А.В. Домрина, Т.А. Леонтьева - Методическая разработка по теории функций комплексного переменного (1118153), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

3. Доказать, что сУмма степенного Рида 2,„езз не пРодолжается аналитически ни через одну точку границы его круга сходимости. 4, Доказать лемму Шварца: Пусть'/ Н А(ф < 1), /(О) = 0 и фз)( < 1 при ф < 1. Тогда ~/(я)) < ф при ф < 1, причем если найдется точка е ~ О с ~/(зо)~ .= (яе~, то /(з) .=. Сз для некоторой константы С Н С. Вывести отсюда (или из неравенств Коши), что в условиях леммы Шварца ~/'(О) ! < 1, причем если (/'(0)( = 1, то /(з) = Ся для некоторой константы С и С. Ь. Пусть / ~-.

АЦз( < 1) и ~/(з)) < 1 при ф < 1. Доказать, что !/'(з)~ '.: ~ ф4- при )я) < 1. 6. Пусть П = (Ве з > О). Существует ли / б А(П) такал, что ~/1 < 1 на П и ~/'(1)~ > 1002 7. Пусть П С С вЂ” ограниченная (не обязательно односвязная) область, а функция / б А(11) такова, что /ф) С )2 и /(а) =- а для некоторой точки а Н П. Доказать, что ~/'(а)(: 1. Доказатть что если /'(а) =- 1, то /(з) гн я.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Вариант 1, 1- Разложить функцию /(г) = ф~-"уу в ряд Лорана по степеням г в кольце Р, содержащем точку 3/4. Указать границы кольца В. 2. Нанти все особые точки функции /'(в) = †-, — ~-~,- и определить нх вид. 3. Применяя тео1зию в~~сто~, ~~~испит~ интегралы з' е~" / (1 — т) соз 2т Д, зд,— ч 1 — зз 'у., тз+би+10 4.

Отобразить область (~ , '> 1, шах(Вез,1шз) > О) конформно на верхшою полуплоскость. Вариант 2. 1. Найти множество точек з, в которых дифферениируема функция /(я) .= фе', 2. Разложить функцию /(я) =- с)г ' в ряд Тейлора с центром в точке г = 2з и указать область, где справедливо разложение. 3. Разложить /(я) =- „—,"(; —, в ряд Лорана в кольце (О < ~к+1( < 3). 4. Определить все особые точки функции /(з) =-.. '.~'.,~ и классифицировать их, включая точку з = оо. 5.

Вычислить 1 зш —.' <Ь. ° ~ц.=з г+з 7. Конформно отобразить на верхнкно полуплоскость внутренность угла (к/4 < агя з < Зк/4) с выброшенным лучом (з, 4оо) (И(1 э Ц ВАРИАНТ ЗАЧЕТНОЙ КОМИССИИ 1. Исследовать на равномерну2о сходимость на множестве ВШОИ вЂ” а>О, т 2, Обосновать возможность дифференвнровання под знаком интеграла и вычислить интеграл 3. Вычислить интеграл 2 1 т/2 ВШ' 22 СИ, а > О. 4, Разложить в ряд Лорана на указанном множестве У(2)= —., 0<~2-Ц<2. 1 1+ 22' 5. 11рименить методы ТФКП для вычисления интеграла, Обосновать применимость метода. / из ашот 2 2 (1+ тз)2 б.

Отобразить конформно единичный круг на плоскость с разрезом вдоль положительной действительной полуоси. .

Характеристики

Список файлов книги