ОДУ - 2 (А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Обыкновенные дифференциальные уравнения)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В.ЛОМОНОСОВАФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ИКИБЕРНЕТИКИА.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИНОБЫКНОВЕННЫЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯЧасть 2МОСКВА — 2009 г.Пособие отражает содержание второй части лекционного курса"Обыкновенные дифференциальные уравнения", читаемого студентамфакультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в соответствии с программой по специальности "Прикладная математика и информатика" .c Факультет вычислительной математикии кибернетики МГУ им.

М.В.Ломоносова, 2009 г.c А.М. Денисов, А.В. Разгулин, 2009 г.Оглавление3Оглавление1 Зависимость решения задачи Коши от исходных данныхи параметров1.1 Непрерывная зависимость решения задачи Коши от исходных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .1.1.1 Непрерывная зависимость от исходных данных . .1.1.2 Теорема сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Зависимость решения задачи Коши от параметра . . . . .1.2.1 Непрерывная зависимость решения задачи Кошиот параметра . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2 Дифференцируемость решения задачи Кошипо параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3 Метод малого параметра . . . . . . . . . . . . . . . .2 Теория устойчивости2.1 Основные понятия . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Основные понятия теории устойчивости . . . . . . .2.1.2 Редукция к задаче устойчивости нулевого решения2.2 Устойчивость нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Вспомогательные утверждения . .

. . . . . . . . . .2.2.2 Теорема об асимптотической устойчивости нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3 Теорема об устойчивости нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами . . .2.2.4 Теорема о неустойчивости нулевого решения линейной системы с постоянными коэффициентами .6668101113161818192122232526284Оглавление2.32.42.5Исследование на устойчивость по первому приближению(первый метод Ляпунова) .

. . . . . . . . . . . . . . . . .Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова (второй метод Ляпунова) . . . . . . . . . . . . . .2.4.1 Положительно определенные функции . . . . . . .2.4.2 Функция Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.3 Теорема об устойчивости . . . . . . . . . . . . . . .2.4.4 Теорема об асимптотической устойчивости . . .

.2.4.5 Теорема Четаева о неустойчивости . . . . . . . . .2.4.6 Устойчивость точек покоя . . . . . . . . . . . . . .Классификация точек покоя . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.1 Классификация точек покоя линейной системы .2.5.2 Узел (λ1 , λ2 ∈ R, λ1 6= λ2 , λ1 · λ2 > 0) . . . . . . . .2.5.3 Дикритический узел(λ1 = λ2 6= 0, dim ker(A − λ1 E) = 2) .

. . . . . . . .2.5.4 Вырожденный узел(λ1 = λ2 6= 0, dim ker(A − λ1 E) = 1) . . . . . . . . .2.5.5 Седло (λ1 , λ2 ∈ R, λ2 < 0 < λ1 ) . . . . . . . . . . .2.5.6 Фокус (λ1,2 = δ ± iω ∈ C, ω 6= 0, δ 6= 0) . . . . . . .2.5.7 Центр (λ1,2 = ±iω ∈ C, ω 6= 0) . . . . . . . . . . . .2.5.8 Случай вырожденной матрицы A (det A = 0) . .

.2.5.9 Классификация точек покоя нелинейной системы. 29..........34343637394143454546. 47......3 Краевые задачи для дифференциального уравнения второго порядка3.1 Постановка краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 Преобразование уравнения . . . . .

. . . . . . . . . .3.1.2 Редукция к однородным краевым условиям . . . . .3.1.3 Тождество Лагранжа и его следствие . . . . . . . .3.1.4 Формула Грина и ее следствие . . . . . . . . . . . .3.2 Функция Грина. Существование решения краевой задачи .3.2.1 Функция Грина . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2 Существование и единственность функции Грина .3.2.3 Нахождение решения неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина . . . . . . . . . . . .3.2.4 О применении функции Грина в нелинейныхдифференциальных уравнениях . . . . . . . . . . . .3.3 Задача Штурма-Лиувилля . . . .

. . . . . . . . . . . . . .3.3.1 Теорема Стеклова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48495051525355555657585960606163646772Оглавление4 Уравнения в частных производных первого порядка4.1 Первые интегралы нормальной системы . . . . . . . . . .4.1.1 Определение первого интеграла . . . . . . . . . . .4.1.2 Производная первого интеграла в силу системы .4.1.3 Геометрический смысл первого интеграла .

. . . .4.1.4 Независимые первые интегралы . . . . . . . . . . .4.2 Уравнения в частных производных первого порядка . . .4.2.1 Классификация дифференциальных уравненийв частных производных первого порядка . . . . .4.2.2 Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка . . .4.2.3 Квазилинейные уравнения в частных производныхпервого порядка . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.4 Геометрический смысл квазилинейного уравненияв частных производных . . . . . . . . . . . . . . .4.2.5 Задача Коши для квазилинейного уравнения вчастных производных . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Основы вариационного исчисления5.1 Основные понятия вариационного исчисления . . . . .

.5.1.1 Вариация функционала . . . . . . . . . . . . . . .5.1.2 Экстремум функционала . . . . . . . . . . . . . . .5.1.3 Основная лемма вариационного исчисления . . . .5.2 Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Необходимые условия экстремума для некоторых функционалов . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.1 Функционал, зависящий от производных порядкавыше первого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.2 Функционал, зависящий от функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4 Вариационная задача на условный экстремум . . . . . .5.5 Вариационное свойство собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля . .

. . . . . . .5......74747475767678. 78. 80. 82. 84. 87.....909090919394. 97. 97. 99. 104. 108A Неявные функции и функциональные матрицы110A.1 Теорема о неявных функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A.2 Зависимость функций и функциональные матрицы . . . . 111Литература1146Глава 1. Зависимость решения задачи Коши от исходных данныхГлава 1Зависимость решения задачи Кошиот исходных данных и параметров1.1.

Непрерывная зависимость решения задачиКоши от исходных данныхРассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производнойy 0 (t)y(t0 )= f (t, y(t)),= y0 .t ∈ [t0 − T, t0 + T ],(1.1)(1.2)Пусть функция f (t, y) определена и непрерывна в прямоугольникеQ = {(t, y) :|t − t0 | 6 T,A 6 y 6 B}.Определение 1.1.1. Решением задачи Коши (1.1), (1.2) на отрезке[t0 − T, t0 + T ] называется функция y(t) такая, что y(t) непрерывнодифференцируема на [t0 − T, t0 + T ], A 6 y(t) 6 B для t ∈ [t0 − T, t0 + T ],y(t) удовлетворяет (1.1), (1.2).Решение задачи Коши (1.1), (1.2) зависит от функции f (t, y) и начального состояния y0 , которые можно называть исходными даннымизадачи Коши (1.1), (1.2).

Как зависит решение этой задачи от изменения исходных данных, то есть функции f (t, y) и начального состоянияy0 ? Покажем, что небольшие изменения исходных данных приводят кнебольшим изменениям решения задачи Коши. Таким образом, можноговорить о непрерывной зависимости решения задачи Коши от исходных данных.1.1.1. Непрерывная зависимость от исходных данныхТеорема 1.1.1. Пусть функции f1 (t, y) и f2 (t, y) непрерывны в прямоугольнике Q и f1 (t, y) удовлетворяет в Q условию Липшица по y,1.1. Непрерывная зависимость от исходных данных7то есть существует константа L > 0 такая, что|f1 (t, y) − f1 (t, ye)| 6 L|y − ye|,∀(t, y), (t, ye) ∈ Q.Тогда, если функции y1 (t) и y2 (t) на отрезке [t0 − T, t0 + T ] являютсярешениями задач Коши 0 0y1 (t) = f1 (t, y1 (t)),y2 (t) = f2 (t, y2 (t)),y1 (t0 ) = y01 ,y2 (t0 ) = y02 ,то имеет место неравенствоmax|y1 (t) − y2 (t)| 66 |y01 − y02 | + T max |f1 (t, y) − f2 (t, y)| exp{LT }.

(1.3)t∈[t0 −T,t0 +T ](t,y)∈QДоказательство. Из леммы об эквивалентности задачи Коши интегральному уравнению следует, что функции y1 (t) и y2 (t) являются решениями интегральных уравненийZty1 (t) = y01 +f1 (τ, y1 (τ ))dτ,t ∈ [t0 − T, t0 + T ],f2 (τ, y2 (τ ))dτ,t ∈ [t0 − T, t0 + T ].t0Zty2 (t) = y02 +t0Вычитая второе уравнение из первого и оценивая по модулю, имеем tZ |y1 (t) − y2 (t)| 6 |y01 − y02 | + f1 (τ, y1 (τ )) − f2 (τ, y2 (τ )) dτ .t0Вычитая и прибавляя под знаком интеграла f1 (τ, y2 (τ )), получим tZ |y1 (t) − y2 (t)| 6 |y01 − y02 | + f1 (τ, y1 (τ )) − f1 (τ, y2 (τ )) dτ +t0 tZ + f1 (τ, y2 (τ )) − f2 (τ, y2 (τ ))dτ , t ∈ [t0 − T, t0 + T ]. (1.4)t08Глава 1.

Зависимость решения задачи Коши от исходных данныхУчитывая то, что функция f1 (t, y) удовлетворяет условию Липшица, атакже оценку tZ f1 (τ, y2 (τ )) − f2 (τ, y2 (τ ))dτ 6 T max |f1 (t, y) − f2 (t, y)|,(t,y)∈Qt0справедливую для всех t ∈ [t0 − T, t0 + T ], неравенство (1.4) можнопереписать так:|y1 (t) − y2 (t)| 6 |y01 − y02 | + T max |f1 (t, y) − f2 (t, y)| +(t,y)∈Q tZ + L y1 (τ ) − y2 (τ ) dτ , t ∈ [t0 − T, t0 + T ].t0Применив к функции |y1 (t) − y2 (t)| лемму Гронуолла-Беллмана ??, приt ∈ [t0 − T, t0 + T ] получим неравенство|y1 (t) − y2 (t)| 6 |y01 − y02 | + T max |f1 (t, y) − f2 (t, y)| exp{L|t − t0 |},(t,y)∈Qиз которого следует оценка (1.3).

Теорема 1.1.1 доказана.1.1.2. Теорема сравненияРассмотрим теперь вопрос о том, при каких условиях решение однойзадачи Коши будет больше или равно решению другой задачи Коши.Теоремы такого типа часто называют теоремами сравнения.Рассмотрим прямоугольникQ+ = {(t, y) :t0 6 t 6 t0 + T,A 6 y 6 B}.Далее мы используем следующее простое утверждение из математического анализа, представляющее собой формулу конечных приращенийв интегральном виде.Лемма 1.1.1.