А.В. Домрина, Т.А. Леонтьева - Методическая разработка по теории функций комплексного переменного

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ унивеРситгт имени М.В. ломоносоВА Факультет вычислительтгой математики и кибернетики МЕТОДИЧЕСКА51 1ъАЗРАБОТКА НО ТЕОРИИ . ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО 11ЕРЕМЕННОГО 2 КУРС, 4 СЕМЕСТР Составители: А. В. Домрина, Т. А. Леонтьева. Издательство 000 "МАКС Пресс". Лицеизик ИД № 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 2б.022002 г.

Услглкл. 0,5. Тираж 500 зкз. Заказ 218. Тел. 939-3890, 939-3891, 928-10Е2. ТелзФакс 939-3891. 119899. Москва, Воробьевы горы, МТЗГ. 2002 Теория функций комплексного переменного (ТФКП) изучается на факультете ВМК в 4 семестре 2 курса. Программа курса ТФКП рассчитана на одну лекцию в неделю и одно семинарское занятие в неделю. Тем самым получается около 15-16 занятий. включая контрольную работу. Основными темами курса являются; 1. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость Функций комплексного переменного П, Интегральная формула Коши, интеграл типа Коши, свойства аналитических функпий, Ш.

Степенные ряды. Ряды из аналитических функций. 17. Рядки Тейлора. Ряды Лорана, Изолированные особые точки. УА Вычеты. Вычисление собственных и несобственных интег- радов с помошью вычетов. ЪЧ, Конформщяе отображения, осуществляемые элементарными функциями. ЪЧ1. Преобразование Лапласа, Решение дифференциальных уравнений 1обыкновеиных и с частыми производными) с помощью преобразования Лапласа.

Номера задач для семинарских и домшпних занятий даны по задачнику Т.А. Леонтьевой, В. С. ПанФерова и В, С. Серова ~5], а номера дополнительных задач — по задачникам 16], ]7]. В конце разработки даны типичные варианты контрольной работы и ряд задач, предлагаемых на зачетной комиссии. Также приведен список задач, рекомендованных при подгОтовке к экзамену.

СписОк РекОмендОВАННОЙ литеРАтУРы ~1] А.1'. Свешников, А. Н. Тихонов. Теория функций комплексного переменного. М., Науха, 1979. 19] А. В. Бицадзе, Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М., Наука, 1984. !3] А. И. Маркуп1евич. Теория аналитических функций. Тома 1, П. М., Наука, 1967. „'4] И, И. Привалов. Введение в теорию функпий комплексного переменного.

М., Наука, 1984. «5] Т. А. Леонтьева, В. С. Панферов, В. С. Серов. Задачи по теории функций комплексного переменного. М., Изд-во МГу, 1992. «6] Л. И. Волковыскнй, Г. Л. Лунд, И. Г. Араманович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М., Физматгиз, 1960. «7] Сборник задач по теории аналитических функций. Под редакцией М.

Л. Евграфова. М., Наука, 1974. ПРОГРАММА ЗАНЯТИЙ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Занятие 1. Комплексные числа и их свойства 1. 2 1), 3), 8), 10); 1. 4 1), 3), 5), 7): 1.11 1), 2): 1. Гб 1), 2), 3), 6); 1. 14; 1 25 1), г>) Дома:1.24),5),6),9); 1,42),4),6),8); 1.113),4); 1.134),5),7),8): 115; 1.25 6) — 11). Дополн.: «6] 4; 9; 15; 16; 60. (7' 1.09; 1.14; 1.27., 1,28; 1.31; 1.59; 1.64; 1.65.

Занятие 2. Последовательности, ряды и бесконечные произведения комплексных чисел. 2.3. 2.5 2.8; 2.18 2.20 2.23 1),2). 2,27 2,29 4) 6)' 2.52 2.53 2 56 1) 2), 2 73 1) 3) 5) Дома: 2.4; 2.7; 2.12; 2.26; 2.28; 2.51; 2.55; 2,56 3),4); 2.57 2),4), 6). Дополн.: (61 438; 443; 444. (7] 2.10; 2.12; 2.15: 2.21; 2.27; 2.33.

