Программа к экзмену

Программа по квантовой механике, 311 группа, осень 2003Границы применимости классической механики и потребность в возникновении квантовой механики.Атом водорода: опыты Резерфорда, спектральные эксперименты и формула Бальмера,противоречие с классическими представлениями и модель Бора.Фотоны: фотоэффект и теория Эйнштейна, постоянная Планка, пересмотр опытов поинтерференции и корпускулярные свойства света, корпускулярно-волновая природа электромагнитного поля.Гипотеза де Бройля и её экспериментальные подтверждения, пересмотр понятия траектории частиц и принцип неопределённости Гейзенберга, корпускулярно-волновой дуализм ипринципиальное отличие волн материи от амплитуды напряжённости электромагнитногополя.Постулат существования волновой функции: динамическое состояние системы и степень полноты его определения, вероятностное толкование волновой функции, примеры.Принцип суперпозиции состояний; пространство функций, интегрируемых с квадратом, скалярное произведение и его свойства.Среднее значение координаты и функции от координат.

Равноправие координат и импульсов: импульсная волновая функция, физические аналогии, координатное и импульсноепредставления. Постулат среднего значения физической величины: операторы, проблемыизмерения в квантовой механике, ансамбль эквивалентных систем.Квантовомеханические операторы: свойства, эрмитовость и вещественность среднихзначений, симметризация, коммутаторы, примеры.Флуктуации статистических распределений и состояния с нулевой дисперсией. Уравнение на собственные значения для эрмитовых операторов, свойства собственных значенийи собственных функций эрмитовых операторов.Динамическое состояние системы и необходимость волнового уравнения: уравнениеШредингера, сохранение нормы во времени и изменение во времени средних значений физических величин.Разделение переменных и стационарные состояния: частное и общее решения уравнения Шредингера, начальные условия в квантовой механике, число собственных функций эрмитовых операторов.Частицы в прямоугольном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками;энергетический спектр и собственные функции, отличия классического и квантовомеханического подходов.Проблема сплошного спектра: физические примеры, собственные дифференциалы, δфункция Дирака.Разложение волновой функции при наличии дискретного и сплошного спектров: средние значения физических величин и вероятностная трактовка отдельных членов разложения,полнота системы собственных функций эрмитового оператора, обобщённое равенство Парсеваля, соотношение замкнутости, эквивалентные представления.Наблюдаемые: постулат полноты системы собственных функций наблюдаемой, постулат измерения физической величины, теорема о коммутирующих наблюдаемых.Одномерное уравнение Шредингера: модельные представления и техника решения задач с прямоугольными потенциалами, примеры, сравнение классических и квантовых представлений.Алгебра коммутаторов: примеры, соотношения неопределённостей Гейзенберга и связьс теоремой о коммутирующих наблюдаемых.Гармонический осциллятор: модели, энергетический спектр и собственные функции,двух- и трёхмерный осцилляторы.Атом водорода: отделение центра масс, сферическая симметрия и разделение переменных, сферические переменные и собственные значения операторов момента, радиальноеуравнение и энергетический спектр, структура волновой функции.Классический предел уравнения Шредингера и уравнение непрерывности.Теория представлений: примеры эквивалентных представлений.

Переход от одного эквивалентного представления к другому как унитарное преобразование. Преобразование подобия операторов. Оператор эволюции. Представления Шредингера и Гейзенберга. Уравнение движения. Примеры.Приближённые методы: теория возмущений для стационарных состояний – общая постановка задачи.

Теория возмущений для невырожденного состояния; пример – основное состояние атома гелия. Теория возмущений для вырожденного состояния. Линейный эффектШтарка для атома водорода. Теория возмущений для нестационарных состояний; переходы;гармоническое возмущение. Вариационный принцип. Вариационная теорема. Вариационныйметод. Линейный метод Ритца, метод самосогласованного поля. Квазиклассический метод.Адиабатический метод.Общий формализм квантовой механики: дираковские векторы и инвариантное пространство векторов состояний; линейные операторы и их элементарные свойства.

Тензорноепроизведение двух инвариантных пространств; инвариантноесть скалярного произведения иего физический смысл; абстрактные векторы состояний и волновые функции; индекс состояния и индекс представления; алгебра операторов.Теория обобщённого углового момента: коммутационные соотношения, собственныезначения операторов J2 и Jz. Инвариантное пространство собственных векторов; полуцелыезначения момента; матричное представление операторов и векторов состояния.Спиновый момент: спин 1/2; матрицы Паули. Опыты Штерна-Герлаха. Гипотеза Уленбека и Гаудсмита. Произвольное спиновое состояние (спин 1/2) и его связь с направление впространстве. Спин в магнитном поле и эволюция состояния как решение полного уравненияШредингера.

Уравнение Паули.Сложение моментов: связанный и несвязанный базисы, коэффициенты КлебшаГордана; сложение орбитального и спинового моментов электрона.Квантование вращения твёрдого тела: задача двух тел, подвижная система координат ианомальные соотношения коммутации; сферический, симметричный и асимметричный волчки. Теория возмущений и корреляционная диаграмма.Спин и тождественные частицы: тождественные частицы и принцип неразличимости;начальные условия в классической и квантовой механиках. Начальные условия, решениеполного уравнения Шредингера и перестановки тождественных частиц.

Оператор перестановки и его собственные значения; симметричные и антисимметричные волновые функции;перестановочная симметрия как следствие принципа неразличимости, перестановочная симметрия как интеграл движения. Фермионы и бозоны; решения уравнения Шредингера и учётперестановочной симметрии.Задачи о гармоническом осцилляторе: обобщённые дираковский подход, коммутационные соотношения, лестничные операторы и проблем собственных значений, физическийсмысл решения.

Квантование свободного электромагнитного поля.Чистые и смешанные состояния в квантовой механике: статистический оператор и матрица плотности..