М.И. Дьяченко - Программа экзамена по действительному анализу

Программа экзамена по действительному анализуЛектор — М. И. ДьяченкоIV семестр, 2005 г.1. Системы множеств (полукольца, кольца, алгебры, σ-алгебры и т. д.) Минимальные кольца и их свойства.Связь между σ-кольцами и δ-кольцами.2. Меры на полукольцах. Классическая мера Лебега на полукольце промежутков в Rn и её σ-аддитивность.3.

Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо.4. Внешние меры Лебега и Жордана. Их полуаддитивность.5. Меры Лебега и Жордана. Их свойства.6. Связь σ-аддитивности и непрерывности. Полнота мер. Мера Бореля.7. Меры Лебега–Стилтьеса на прямой.8. σ-конечные меры.9. Теорема о структуре измеримых множеств.

Теорема о структуре открытых множеств на прямой (б/д).Теорема Витали (б/д).10. Измеримые функции. Их арифметические свойства. Суперпозиции измеримых функций.11. Измеримые функции и предельный переход. Теорема об измеримости производной непрерывной функции.12. Сходимость по мере и её свойства.13. Сходимость почти всюду. Критерий этой сходимости на множествах конечной меры.14. Связь между сходимостью по мере и сходимостью почти всюду.15. Теорема Егорова.16. Теорема Лузина.17.

Интеграл Лебега для простых функций и его свойства.18. Определение интеграла Лебега в общем случае. Линейность интеграла Лебега по функции и по множествудля неотрицательных функций.19. Линейность интеграла Лебега по функции в общем случае. Интегрирование неравенств.20. Теорема Леви о предельном переходе и её следствия.21. Теорема Фату и Лебега.22. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.23.

Критерий интегрируемости по Лебегу на множестве конечной меры. Неравенство Чебышева.24. Связь между интегралами Римана и Лебега на отрезке в Rn .25. Заряды. Разложение Хана и Жордана.26. Теорема Радона – Никодима.27. Неравенство Гельдера и Минковского. Пространство Lp .28. Полнота пространств Lp .29. Представление интеграла от p-й степени функции p ∈ [1; ∞) с помощью функции распределения.30. Теорема о плотных множествах функций в пространствах Lp , p ∈ [1; ∞).31.

Абсолютно непрерывные функции и их свойства. Теорема Банаха – Зарецкого (без доказательства достаточности).32. Теорема о дифференцировании интеграла Лебега по переменному верхнему пределу.33. Восстановление абсолютно непрерывной функции по её производной с помощью интеграла Лебега. Заменапеременной и интегрирование по частям в интеграле Лебега.34. Прямые произведения мер.

Теорема Фубини (б/д).Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1.