Занятие 3. Функции комплексного переменного. Непрерывность и равномерная непрерывность. 3.25; 3.26; 3.27 4), 10); 3.33 1), 3) 8); 3.34; 3.37. Дома: 3.23: 3.27 5)., 6),11); 3.28; 3.33 2), 6) 9); 3.36 1) — 8); 3.46. Дополна «6] 71; 74; 100: 102; 104. «7] 3.08; 3 10. Занятие 4. Дифференцируемость функций коьшлсксного переменного. 5.1 1),4) 9):, 5.3; 5.4,.

5.8 а); 5.9. Дома: 5.1 2), 3), 5), 13), 14); 5.7; 5.8б); 5,11; 5.12; 5.14. Дополна «6] 105; 110; 111; 128-131. «7,' 8.08; 8.15; 8.!6; 8.39; 8АО,. 8.56; 9.09; 9.10. Занятие 5. Интегрирование функций комплексного переменного. Интегральная теорема Кепи, вычисление интегралов. 6.5; 6.7; 6.9; 6.12; 6.15 1),' 6.24; 6.27; 6.49; 6.53; 6.60. Лома: 6.6; 6.10; 6,11; 6.15 3); 6.28; 6.29; 6.50; 6.52; 6.62, Дополна (6] 402: 403; 405, 412. [7] 10.07; 10.11; 10.13; 10.19. Занятие б. Интегральная формула Коши, интеграл типа Ко- 7.4; 7.6 1),4),6),9);, 7.15; 7.20. Дома: 7.5; 7.6 2)., 3)... 7.11; 7.12; 7.17. Дололн.: (6] 427; 428; 4 9. ( ] 10.24; 10.29; 10.35; 10.46; 10.47: 10.48. Занятие 7, Степенные ряды.

Ряды из аналитических функций. 8.2 1), 4), 9), 10); 8.3 1),3), 4); 8.6 1), 2); 8,8; 8.9; 8,12. Лома: 8.2 2), 3), 5), 6); 8,3 2), 5), 6); 8.6 3); 8.13". Дополнс (6] 469; 491; 508. (7] 11.04; 11.05; 11.06; 11Л1; 11.17, Занятие 8. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Нули аналитических функций. 814 1),3),7); 8 15; 816 11),12),13); 8181),2); 8 19; 826 1); 847 1), 2), 3), 4) . Дома: 8.14 2),4),5),6)," 8.16 7),8),9),10); 8.17,2); 8.18 3),4); 8.20; 8,26 2); 8.48. Дополна «6] 467: 477; 478, (7] 6.08; 6.31; 6.32.

Занятие 9. Ряды Лорана. 9.16 1), 2), 3); 9.17 1), 3),6); 9.21; 9.23 1), 2); 9.24; 9.25 '1)-5); 9.26 1). Дома: 9:16 4)-7); 9.17 2),4),5),7); 9.18; 9.19; 9.23 3),4); 9.25 6)-10); 9.26 3),4). Дополн.: (6] 576; 577; 579; 585. (7] 20.08; 20.09; 20.16 1):.5); 20.32. Занятие 10. Изолированные особые точки. 9.27 1)- 4); 9.28; 9.31 1), 2); 9.37„9.40.

Дома: 9.27 5)-9); 9.29; 9.31 3), 4); 9.32; 9.36; 9.39. Дополна «6] 606; 607; 612; 628; 629; 640. (7«19.03; 19.08 7),8): 19.15 1)-5). Занятие 11. Вычеты. Вычисление интегралов с помогцыо вы- четов. 12. 9 2), 3), 5), 9); 12.11 1), 4), 7), 9), Дома: 12.9 4), 6), 12), 15); 12.11 2), 5), 6), 10); 12.12. Дополна (61 797; 799; 804; 805; 808; 824; 836.

«7] 21.02; 21.03; 21.10; 21.12: 21.17. Занятие 12, Вычисление интегралов с помощью вычетов (продолжение). 12.И 2),5),10); 12.16 1),7); 12.18 1),4),7); 12.23 1),2); 12.31" 1), 2). Дома: 12.13 4), 6), 7):„12.16 2), 3), 5); 12.18 2), 5), И); 12.23 5); 12.31* З).4). Дополнг (6) 874; 846, 849; 858 2); 865: 878, (7) 28.03; 28.05; 28.07; 28.09: 28.19. Занятие 13. Конформные отображения: дробно-линейные и степенные Функции.

