ! ами:штонж !)=Т.л)г, )той флнкини сопоставлытся квантовый оператор Гамильтона и наиболее абпгее лравненис дЧ' квантовой механики . уравнение Шредингера; Нп -= НР. дг Операторы фнзнческпх величии в квинтовой механике.

Оператор в общем случае аирслслясг правило полл чения фэнкини д из флпкиин /: ОТ Ш. Линейность оператора означает. что .4(а )г) Ар-Ам ~ А(()р-Сг)ц. С1АЕ ('-А)г Из линейности операторов следует линейность уравнения Шрезингера. что погволяег провозить нормировку волновой фупкиии. 1акже. если вэ н уг — два решения временного уравнения Шредингера. го ус=и уггг/ик — такзге решение. Среднее значение фнзн мекай величины. которой соогветствлет оператор А в сосюянии Ч~.

определяюгисеся как < и >= )уг'Аул(г, должно быть вещественньш. т.с. - а> - -атз Оператор. все средние значения которого вещественны. называется эрмитовым оператором. Если А — эрмитов. то для )Г 1ги гг справедливо )ггАсх(г = )(Аут) гя(г = ')гд(Агг) Аг. Оператор О называется у нитарным. сити он сапряжсн сноемл обратному оператору. При лействии унитарного оператора на функцию ее норма ие меняется. Эю свойства называется изомегрнчноагью. В зом случае. когда оператор А переводит некоторую функцию (г в функцию.

отзнчающл1ася числовым множителем Ан=пп . то говорят, чта уг — собственная функция данного оператора. а — собственное значение оператора. Собственная функция определена с точностью зо прои звал ьног о комплексного множителя, (а ггт) уг также бузш г собственной функцией опера гора А. Есин собственному значсаию оператора А соответствует две ихи более линейно независимых собственные функции. то собственное значение называется вырожденным.

а число этих функций кратнгх."гью вырождснгш. ! ' Собсгвенныс значения унитарного оператора по модулю равны слияние. 2'. Собственныс значения зрлштова оператора действительны. 3' Собственные функции эрмнзова оператора, отвечающие разным собственным значениям. ортогональны. В ряде случаев удобно работать с матричнылг представлением операторов В векюрном пространстве Н лнгбой линейный оператор ч.б.

прслставзен в виде квадратной матрицы размерности (лмг), Пусть в пространстве залан базисный набор (щ',. тогда числа А„=(й ~А д) и (ВАХ Аг называются лгатричньши элеменшми оплрапгра А на функциях йь а их ~1 1 совокупность — матрица А с злеиеитачи Аг матричным представлением оператора А. Если в базисе (дггг известно матричное представление линейного оператора 1.

то. зноя разложение произвольной функпии 1 по базис) !Хг) 1 =,) с д легко апреле.гиш рсзульпп действия оперщора А на функцию й )У = С вЂ”.~ Ь,Х,. Коэффициенты Ь, можно найти. испозыую свойство 'г )л( ()1 линейности оператора А и записав функцию! в ниде 1'= ~ с Ах,, заиноънв зто выражение на н проинтегрировав его: Ь, =(д, АЯ =~ г ~~д,/А!д )=~А„с .Очевнлно. в разных базисах оператор А блзсг представ.ген разными матрицами. Коммутационные соотношения для операторов.

Соотношение иеопределенностеи. Средние значения наблюлаемых величин. Дугсггерсггя наблюлаемых. Согласно принципу соответствия кандой динамической переменной классической физики славища в соответствие линейный самосопряжйниый оператор. В частности операторы а ., д коорпннаты. импульса и знсргии имею! ющ! х=х.

)г, = — зй —. Е.=зй- —. Оператор момента сх д! д д илщульсад=[гр). Ег=.уул-р,=.— Иду — — — ). Е' = Е-,' +Е, +Ег. о- д! Эволюцию классической системы во времеигг опрсде.!лет флнкция Гамилыона. Н-Т! Е Этой функции сопостав.щегол квантовый оператор Гамильтона, Н. и наиболее общее уравнение ср квюповой механики — уравнение Шредингера: йт — — = ЯЧ'.

! амильтоииан системы нз Н частнд д! мб. записав как Н=Г+Р=зз — 'чг.—.-2 — гу, ьзы 'р . 'йг , 2лг, зл! Среднее значение физической веаичины А. которзй сопосзавлен квантово-механический (р!А~уг) оператор А в состоянии угопределяется соотношением г[,, =< Л >а=, . Учитывая свойспю (уг 'у!) зрмитовых операторов: А! Ау)=ар,.

