Ответы к зачету

1) Цилиндрические координаты             2)​ Сферические координаты. Орты (рисунок). Выражения для радиус­вектора, скорости точки. Связь сферических и декартовых координат. x = r * sin (θ)  * cos (φ)   y = r * sin (θ)  * sin (φ)   z = r * cos(θ)  0≤r < ∞  0≤φ < 2 * π  0≤θ <  π  r = rer  ˙  ṙ = ṙer + θ̇reθ + rsin θ φeφСвязь сферических и декартовых: er = ex * sin(θ) * cos (φ)  + ey * sin (θ)  * sin (φ)  + ez * cos(θ)  eθ = ex * sin(θ) * cos (φ)  + ey * sin (θ)  * sin (φ)  − ez * sin(θ)  eφ =− ex * sin (φ)  + ey * cos (φ)    3)​ Уравнения Лагранжа II рода. Условия применимости. Голономные и идеальные связи. Голономные связи – это связи вида  f (r1, …, rn, t) = 0 , то есть связи, не зависящие от производных координат. Идеальные связи – связи, не совершающие работы, т.е. для которых для бесконечно  малых виртуальных перемещений  δqi :  ∑Riδqi = 0 .   ∂L ) − ∂L = Qd  Уравнения Лагранжа II рода:    dtd ( ∂qi˙∂qiiУравнения ­||­ применимы тогда и только тогда, когда в системе действуют только идеальные голономные​ связи. 4)​ Уравнения Лагранжа второго рода. Учет диссипативных сил. Связь обобщенной диссипативной силой с реальной диссипативной силой в системе из N частиц. Уравнения Лагранжа второго рода с учетом диссипативных сил d ∂L∂Ldt ( ∂q˙ i ) − ∂qi= Qdi     Обобщенная диссипативная сила связана с реальной 5)​ Неоднозначность определения функции Лагранжа    (1) Пусть L ­ некоторый лагранжиан системы. По формуле (1) можно получить уравнения Лагранжа для этой системы (обозначим их (*)). Неоднозначность определения заключается в существовании  такого  лагранжиана  L’≠L , что полученные по формуле (1) уравнения Лагранжа совпадают со (*). а.  б. Если , то ​ в. , где  ­ произвольная дифференцируемая функция ​​времени и обобщенных координат.  6)​ Обобщенный импульс (определение). Теоремы об изменении и сохранении обобщённого импульса. ∂L  ­ обобщенный импульс, соответствующий координате  q  pj≝∂q̇jjdpjdt=∂L∂qj+ Qdj  ­ теорема об изменении ОИ ∂L = 0  и  Qd = 0,  то p = const  ­ теорема о сохранении ОИ =>  если  ∂qjjj7)​ Обобщенная энергия. Теоремы о сохранении и изменении.  ∂L qEоб≡ ∑ ∂q˙ ˙i − L  i Теорема об изменении обобщенной энергии: dEdt d=− ∂L˙j  ∂t + ∑Qj q Из этого следует теорема о сохранении, т.е.  Eоб = E0 = const , если  ∂L∂t = 0  и диссипативные силы в системе не действуют. 8)​ Функция Лагранжа для частицы (релятивистской, нерелятивистской) с массой m под действием потенциальной силы в а) декартовых б) цилиндрических в) сферических координатах. I.Нерелятивистская частица а) декартовые координаты  б) цилиндрические координаты  в) сферические координаты  II.Релятивистская частица а) декартовые координаты  б) цилиндрические координаты  в) сферические координаты  F=­gradU    декартовые  цилиндрические     сферические  обратная связь   9)​ Период колебаний частицы с массой m при финитном движении в поле U(x)  10)​ Функция Лагранжа для частицы (нерелятивистской, релятивистской) с массой  m  в однородном поле силы тяжести  g =− g * ez ​. ​Интегралы движения. 1) Нерелятивистский: L = m2 v2 − mgz  2m ˙ + mgz  Eоб0 = 2v2) Релятивистский: √1 −L =− mc2Eоб0 = mc221− vc2√v2c2− mgz  + mgz  11)​ Функция Лагранжа одномерного осциллятора с массой m и частотой ω. Закон движения с диссипативной силой и без. 22 2а) L = mẋ2 − mω2 x  22 2x (0)x(0)˙x = x0cos⁡(ωt + φ0)  ,  где  x0 = √x˙ (0)+ω,  tg φ0 =− ω1 x(0) ωγt22 2б)  L = e m[mẋ2 − mω2 x ]    1​   ​2​  ​3​  ​  ​    ​   12)​ Функция Лагранжа для релятивистской и нерелятивистской частицы с массой m и зарядом e в неоднородных электромагнитных полях E и H. Векторный и скалярный потенциал. Обобщенная энергия. Обобщенный импульс. а) нерелятивистская частица  Где  ­ скалярный потенциал, ​­ ​​векторный потенциал,    В случае, если потенциалы не зависят явно от времени можно вычислить обобщенную энергию,  б) релятивистская частица     В случае, если потенциалы не зависят явно от времени можно вычислить обобщенную энергию   13)​ Функция Лагранжа для частицы (нерелятивистской, релятивистской) с массой  m  в однородном поле  H = H 0ez и E = E0ez  в декартовых, цилиндрических и сферических координатах​. ​Интегралы движения.  ●нерелятивистский случай а.  декартовы координаты     б. цилиндрические координаты   в. сферические координаты     ●релятивистский случай а.  декартовы координаты     б. цилиндрические координаты     в. сферические координаты    14)​ Плоское движение частицы в центральном поле. Интегралы движения. Эффективная энергия. Финитное и инфинитное движение. а) Закон движения. б) Траектория.  Центральное поле – поле, потенциал которого зависит только от расстояния до силового центра  Выберем систему координат так, чтобы траектория лежала в одной плоскости. 22˙2L = mṙ2 +  mr2φ   −  U(r)  Закон сохранения импульса для циклической координаты φ: mr2φ˙ = const = L0  Закон сохранения обобщенной энергии: L22 E0 = mṙ2 +  U eff (r),  где U eff (r)≝2mr0 2 + U (r)  – эффективный потенциал  Закон движения √ṙ = ±2m (E − U eff (r))  ⇒ t − t0r= ±∫r0dr√2m (E−U eff(r)) ,   Области финитного и инфинитного движений определяются анализом эффективного потенциала ​(см. рисунок) r2Траектория:  φ − φ0 = ± ∫r1√L0/(mr2)2m (E−U eff(r))dr   Условие замкнутости траектории​: , ​k, n – целые числа ​15)​ Лагранжианы релятивистской и нерелятивистской частицы для плоского движения в центральном поле. Интегралы движения. Нерелятивистский случай: 222L = m r˙ − U (r) = m (r˙ + r2φ˙ ) − U (r)  22p0φ = L0 = const = mr2φ˙  22E0 = m2 (r˙ + r2φ˙ ) + U (r) = m2 r˙ + 2mr0 2 + U (r)  22LРелятивистский случай: √1 −L =− mc2ṙ2c2− U (r)  p0φ = L0 = const =E0 = const =mc221− cṙ 2√mr2φ˙21− cṙ 2√ + U (r)  16)​ Задача Кеплера. Качественное исследование. Возможные траектории при движении в поле . Параметры траектории. Законы Кеплера. ​Кеплерова задача­это задача двух тел, взаимодействующих между собой посредством центральной силы, пропорциональной квадрату расстояния до силового центра В зависимости от  движение может ​быть инфинитным или финитным. Возможные траектории:     Связь параметров эллипса с      и ​: ​  Законы Кеплера: 1) Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце 2) Секторная скорость каждой планеты относительно Солнца постоянна 3) Отношение квадратов периодов обращения планет к кубам больших полуосей их орбит постоянно и для всех планет одинаково  17)​ Дифференциальное сечение рассеяния на силовом центре. Определение. Формула для расчета   Дифференциальное сечение рассеяния – отношение числа рассеянных частиц  dN  в единицу времени в элемент телесного угла  dΩ  к числу частиц, падающих на площадку единичной площади в единицу времени:  Формула для расчета:   18)​ Полное сечение «падения» частицы на силовой центр  U (r)  Падение – захват частицы силовым центром. p0  – неизвестный радиус, такой, что частицы, летящие вдоль него, выходят на орбиту,  находится из условия :  E = U eff max = U eff (p0)  При прицельном параметре  p < p0  происходит падение на силовой центр  19)​ Лагранжиан системы из масс m1 и m2 с потенциалом взаимодействия  U (r12) . Интегралы движения. В лабораторной системе отсчета: L=m1r˙122+m2r˙222− U (|r1 − r2|)  Интегралы движения: E0 =m1r˙122+m2r˙222+ U (|r1 − r2|)  В СЦИ: L=m1+m2 ˙2m1m2 ˙22 R + 2(m1+m2) r − U (|r|)  Это можно разделить на 2 лагранжиана, для центра масс и для самих масс в СЦИ: Lc =m1+m2 ˙22 R  L̃ = 2(m1+m2 ) r˙2 − U (|r|)  mm12L = Lc + L̃  Интегралы движения для ЦМ: E0 = const =m1+m2 ˙22 R  p0i = const = (m1 + m2)x2i  Интегралы движения для масс: E0 = 2(m1+m2 ) r˙2 + U (|r|)  mm12p0φ = L0 = const = m 1+m2 ρ2φ˙  mm12Здесь ​R= – ​​радиус­вектор центра масс,  r = r1 − r2  20) Функция Лагранжа для нерелятивистской частицы с массой m и зарядом e в постоянных и однородных полях и  при движении частицы ​​по заданной поверхности (конусу, сфере, параболоиду) в а) цилиндрических б) сферических координатах. Записать интегралы движения. Найти закон движения в квадратурах.  а) конус  цилиндрические :  ​   сферические =const: ​    б) сфера цилиндрические :  ​    Сферические :         .