13.41 1),3); ИА6 1); 13.50 1); И.39 1); (Зс70 я4ьт.74 1); 13.75 1). Дома: 13А1 2), 4); 13,46 2) „13.50 2); 13.39 2),13о9',413,74 2), 5); 13.75 2). Дополнг (6) 160; 164; 180; 214; 244; 255, (7) 33,19; 35.05; 35.13; 35.14. Занятие 14. Коиформные отображения: е', функция Жуковского, тригонометрические функции н обратные к ним, 13.79 1).-4).; 13.80 1)-3); 13,81; 13.82,13.84 1); 13.85; 13.88 1); 13.89 1) 13.93 2),3). Дома: И. 79 5) -7); 13.80 4), 5); 13.83; 43,84 2);.

13.88 2); 13.89 2) 13,93 6), 7), Дополнг (6) 262; 264; ЗОЗ; 304; 307. (7) 35.10; 35.22; 35.29. Занятие 15. Преобразование Лапласа. 15.6 4), 7); 15.18 1)-5); 15.21; 15.36 3), 4); 15.37 1), 3). Дома; 15.6 1)-3), 8); 15.И 6)-8); 15.26 1), 3); 15.36 1), 2); 15.37 4),5). Занятие 16. Контрольная работа. Задачи к экзямену 1. Найти!лп„. „ ег™'. 2. а) Существует ли / б А(~г~ < 1) такая, что лля всех и ') 2 имеем /(1/п) =- 1/а? 6) Тот же вопрос для У(1/и) =: (-1)" /и. 3.

Существует ли / ~ А(С) такая, что ~ц'(г) ~ > е~'~ —. 1 для всех г 6 С? 4. Существует ли 1 6 А(С 1 (О)) такая, что (/(г)! > езд'~? 5. Пусть а е С, /(г) имеет в точке а устранимую особенностьь 9(г) —. полюс, Ь(г) — существенную особенность. Какую особенность в точке а могут иметь функции: а) 1(г)" д(г)'", Рс, га Е=' У.; б) д(г)яй(г)'", й, гл б 24 в) ея(г1, Привести примеры.

6. Имеет ли 1/ первообразную в (О < ~г~ < 1)? Иными словами, существует ли функция / ц А(0 < ',г~ < 1) такая, что /'( ) =- 1/г при 0 < )г! < 1? 7. Найти радиус сходимости ряда Тейлора функции -',Яз — ~Я с центром в точке г == 1. 8. Пусть / е А(С ~ (гм..., г„)) (одна из точек гм., г„может быть равна со), причем каждая из точек гы ..,, г„является ползосом для /(г). Доказать, что /(г) рациональна.

2001 4 9. Вычислить ) -явт —. 10. Пусть /(г) — — непостоянная пелая функция, Доказать, что М(г) = шах~,~, (/(г)( есть строго возрастающая функпия от т. 11. сугпествует ли / с А(~г~ < 2) такая, что /(г) = г при 12. Привести пример функции / е С(К), которую нельзя равномерно на К приблизить многочленами от г, если: а) К = (ф < 1):, б) К =. 64 = 1) 13. Найти число нулей (с учетом кратностей) следующих фтнкпий в круге ~г~ < 1: а) гт. Ь 5г4 — 2гг+ 1; б) ге+ Зе" ', в) 2гг 1 соз г. 14.

Отображение /:  — з С называется локально конформным, если каждая точка го Е Й имеет окрестность Г(ге) С В, в которой У конформно. Привести пример отображения /': Ю -~ С, которое локально конформно, но не конформно. 15, Можно ли конформно отобразить область С 1 (0) на (О < ~г~ <1)? ЗАДАчи ПОВышеннОЙ тРуднООти 1. Существует ли / б А(ф < 1) такая, что для всех и > 2 имеем /(1/п) = (и!) '7 2, Пусть /,д — - целые функции и /з(я) + д~(з) = 1 для всех з е С. Доказать, что / = сопв1 и д гя сопзФ.