Н у=кгур» ~ (р,уг)=2х)(р .ггг)'— г' (р»'р~)=с (ух удал![. (уАр)=(у<42г)уг)="с(у!Луг~=Ел)пг()еуг)=Х~ алю<А>-(угАВ)-Ехгги,. В задаче о потенциальном ящике у „(хл) =.[ — зщ~ — )!е УЕ [Е Тогда < х >=(р.ху!) = — )нпг — [Ых = —, )в)пг[ — '~ — Л вЂ” =, )!в!огай =, )г(1-сов2!)А! = Е г ( Е ! (лп) о [ Е ~ Е !' (хл) л (!"г) а 22 [ ! соз2! гнп2г1 2Е (ю!)' Е (яи)г [,4 8 8 ), (э!) 4 2 < р > (уг. р рд) = — ) з)п~ - — — гй — Нй — ~дх = з(...) ю <р>=О.

~, Е )ГЗ дх~) П[, Е )! Дисперсия определяется как Н,=о',=(уг,(А-<А>) у). В сну!ас точного измерения дисперсия равна нуно. Те., (уг.(А-<.4>) р) = ((А-< Л >)уг.(А — <Л >)уг) =(и а) = О (А-<Л>)уг-О. Ауг-<А>уг Физическая величина в состоянии р имеет определенные значения, если у! — собственная функция оператора Если два оператора имеют общую систему собственных функций (коммутиръют), то отвечающая им физичесгщя величина м.б. игл!срана с любой заданной точнгютью.

иначе <(Л4)г><(АВ) ' > В<(-![А,Я])г>, Коммутатор: [)46)=Н6-Огч [Р;б) — -[ОН), Если [НО[=О, то говорят, что операторы коммутируют с д Оператор момента импульса Е=[гр). Е,=ур,-гр,.= !" (У: Рг с!у Ег Е. +Ее ч-Е [х, Е,.)=х(гр;хрип(г)зюхррх=г(хрю)з,х) — гйг [Е„,Е,)бчз- гР)(г)гг хо-) — (гР„- хР)(УР, — Ргу='У)г  — УРхР-" )з1гР» ч гРХР= гР,.УР -л гР,гР, + хРУ)зг - хР, гР„= УРН: + УВгР ." хР,гуг — хРР,г =. УР„ЕРг - Р-) + х)г, (г)з: -)бг) — (й (х)зз - УР„) =)ВЕ, [ЕьЕ!)=О. Если два оператора имеют общую систему собственных функций (коммутируют), то отвечающая им физическая величина м.б.

измерена с любой заданной точностью, иначе <(АА) ><(АВ)» |гч<( ([А,В[) >. Еул = гг', =(уг(А — < А >)ауг) =((А-< А >)уг(А-< А >)уг) =(цц), Юа — — Р",, = (Уг,(В < В >)'Уг) = (( — < В >)Уг,( — < В >)Уг) = (т,зг) . Неравенство КошиБуняковского: ~(и,з) В ч((мм,л)(пу) . ~Л~,4(Ш~)[>) )ш(мгп) 1=) >(н,г) — (з,и),' !' (ц,п) = ((А — < А >)уг,( — < В >)уг) = = (А уг, В !г) — < А > (уг, В ух)- < В > (А р, В уг)л < А >< В > (Аут „В уг) о,о„~! [ш(А уг.

В ух) ~= !(уг,АВуг) — (!)У,ВАуг)[ '!(гр,(А — ВА)у ) (уг,[АВ)уг) 2 2 (Нр-рб)у~= о -)й — ~! )й (,.В) рй дуг~!~!, В[![ух) 7 Эволюция состояний и временное уравнение ТПредннгера. Стационарное уравнение, Эволюцию класси щекой системы ао аречени определяет функция Гамильтона. Н-1'-!г Этой функции сопоставляется квантовый оператор ! амильтона. Н. и наиболее общее уравнение ВР квантовой механики >равнение Шрйдингера: !Ь- †. = НЧ'. Гамильгоинан системы из Н частиц дг м.б. записав как Н Г-Т >- и = à — '+ Г = — Ь вЂ” А, ч !' .

17, ,, 2т... 2ш, Оператор Гамилшона молоку>шрнык систем догокен зависел от времени. особенно если речь идет о взаимодействии с другими системачв или с излучением. Тем не менее. этой зависимостью в большинстве задач пренебрегают в переходят к стационарному уравнению Шредингера. Если гамильтониан явно от времени не зависит (и. следовательно, равен полной энергии системы), то уравнение Шрвдннгера можно решать метолоч разделения переменных: 'кйг, Г> =Ф(г> 1ВЕ Тогда !Ь вЂ” =ИФ(г) — '. БАРР=>(Г)НФ(г) н . РР .

ВГ дг ог ! дГШ ! гй — — =.- -НФ(г)=Е 1(г) дг Ф(.) НФз>й>=йгФ,(г> гй '-' = Е Л(г) Гг(г)= д(, (О дг 'Р(г.т)=Фг(г)е ' ]Р(г,>)! =!Ф,(г)' Множество собственных значений оператора называется его спектром. Спектр дисьрстен, если зто множество конечно и непрерывен в противном случае. Характерной особенностью фунюгий дискретного спектра — нормируемость на единицу. При этом при ст)юмлеиии пространственных переменных к бесконечности ~ е ! стремиться к нулю.